1 G243 – Par une après-midi pluvieuse
Solution de Patrick Gordon
On calculera le nombre de coloriages distincts K(n,k) de n secteurs au moyen de k couleurs au plus, tels que deux secteurs adjacents n'aient jamais la même couleur. On appellera ces
coloriages des "bons coloriages".
On recherchera ensuite s'il existe n, k, k' (avec k+k' ≤ 12) tels que K(12,k') et K(n,k) diffèrent de 2 seulement.
Pour le calcul de K(n,k), on passera par celui de P(n,k), nombre de mots de longueur n écrits avec au plus k lettres, tels que deux lettres adjacentes soient toujours différentes et que la première (la "tête") soit différente de la dernière (la "queue").
Dans toute la suite, il ne sera question que de mots "LAD" (Lettres Adjacentes Différentes) et par "mot" on sous-entendra toujours "mot LAD".
1. Calcul de P(n,k)
On peut calculer P(n,k) par récurrence en procédant comme suit.
Un "mot LAD" de longueur n écrit avec au plus k lettres peut avoir même tête et queue (il ne nous intéresse qu'à titre intermédiaire; on dira que ce mot est TQ) ou avoir tête et queue différentes (on dira que ce mot est NTQ);
Pour former un mot NTQ de longueur n à au plus k lettres, on peut procéder de deux manières mutuellement exclusives et couvrant exhaustivement les possibilités :
־ partir d'un mot NTQ de longueur (n-1) à k lettres et le compléter à droite par une lettre qui ne soit ni la tête ni la queue, soit (k-2) possibilités;
־ partir d'un mot TQ de longueur (n-1) à k lettres et le compléter à droite par une lettre qui ne soit ni la tête ni la queue (identiques par hypothèse), soit (k-1) possibilités.
Pour former un mot TQ de longueur n à k lettres, on ne peut procéder que d'une manière. La nème lettre, en effet, doit être identique à la première et le mot est donc entièrement déterminé par sa partie gauche de longueur (n-1) à k lettres, qui ne peut être que NTQ car, si elle était TQ, il faudrait redoubler la dernière lettre.
De même que nous avons noté P(n,k) le nombre de mots NTQ de longueur n à au plus k lettres, nous noterons Q(n,k) le nombre de mots TQ de longueur n à au plus k lettres.
Les discussions ci-dessus pour les mots NTQ et TQ se résument respectivement par les relations de récurrence :
(1) P(n,k) = (k-2) P(n-1, k) + (k-1) Q(n-1, k) (2) Q(n,k) = P(n-1, k)
En utilisant la seconde relation, la première peut se réécrire avec des "P" seulement : (3) P(n,k) = (k-2) P(n-1, k) + (k-1) P(n-2, k)
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C'est une relation de récurrence en n, pour k donné.
On établit aisément les valeurs initiales (en n, pour k donné) : P(1,k) = 0; P(2,k) = k(k-1)
La relation (3) définit P(n,k) comme le nème terme d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, sans second membre, soit, en posant un = P(n,k) :
(4) un – (k-2) un-1 – (k-1) un-2 = 0 L'équation caractéristique est :
r² – (k-2) r – (k-1) = 0 dont les racines sont (k-1) et -1.
La solution générale est donc : un = a (-1)n + b (k-1)n
Mais on connaît les valeurs initiales u1 = 0; u2 = k(k-1).
Il en résulte :
(5) P(n,k) = (k-1)n + (-1)n (k-1) 2. Passage de P(n,k) à K(n,k)
À tout mot NTQ de longueur n à k lettres au plus, correspond un "bon coloriage" de n secteurs à k couleurs au plus. La réciproque est vraie puisque l'on considère comme distincts deux coloriages qui se déduisent l'un de l'autre par rotation. La correspondance entre mots et coloriages est donc biunivoque (et peu importe que certains coloriages soient périodiques, comme on le verra ci-après, puisqu'on ne les fait pas tourner).
Ainsi :
(6) K(n,k) = P(n,k) = (k-1)n + (-1)n (k-1)
3. Recherche de deux nombres de coloriages qui soient distants de 2
On rappelle que l'on cherche n, k, k' (avec k+k' ≤ 12) tels que K(12,k') et K(n,k) diffèrent de 2 seulement.
L'intuition suggère que l'écart de 2 doit tenir aux termes de la forme (-1)n (k-1) et que donc (-1)12 (k'-1) – (-1)n (k-1) = ± 2
Si n est pair, cela implique : k – k' = ±2
Si n est impair, cela implique : k + k' + 2 = ±2, ce qui est impossible.
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Par ailleurs, les termes (k-1)n et (k'-1)12 ne peuvent être égaux que si n divise 12, soit 12 = nq et donc :
(k'-1)nq = (k-1)n d'où : (k'-1)q = (k-1)
On ne peut envisager que k'-1 ≤ 3.
En effet, k'-1 = 4 donnerait au minimum (avec q=2) : k-1 = 16, ce qui est impossible.
Soit donc d'abord k'-1 = 3. Avec q=2, on a déjà (k-1) = (k'-1)² = 9, donc k+k' = 14.
Reste k'-1 = 2.
On peut envisager q=3, soit : k-1 = (2)3 = 8, c'est-à-dire : k' = 3, k = 9. On a bien k+k' ≤ 12, mais k-k' = 6 ≠ ± 2.
Reste q=2, soit : k-1 = (k'-1)2 = 4, c'est-à-dire : k' = 3, k = 5 et n = 6.
On trouve :
P(12,k') = (k'-1)12 + (-1)12 (k'-1) = 4.096 + 2 = 4.098 P(6,k) = (k-1)6 + (-1)6 (k-1) = 4.096 + 4 = 4.100.
La réponse est donc :
Zig a choisi 3 crayons et Puce a choisi 5 crayons et colorié un hexagone.
Un tableau EXCEL vient valider cette solution et établir son unicité.
