MPSI - Exercices - ´Electromagn´etisme - Calcul int´egral et distribution de charges page 1/1
Calcul int´ egral et distribution de charges
Exercice 1. Calcul int´egral.
1. Rappeler les expressions des vecteurs d´eplacement ´el´ementaire dans les diff´e- rents syst`emes de coordonn´ees.
2. En d´eduire les expressions des longueurs, surfaces et volumes ´el´ementaires.
3. Calculer alors en int´egrant : - le p´erim`etre d’un cercle,
- la surface d’un rectangle de longueuraet de largeur b, - la surface d’un disque de rayonR,
- la surface lat´erale d’un cylindre de rayonR et de hauteur h, - la surface d’une sph`ere de rayonR,
- le volume d’un cylindre de rayonR et de hauteur h, - le volume d’une sph`ere de rayonR.
Exercice 2. Nuage orageux.
Un nuage, situ´e `a la verticale du point O et portant une charge +Q, se trouve `a une altitudeH au des- sus du sol. Des charges ´electriques se r´epartissent alors sur le sol suivant une r´epartition surfacique d´ecrite par la densit´e :
σ(ρ) = dq
dS =− QH 2π(H2+ρ2)3/2
Montrer que la charge r´epartie sur le sol est ´egale `a−Q.
Exercice 3. Charge r´epartie `a la surface d’une sph`ere de polystyr`ene.
Une sph`ere de polystyr`ene plac´ee dans un champ ´electrique se charge en surface avec une densit´e variant avec l’angle entre le champ ´electrique appliqu´e et le rayon vecteur OM selon : σ = σ0cosθ. Calculer la charge apparue sur la demi sph`ere d´efinie par θ ∈
h 0,π
2 h
, puis sur la sph`ere enti`ere.
Conclure.
Exercice 4. Distribution sph´erique de charges.
Une sph`ere S de centre O et de rayonR est charg´ee en volume avec une densit´e volumique de chargeρe(r) ne d´ependant que de la distance r du point consid´er´e au centre O : ρe = ρ0
1− r2
R2
o`u ρ0 est une constante. Quelle est la charge totale Qde S ? Calculer la densit´e volumique moyenne de charge ρm d´efinie par ρm = Qtotale
Vsphere.
Exercice 5. Masse totale de l’atmosph`ere.
Pour estimer la masse totale de l’atmosph`ere terrestre, on se place dans le cadre du mod`ele suivant. La Terre est suppos´ee sph´erique de rayonRT = 6400km. L’at- mosph`ere est consid´er´ee comme form´ee d’un gaz parfait de masse molaire M = 29g.mol−1, s’´etendant depuis le sol jusqu’`a une altitude de l’ordre de 100km, dont la temp´erature constante est ´egale `a T0 = 273K. Dans ces conditions, la masse volumique de l’air varie avec l’altitude suivant la loiµ(z) = M p0
RT0
exp−z H avec H= RT0
M g o`up0 est la pression au niveau du sol que nous prendrons ´egale `a 105P a. La constante des gaz parfaitsRsera prise ´egale `aR= 8,32J.K−1.mol−1. D´eduire de ces donn´ees la masse approximative de l’atmosph`ere. A titre indicatif, la masse totale de la Terre vaut 6.1024kg.
