gi= Z 1 1 f(x)g(x) dx p1 x2: a) Montrer que ceci a bien un sens et dé…nit surE un produit scalaire

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Université de Cergy - 2008-2009 - S4 IP - Mathématiques

Examen

I)Soit mun paramètre réel. Soit la matrice A_m = 0

@

m m 1 m 1

m m m

0 1 1

1 A: a) Calculer le polynôme caractéristique deA_m:

b) Montrer queA_m est diagonalisable sim 6= 0 etm 6= ¹₂: c) La matriceA₀ est-elle diagonalisable?

d) Soit m = ¹₂: Mettre A¹

2 sous forme triangulaire T, en précisant le changement de base.

e) Calculere^tT:

f) Résoudre le système di¤érentiel X⁰(t) = A_mX(t); lorsque m = ¹₂ et lorsque m = 0.

II) SoitEl’espace vectoriel des fonctions continues sur [-1,1], à valeurs réelles.

Pour f; g2E on pose

hf; gi= Z 1

1

f(x)g(x) dx p1 x²:

a) Montrer que ceci a bien un sens et dé…nit surE un produit scalaire.

b) Véri…er que R1 1

pdx

1 x² = , R1

1x²p^dx

1 x² = ₂; R1

1x⁴p^dx

1 x² = ³₈ : Indication: on pourra faire le changement de variablex= sin :

c) SoitF le sous espace deEengendré par1; x; x²:En utilisant le procédé de Schmidt, donner une base de F orthogonale pour ce produit scalaire.

d) SoitP_F la projection orthogonale: E !F: CalculerP_F(x³):

Indication: On véri…era que P_F(x³) est colinéaire à x:

e) SoitGle sous espace deEengendré parF etx³:On noteF^?l’orthogonal de F dans G: Donner la dimension de F^? et déduire de d) une base de ce sous espace.

III) R⁴ est muni de sa base canonique. On note x; y; z; t les coordonnées d’un vecteur X 2R⁴:Soit la forme quadratique

q(X) = x²+ 3y²+ 7z²+ 13t² + 2xy+ 2xz+ 2xt 2yz+ 10yt 14zt:

a) Appliquer à q une décomposition de Gauss.

1

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b) La forme bilinéaire symétrique f associée à q dé…nit-elle un produit scalaire sur R⁴?

c) Ecrire la matrice A de f dans la base canonique. Exprimer f(X; X⁰) en fonction de A:

d) Montrer sans calculs queA admet la valeur propre = 0 et 3 valeurs propres strictement positives.

e) SoitF une fonction: R⁴ !R dont le développement de Taylor-Young à l’ordre 2 est

F(x; y; z; t) = 3 +q(x; y; z; t) + (x²+y²+z²+t²)"(x; y; z; t);

où"(x; y; z; t)!0siX !0: F admet-elle un extremum local à l’origine?

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