CONDUCTIVIT´ E ´ ELECTRIQUE ET TEMPERATURE - solution

CONDUCTIVIT´ E ´ ELECTRIQUE ET TEMPERATURE - solution

Pr´eambule

D’apr`es le mod`ele de Sommerfeld, la conductivit´e ´electrique d’un mat´eriau conducteur est donn´ee sous la forme σ=ne²τ /m, o`u nest la densit´e d’´electrons de conduction,eleur charge,m leur masse, etτ le temps de relaxation (s´eparant en moyenne deux collisions).

Dans un m´etal, lorsque la temp´erature augmente, la densit´e d’´electrons de conduction reste constante, mais l’agitation thermique augmente la fr´equence des collisions, et donc diminueτ. En cons´equence, la conductivit´e d’un m´etal diminue lorsque la temp´erature augmente.

Dans un semiconducteur intrins`eque, lorsque la temp´erature augmente, des ´electrons de valence passent dans la bande de conduction, et donc n augmente. Ce ph´enom`ene est beaucoup plus important que la variation de τ, et donc la conductivit´e d’un semiconducteur intrins`eque augmente avec la temp´erature.

100K 50K 33K 25K

Fig.1 –densit´e de porteurs en fonction de la temp´erature

La figure 1 donne l’´evolution de la densit´e de porteursndans un semi-conducteur dop´e en fonction de la temp´erature.

L’objectif est de mod´eliser cette courbe en obtenant son ´equation g´en´erale, puis en mettant en ´evidence trois r´egimes de conduction en fonction de la temp´erature. Cette figure a ´et´e obtenue en mesurantnpar effet Hall.

1. Aux temp´eratures ´elev´ees, les porteurs d’origine intrins`eque (´electrons et trous) sont majoritaires devant ceux issus du dopage (donneurs). En revanche, tous les donneurs sont ionis´es, soitNd_i=Nd. L’´equation de neutralit´e

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electrique s’obtient en ´egalantn, nombre de porteurs n´egatifs, au nombre total de charges positives,p+Nd. En utilisant la relationnp=n²_i, on obtientn²−Ndn−n²_i = 0. Cette ´equation du second degr´e admet comme seule solution positive :

n=Nd

2 1 + s

1 + 4n²_i N_d²

!

Aux temp´eratures tr`es ´elev´ees, le semiconducteur se comporte de fa¸con intrins`eque, en n´egligeant les donneurs issus du dopage, soitn=n_i. Ceci sera vrai dans l’´equation pr´ec´edente lorsque le terme 4n²_i/N_d²sera pr´epond´erant dans la racine carr´ee, c’est-`a-dire grand devant 1. On d´efinit doncT_M comme la temp´erature pour laquelle :

2ni(TM) N_d = 1 Le niveau de Fermi s’obtient alors de fa¸con classique sous la forme :

E_F = (E_c+E_v)/2 + (k_BT /2)ln(N_v/N_c)

2. La densit´e de donneurs ionis´es est la diff´erence entre la densit´e totale de donneurs N_d est celle des donneurs neutres, qui peut ˆetre exprim´ee comme le produit de la densit´e totale par la probabilit´e d’occupation de l’´etat d’´energie associ´e au donneur. On obtient :

N_di =N_d

1− 1

1 +e^{(Ed−EF)/kBT}

=N_d 1

1 +e^{(EF−Ed)/kBT} 1

Comme la densit´e totale de donneurs estn=N_ce^{(EF−Ec)/kBT}, on peut ´ecrire la densit´e totale de donneurs ionis´es sous la forme :

N_di=N_d 1 1 +_Nⁿ

ce^{(Ec−Ed)/kBT}

3. L’´equilibre des charges donne dans ce casn=p+Nd_i. En introduisantni, et en r´eduisant au mˆeme d´enominateur, nest solution de l’´equation du troisi`eme ordre suivante :

(n²−n²_i)

1 + n Nc

e^{(Ec−Ed)/kBT}

−nNd= 0

Aux temp´eratures inf´erieures `a TM, la contribution intrins`eque `a la conduction devient n´egligeable devant celle des donneurs issus du dopage. On peut donc n´egliger la densit´e de trouspdans l’´equation de neutralit´e ´electrique, qui devientn−N_di= 0. Une ´equation du second degr´e ennest obtenue en rempla¸cantN_di par son expression g´en´erale obtenue pr´ec´edemment. La seule solution positive de cette ´equations est :

n= Nc

2 e^{−(Ec−Ed)/kBT} −1 + r

1 + 4Nd

N_ce^{(Ec−Ed)/kBT}

!

4. pour T >> Tm, le terme exponentiel sous la racine de l’expression pr´ec´edente est petit. En effectuant un d´eveloppement limit´e du type √

1 +≈1 +/2, on obtientn=Nd. PourT >> Tm, le terme exponentiel sous la racine devient pr´epond´erant et on an=√

NcNde^{−(Ec−Ed)/2kBT}. Le niveau de Fermi est obtenu dans les deux cas en ´egalant l’expression denobtenue `a sa d´efinition n=N_ce^{(Ec−EF)/kBT} On obtient :

pour T >> T_m, EF =Ec+k_BT ln(N_d/N_c)

pour T << T_m, E_F = (E_c+E_d)/2 + (k_BT /2)ln(N_d/N_c)

5. Lors que T >> TM, c’est-`a-dire aux fortes temp´eratures, le semiconducteur se comporte de fa¸con intrins`eque.

Le dopage ne joue alors aucun rˆole. LorsqueT << Tm, c’est-`a-dire aux faibles temp´eratures, le semiconducteur se comporte de fa¸con comparable `a un semiconducteur intrins`eque, mais avec un niveau donneur qui joue le rˆole de la bande de valence. C’est la r´egime dit d’ionisation des donneurs. Aux temp´eratures interm´ediaires, tous les donneurs sont ionis´es, et la contribution intrins`eque est nulle. C’est le r´egime dit d’´epuisement des donneurs.

Application num´erique

L’´equation d´efinissantTM, soitni =Nd/2, s’´ecrit ici en utilisant les valeurs num´eriques donn´ees : 0,458T³=e^13900/T

et on obtient comme solutionTM ≈512K, soit 1/TM ≈0,002.

L’´equation d´efinissantT_ms’´ecrit avec ces valeurs :

0,13T^3/2=e^230/T et on obtient comme solutionTm≈57K, soit 1/Tm≈0,0175.

On peut positionner ces valeurs sur la figure de d´epart.

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