Chapitre 1
Calcul vectoriel
Il s’agit ici de r´eviser certaines notions quand aux calculs avec des vecteurs et des champs de vecteurs. On commence par deux d´efinitions :
Scalaire : Un scalaire est une grandeur physique compl`etement d´efinie par un chiffre.
Ex : masse, temp´erature, ´energie, etc.
Vecteur : Un vecteur est une grandeur physique caract´eris´ee par un module et une orientation. Ex : force, vitesse, champ ´electrique, etc.
1.1 Vecteurs
Un vecteur est repr´esent´e graphiquement par une fl`eche dont la longueur est pro- portionnelle `a sa grandeur. La fl`eche pointe dans le mˆeme sens que le vecteur. Dans les chapitres qui suivent, on repr´esente un vecteur par une lettre ayant une fl`eche par dessus :
~ v.
Un vecteur unitaireu~ est un vecteur ayant un module de 1. Par d´efinition, un vecteur A~=|A|u~o `u|A|veut dire module (amplitude) du vecteurA. Donc, le vecteur unitaire est~ d´efini selon :
~ u= A~
|A| (1.1)
On utilise aussi la notation ˆapour d´enoter un vecteur unitaire. C’est cette notation qu’on utilisera dans le cours.
1.1.1 Somme de vecteurs
La somme de deux vecteurs est un autre vecteur. Graphiquement, on peut r´ealiser cette op´eration par la r`egle du parall´elogramme, comme `a la figure1.1.
A~ B~
C~
Figure1.1 – Somme de deux vecteurs
1.1.2 Soustraction de vecteurs
La soustraction de deux vecteurs produit elle aussi un 3e vecteur. Dans ce cas-ci, on consid`ere la soustraction comme la somme du premier vecteur avec le deuxi`eme vecteur multipli´e par -1.
A~−B~ =A~+ (−~B) (1.2)
Graphiquement,−~Best obtenu en faisant une rotation de 180° deB.~
1.1.3 Multiplication par un scalaire
Un vecteur qui est multipli´e par un scalaire change d’amplitude, mais pas de direction :
k ~A= (k|A|) ˆa (1.3)
1.1.4 Produit de vecteurs
Il y a deux produits de vecteurs : le produit scalaire et le produit vectoriel.
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs A~ et B~ est un scalaire donn´e par la relation suivante :
A~·B~≡ |A||B|cos(θAB) (1.4)
o `uθABest le plus petit angle entreA~ etB.~ Quelques propri´et´es du produit scalaire :
• A~·A~=|A|2
• A~·B~=B~·A~
• A~·(B~+C) =~ A~·B~+A~·C~
Le produit scalaire peut ˆetre utilis´e pour d´eterminer si deux vecteurs sont perpendicu- laires ; dans ce cas, cosθAB= 0, et donc le produit scalaire est nul.
Aussi, si deux vecteurs sont parall`eles, le produit scalaire est ´egal `a la multiplication des modules :
A~·B~=|A||B| si A~||~B (1.5)
Produit vectoriel
Le produit vectoriel de deux vecteursA~ etB~est un autre vecteur perpendiculaire au plan form´e parA~etB. L’amplitude du r´esultat d´epend de l’angle entre~ A~ etB. La d´efinition~ du produit vectoriel est :
A~×B~≡(|A||B|sin(θAB)) ˆa (1.6) o `uθABest le plus petit angle entreA~etB~et ˆaest normal (perpendiculaire) au plan form´e parA~ etB, comme `a la figure~ 1.2.
A~ B~ C~
θAB
Figure1.2 – Produit vectoriel de deux vecteurs
Quelques propri´et´es du produit vectoriel :
• A~×B~=−(B~×A)~
• A~×(B~+C) =~ A~×B~+A~×C~
• A~×(B~×C~),(A~×B)~ ×C~
Le produit vectoriel peut ˆetre utilis´e pour trouver un vecteur (unitaire) normal `a un plan. Si on connaˆıt 2 vecteurs de ce plan, on utilise le produit vectoriel pour trouver le vecteur normal.
