D346. Le ballon dans son filet
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à constituer un filet comportant huit nœuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un cube d’arête a.
On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est parfaitement tendu sur sa surface.
Le volume du ballon est alors de 9200 cm3. En déduire a.
Solution proposée par Michel Goudard:
Soit O le centre du cube de départ.
Le cube possède de nombreuses symétries passant par O (point, droites, plans).
Le ballon va se gonfler et les lacets vont se déformer avec le gonflement.
La disposition finale ne peut que respecter les symétries d’origine.
Le ballon va rester centré sur O.
Pour des raisons physiques (plus court chemin), chaque lacet se place sur un grand cercle de la sphère.
De plus les axes définis par le centre et les sommets du cube sont répartis de manière homogène dans l’espace.
Il devra en être de même à la fin du gonflage car il n’y a pas de raison d’avoir une dissymétrie.
Les sommets du cube doivent donc se déplacer sur des radiales issues de O Le demi-lacet AM (moitié du lacet AE) va donc rester dans le plan ACGE.
L’extrémité A vient en A’, le milieu M vient en M’ (le lacet est supposé non extensible).
L’arc A’M’ doit donc rester égal au segment AM (voir figure page suivante).
AM = a/2
Tan α = AM/OM = (a/2) / (a/ ) = 1/
α = Arctan (1/
Soit R le rayon final de la sphère.
Arc A’M’ = R α Puisque AM = arc A’M’ :
a/2 = R α = R Arctan (1/
R = a / ( 2 Arctan (1/
Connaissant V, on peut donc en déduire a : V = 4/3 π R3
a = (6V/ π)1/3 Arctan (1/ qui s’écrit aussi a = (6V/ π)1/3 Arcsin (1/
avec V=9200 cm3, on obtient :
a = 16,00087 cm, soit en valeur approchée a = 16 cm.
À titre de comparaison, si au lieu de lacet, le cube était composé de tiges rigides, le volume maximum atteint par le ballon avant de se déformer serait atteint pour un rayon R’ tel que :
R’ = a/
V’ = 6067 cm3
La déformation des lacets permet donc d’augmenter le volume de 50% en gardant une forme sphérique au ballon.
Mais on peut généraliser ce problème en définissant la forme de base non comme un cube de côté a, mais comme un parallélépipède de côtés a, b et c.
Le texte serait donc :
Douze lacets de même longueur sont noués entre eux à leurs extrémités de manière à constituer un filet comportant huit nœuds qui peuvent être placés sur les sommets d’un parallélépipède de côtés a, b et c.
On place un ballon sphérique à l’intérieur du filet et on le gonfle de sorte que le filet est parfaitement tendu sur sa surface.
Le volume du ballon est alors de 9200 cm3. Si b est égal à 10 cm et c à 22 cm, en déduire a.
(on notera que le volume est le même qu’auparavant et les dimensions à 6 cm de part et d’autre du résultat précédant)
Solution proposée pour cette généralisation : Soit O le centre du parallélépipède de départ.
Le parallélépipède possède de nombreuses symétries passant par O (point, droites, plans).
Le ballon va se gonfler et les lacets vont se déformer avec le gonflement.
La disposition finale ne peut que respecter des symétries de même nature.
Le ballon va rester centré sur O.
Pour des raisons physiques (plus court chemin), chaque lacet se place sur un grand cercle de la sphère.
A la fin du gonflage, les nœuds de liaison entre les lacets seront toujours situés sur un parallélépipède car il n’y a pas de raison d’avoir une dissymétrie (voir figure 1)
Nous allons calculer de 2 façons différentes la distance du centre O du parallélépipède et le centre de la face ABFE. Cela permettra de trouver la condition qui relie R (rayon maximum du ballon) avec les dimensions a, b et c.
Nous allons pour cela nous placer successivement dans 3 plans passant par le centre O du parallélépipède et chaque paire de côtés opposés.
Ce sont donc les plans ADGF, ABGH et ACGE qui seront utilisés.
Plan ADGF (voir fig.2 et fig.2bis) Arc AD = Rβ = b
AH = R sinβ/2 = R sin(b/2R) Or OP = AH
Donc OP = R sin(b/2R) (1)
Plan ABGH (voir fig.3) Arc AB = Rα = a OK = R cosα/2
Donc OK = R cos(a/2R) (2)
Plan ACGE (voir fig.4) Arc AE = Rγ = c
AL = R sinγ/2 = R sin(c/2R) Or KP = AL
Donc KP = R sin(c/2R) (3) Dans le triangle rectangle OPK (voir fig.4)
OP² = OK² - KP² Soit d’après (2) et (3) :
OP² = R²cos²(a/2R) – R²sin²(c/2R) (4)
Nous avons 2 évaluations de OP avec (1) et (4), donc : OP² = R²cos²(a/2R) – R²sin²(c/2R) = R² sin²(b/2R) D’où la condition que nous cherchions :
sin²(a/2R) + sin²(b/2R) + sin²(c/2R) = 1 (5) Ainsi si on connait le volume V, on en déduit bien sûr R :
V = 4/3 π R3 R =(3V/4π)1/3
Ensuite d’après (5) et connaissant b et c on en déduit a (qui est nécessairement positif) : a = 2R Arcsin
(6) avec R =(3V/4π)1/3
la solution existe si <= 1 Cas particulier 1 :
Si l’on veut que V = 9200 cm3, que b=10 cm et c = 22 cm Alors d’après (6)
a = 15,0267 cm , soit en valeur approchée a = 15 cm.
Cas particulier 2 :
Si l’on veut que a=b=c
Alors (5) devient 3sin²(a/2R) = 1 a = 2R Arcsin (1/
a = (6V/ π)1/3 Arcsin (1/ qui était bien la valeur trouvée dans le problème de départ Cas particulier 3 :
Si l’on veut que b=c=0
Alors (5) devient sin²(a/2R) = 1 a = 2R Arcsin (1
a = πR
Les lacets de longueur b et c sont réduits à un point (les pôles du ballon).
Le lacet de longueur a est alors celui d’une demi circonférence, soit πR.
Le résultat était évident sans calcul.
Michel Goudard