On peut aussi v´erifier si deux vecteurs sont parall`eles : dans ce cas, sinθAB= 0, et donc le produit vectoriel est nul.
1.2 Syst ` emes de coordonn ´ ees orthogonaux
Un syst`eme de coordonn´ees orthogonal est un syst`eme de coordonn´ees o `u les trois surfaces (en 3D) qui d´efinissent le syst`eme sont perpendiculaires l’une `a l’autre. On utilisera les trois syst`emes orthogonaux principaux dans ce cours, soit :
1. Syst`eme cart´esien
2. Coordonn´ees cylindriques 3. Coordonn´ees sph´eriques
1.2.1 Coordonn ´ ees cart ´ esiennes
Le pointP(x, y, z) dans les coordonn´ees cart´esiennes repr´esente l’intersection de 3 plans non-courb´es. Les trois vecteurs de base sont ˆax, ˆay et ˆaz.
x y
z
ˆ ax ˆay
ˆaz
Figure1.3 – Syst`eme de coordonn´ees cart´esien
Un vecteur quelconqueA~est repr´esent´e dans les coordonn´ees cart´esiennes selon : A~=Axˆax+Ayˆay+Azˆaz (1.7)
Le produit scalaire de deux vecteursA~ etB~ est :
A~·B~=AxBx+AyBy+AzBz (1.8)
Le produit vectoriel est : A~×B~=
ˆ
ax ˆay ˆaz Ax Ay Az Bx By Bz
(1.9)
= (AyBz−AzBy) ˆax+ (AzBx−AxBz) ˆay+ (AxBy−AyBx) ˆax (1.10) L’´el´ement diff´erentiel de longueur dans ce syst`eme de coordonn´ees est :
dl=dxˆax+dyˆay+dzˆaz (1.11) Les ´el´ements de surface sont :
dsx=dydz (1.12)
dsy=dxdz (1.13)
dsz=dxdy (1.14)
L’´el´ement diff´erentiel de volume est :
dv=dx dy dz (1.15)
Exemple1
SoitA~= 5 ˆax−2 ˆay+ ˆaz. Trouver un vecteur unitaireB~ de sorte que : 1. B~||A~
2. B~⊥A~siB~est dans le plan xy.
1. PourB~||A, il faut trouver un vecteur unitaire, et le vecteur unitaire de~ A~ est une solution.
B~= A~
|A| =5 ˆax−2 ˆay+ ˆaz
√
25 + 4 + 1 = 1
√ 30
5 ˆax−2 ˆay+ ˆaz
2. Un vecteur perpendiculaire donnera un produit scalaire nul. On chercheB~ de sorte queB~·A~= 0. Les composants deB~dans le plan xy sontBx etBy.
B~·A~= 5Bx−2By= 0
Et puisqu’on cherche un vecteur unitaire, q
B2x+B2y= 1
On a donc deux ´equations et deux inconnues, qu’on solutionne pour trouver Bx= 0.371 By= 0.928
Alors,
B~ = 0.371 ˆax+ 0.928 ˆay
1.2.2 Coordonn ´ ees cylindriques
C’est le deuxi`eme syst`eme de coordonn´ees en importance. Comme le nom l’indique, les surfaces d´efinissent un cylindre. Les trois vecteurs de base sont ˆar, ˆaφ et ˆaz.
x
y z
ˆaz
ˆ aφ ˆ aR
φ
Figure1.4 – Syst`eme de coordonn´ees cylindriques
Un vecteur quelconqueA~est repr´esent´e dans les coordonn´ees cylindriques selon : A~=ArˆaR+Aφˆaφ+Azˆaz (1.16) L’´el´ement diff´erentiel de longueur dans ce syst`eme de coordonn´ees est :
dl=drˆar+rdφ ˆaφ+dzˆaz (1.17)
Les ´el´ements de surface sont :
dsr =rdφ dz (1.18)
dsφ =drdz (1.19)
dsz=rdrdφ (1.20)
L’´el´ement diff´erentiel de volume est :
dv=rdr dφ dz (1.21)
On peut passer des coordonn´ees cylindriques aux coordonn´ees cart´esiennes `a l’aide de la transformation suivante :
Ax Ay Az
=
cosφ −sinφ 0 sinφ cosφ 0
0 0 1
Ar Aφ Az
(1.22)
Pour transformer les variables :
x=rcosφ (1.23)
y=rsinφ (1.24)
z=z (1.25)
avec les relations inverses suivantes : r=
q
x2+y2 (1.26)
φ= tan−1y
x (1.27)
z=z (1.28)
1.2.3 Coordonn ´ ees sph ´ eriques
Les surfaces de ce syst`eme de coordonn´ees d´efinissent une sph`ere. Les trois vecteurs de base sont ˆaR, ˆaθ et ˆaφ, selon la figure1.5.
Un vecteur quelconqueA~est repr´esent´e dans les coordonn´ees cylindriques selon : A~=ARˆaR+Aθˆaθ+Aφˆaφ (1.29) L’´el´ement diff´erentiel de longueur dans ce syst`eme de coordonn´ees est :
dl=dRˆaR+Rdθ ˆaθ+Rsinθdφ ˆaφ (1.30)
x
y z
ˆaθ ˆ aφ ˆ aR
φ θ
Figure1.5 – Syst`eme de coordonn´ees sph´eriques Les ´el´ements de surface sont :
dsR=R2sinθdθ dφ (1.31)
dsθ=RsinθdRdφ (1.32)
dsφ=RdRdθ (1.33)
L’´el´ement diff´erentiel de volume est :
dv=R2sinθdR dθ dφ (1.34) Pour transformer les variables :
x=Rsinθcosφ (1.35)
y=Rsinθsinφ (1.36)
z=Rcosθ (1.37)
avec les relations inverses suivantes : R=
q
x2+y2+z2 (1.38)
θ= tan−1
px2+y2
z (1.39)
φ= tan−1y
x (1.40)
Pour convertir des coordonn´ees sph´eriques aux coordonn´ees cylindriques, on utilise les relations suivantes :
r=Rsinθ (1.41)
φ=φ (1.42)
z=Rcosθ (1.43)
Exemple2
Exprimer le vecteur 3 cosφˆar−2rˆaφ+ 5 ˆazen coordonn´ees cart´esiennes.
A l’aide de la matrice de transformation,`
Ax Ay
Az
=
cosφ −sinφ 0 sinφ cosφ 0
0 0 1
Ar Aφ
Az
=
cosφ −sinφ 0 sinφ cosφ 0
0 0 1
3 cosφ
−2r 5
=
3 cos2φ+ 2rsinφ 3 cosφsinφ−2rcosφ
5
et on effectue les substitutions suivantes : r=
q
x2+y2 cosφ=x
r = x
px2+y2 sinφ=y
r = y px2+y2 alors,
A~= 3x2
x2+y2 + 2y
! ˆ
ax+ 3xy
x2+y2 −2x
! ˆ
ay+ 5 ˆaz
1.3 Gradient d’un champ scalaire
On consid`ere une fonction scalaireV dans l’espace o `u (u1, u2, u3) sont ses coordonn´ees.
Cette fonction peut repr´esenter, par exemple, la temp´erature `a chaque point dans une pi`ece, ou l’altitude d’une r´egion montagneuse, ou le potentiel ´electrique dans l’espace. La valeur deV d´epend de la position du point. On cherche maintenant un vecteur qui pointe vers l’augmentation maximale deV dans l’espace.
Une autre d´efinition : le gradient donne la pente maximale de la fonction, et il pointe vers cette pente maximale. Un exemple est donn´e `a la figure 1.6, pour une fonction φ(x, y) = sin(x) sin(y), o `u−3< x <3 et−3< y <3.
−3
−2
−1 0
1 2
3−3
−2
−1 0
1 2
3
−1 0 1
Figure1.6 – Surface en 3D
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−4
−2 0 2 4
Figure1.7 – Gradient d’une fonctionφ(x, y) Le gradient de cette fonction est donn´e `a la figure1.7.
Si on combine les deux graphes l’un avec l’autre, avec une vue du dessus, on obtient le graphique de la figure1.8. Remarquez que les fl`eches pointent vers les maximums, et s’´eloignent des minimums.
−3
−2
−1 0
1 2
3 −3
−2
−1 0
1 2
3
−1 0 1
Figure1.8 – Gradient d’une fonctionφ(x, y)
Le gradient d’un champ scalaireV est donn´e pargradV. On utilise une autre repr´esen- tation, c’est ∇V ; on utilisera cette repr´esentation pour le reste du cours. Le symbole ∇ s’appelle “del” ou “nabla”.
En coordonn´ees cart´esiennes, le gradient d’une fonction scalaireV est :
∇V =∂V
∂x ˆax+∂V
∂y ˆay+∂V
∂z ˆaz (1.44)
D’une fac¸on g´en´erale, le gradient est d´efini selon :
∇= ∂
h1∂u1 aˆu1+ ∂
h2∂u2 aˆu2+ ∂
h3∂u3 aˆu3 (1.45) o `u les coefficients sont donn´es dans le tableau1.1.
Tableau 1.1 – Coefficients des syst`emes de coordonn´ees Cart´esien Cylindrique Sph´erique
aˆu1 ˆax ˆar ˆaR aˆu2 ˆay ˆaφ ˆaθ
ˆ
au3 ˆaz ˆaz ˆaφ
h1 1 1 1
h2 1 r R
h3 1 1 Rsinθ
1.4 Divergence d’un champ de vecteurs
La divergence est un op´erateur utilis´e pour caract´eriser un champ de vecteurs. La valeur de la divergence d’un champ de vecteursA~ `a un pointP est une mesure du rythme auquel le champ s’´etend `a partir deP. C’est un scalaire. L’expansion du champ est donn´ee par le flux `a travers le cˆot´e ext´erieur d’une petite surface d´elimitant un voisinage deP. Ainsi, la divergence de A~ `a un pointP est, par exemple, la limite du flux, par unit´e de volume, `a travers le cˆot´e ext´erieur de sph`eres de plus en plus petites, centr´ees `aP. La divergence de A~ est donn´ee par divA~ ou∇ ·A.~
∇ ·A~≡ lim
∆v→0
H
sA~·d~s
∆v (1.46)
o `uH
s est une double int´egrale sur une surface ferm´ee etd~sest l’´el´ement diff´erentiel de surface.
d~s=dsaˆn (1.47)
o `u ˆanest un vecteur normal `a la surface.
La divergence est une mesure du flux `a un point donn´e. En termes de champ ´electrique, une divergence positive indique la pr´esence d’une source de flux (charge positive), tandis qu’une divergence n´egative indique un ”puits” (une charge n´egative).
En coordonn´ees cart´esiennes, la divergence est donn´ee par :
∇ ·A~=∂Ax
∂x +∂Ay
∂y +∂Az
∂z (1.48)
Pour n’importe quelles coordonn´ees orthogonales,
∇ ·A~= 1 h1h2h3
"
∂
∂u1(h2h3A1) + ∂
∂u2(h1h3A2) + ∂
∂u3(h1h2A3)
#
(1.49)
o `u les coefficients sont donn´es par le tableau1.1.
Un champ de vecteursA~o `u∇ ·A~ = 0 est dit sol´eno¨ıdal.
Exemple3
Calculer la divergence du champ de vecteurs
F~ =xy ˆax+ (y2−z2) ˆay+yz ˆaz
Par d´efinition,
∇ ·~F= ∂
∂x(xy) + ∂
∂y(y2−z2) + ∂
∂z(yz)
=y+ 2y+y
= 4y
1.5 Th ´ eor ` eme de la divergence
Le th´eor`eme de la divergence est un outil qui permet de transformer une int´egrale sur un volume `a une int´egrale sur une surface ferm´ee. Le th´eor`eme exprime : “l’int´egrale volumique de la divergence d’un champ vectorielA~ est ´egal au flux net total du vecteur `a travers la surface limitant le volume”.
Z
v
(∇ ·A)dv~ = I
s
A~·d~s (1.50)
o `ud~sest toujours selon la normale `a la surface.
Le th´eor`eme de la divergence est une expression math´ematique du fait physique que, en l’absence de la cr´eation ou destruction de la mati`ere, la densit´e dans une r´egion de l’espace peut seulement changer s’il y a de la mati`ere qui entre ou qui sort de la r´egion.
La d´emonstration de ce th´eor`eme est dans le manuel, pour les int´eress´es.
Exemple4
SoitA~=x2ˆax+xyˆay+yzˆaz. V´erifier le th`eor`eme de la divergence sur un cube unitaire selonx= 1,y= 1 etz= 1.
Le cube est :
x
y z
On veut v´erifier : Z
v
(∇ ·A)dv~ = I
s
A~·d~s
On va faire l’int´egrale de surface sur chaque surface du cube, puis on appliquera la divergence.
1. Devant : ˆan= ˆax,x= 1
A~· ˆands= 1dydz→ Z 1
0
Z 1
0
dydz= 1 2. Derri`ere : ˆan=−ˆax,x= 0
A~· ˆands= 0→ Z
A~· ˆands= 0 3. Cˆot´e gauche : ˆan=−ˆay,y= 0
A~· ˆands= 0→ Z
A~· ˆands= 0 4. Cˆot´e droit : ˆan= ˆay,y= 1
A~· ˆands=xydxdz→ Z 1
0
Z 1 0
xdxdz= 1 2 5. Dessus : ˆan= ˆaz,z= 1
A~· ˆands=ydxdy→ Z 1
0
Z 1
0
ydxdy= 1 2 6. Dessous : ˆan=−ˆaz,z= 0
A~· ˆands= 0→ Z
A~· ˆands= 0
Alors,
I
s
A~·d~s= 1 +1 2+1
2= 2 Maintenant, on calcule la divergence :
∇ ·A~= ∂
∂x(x2) + ∂
∂y(xy) + ∂
∂z(yz)
= 2x+x+y= 3x+y Puis on fais l’int´egrale :
Z
v
(∇ ·A)dv~ = Z 1
0
Z 1
0
Z 1
0
(3x+y)dxdydz
=
"
3x2 2
#1 0
[y]10[z]10+
"
y2 2
#1 0
[x]10[z]10= 2 Les deux donnent le mˆeme r´esultat.
1.6 Rotationnel d’un champ de vecteurs
Un deuxi`eme op´erateur utilis´e pour caract´eriser un champ de vecteurs est le rotationnel.
Le rotationnel d’un champ de vecteurs A~ `a un point P indique dans quelle mesure A~ tourbillonne autour deP. Par d´efinition :
rotA~=∇ ×A~= lim
∆s→0
1
∆s I
c
Ad~l~
!
(1.51)
L’amplitude du rotationnel est une mesure de la quantit´e de rotation, et l’orientation du rotationnel pointe dans la direction o `u la rotation est maximale.
En coordonn´ees cart´esiennes, le rotationnel est donn´e par :
∇ ×A~=
ˆax ˆay ˆaz
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z Ax Ay Az
(1.52)
=
∂Az
∂y −∂Ay
∂z
ˆax+ ∂Ax
∂z −∂Az
∂x
! ˆay+
∂Ay
∂x −∂Ax
∂y
ˆaz (1.53)
Pour tous les syst`emes de coordonn´ees orthogonaux :
∇ ×A~= 1 h1h2h3
h1aˆu1 h2aˆu2 h3aˆu3
∂
∂u1
∂
∂u2
∂
∂u3 h1A1 h2A2 h3A3
(1.54)
o `u les coefficients sont donn´es dans le tableau1.1.
Un champ de vecteursA~est ditconservateursi∇ ×A~ = 0.
1.7 Th ´ eor ` eme de Stokes
Le th´eor`eme de Stokes est semblable au th´eor`eme de la divergence. Il permet de transformer une int´egrale de surface `a une int´egrale de contour. Le th´eor`eme est ainsi :
“l’int´egrale de surface du rotationnel d’un champ de vecteurs pour une surface ouverte est
´egale `a l’int´egrale ferm´ee le long du contour ferm´eC d´elimitant la surface”.
Z
s
(∇ ×A)~ ·d~s= I
c
A~·d~l (1.55)
Si la surface est ferm´ee : Z
s
(∇ ×A)~ ·d~s= 0 (1.56)
La d´emonstration de ce th´eor`eme est dans le manuel, pour les int´eress´es.
1.8 Identit ´ es
Certaines identit´es comprenant l’op´erateur∇:
∇(U+V) =∇U+∇V (1.57)
∇ ·(A~+B) =~ ∇ ·A~+∇ ·B~ (1.58)
∇ ×(A~+B) =~ ∇ ×A~+∇ ×B~ (1.59)
∇ ·(U ~A) = (∇U)·A~+U(∇ ·A)~ (1.60)
∇ ×(U ~A) = (∇U)×A~+U(∇ ×A)~ (1.61)
∇ ·(A~×B) =~ B~·(∇ ×A)~ −A~·(∇ ×B)~ (1.62)
∇ ·(∇ ×A) = 0~ (1.63)
∇ ×(∇U) = 0 (1.64)
∇ ×(∇ ×A) =~ ∇(∇ ·A)~ − ∇2A~ (1.65)
Chapitre 2
´Electrostatique
L’´electrostatique est l’´etude des champs ´electriques stationnaires. On ´etudie des charges
´electriques qui ne bougent pas, et donc le champ ´electrique ne varie pas en fonction du temps. Dans ce cas-ci, il n’y a pas de champ magn´etique, ce qui simplifie l’analyse des probl`emes.
Avant de proc´eder `a fond dans la mati`ere, il y a quelques d´efinitions importantes `a retenir :
Charge : C’est une propri´et´e fondamentale de certaines particules ; on s’int´eresse ici au comportement de ces particules sous l’effet d’une force reli´ee `a la charge. Une charge est repr´esent´ee par la variable q. Les charges existent sous l’une de deux forme : n´egative ou positive. La valeur d’une charge est un multiple entier1d’une constante fondamentale, la charge d’un ´electrone= 1.60×10−19. L’unit´e de la charge est le Coulomb [C].
Champ : Un champ (´electrique ou magn´etique) est une distribution spatiale d’un scalaire ou vecteur. C’est une fac¸on de caract´eriser l’effet d’une charge sur l’espace environnant.
Un autre point important : la loi de la conservation de charge. C’est un postulat fon- damental physique. Les charges ne sont pas cr´ees ou d´etruites ; elles sont simplement redistribu´ees.
1. En fait, on a d´emontr´e l’existence dequarks, qui forment les particules ´el´ementaires, dont la charge est un multiple de±1/3e.
2.1 Loi de Coulomb
Coulomb fut le premier `a mettre sous forme d’´equation (en 1785) les observations effectu´ees par les scientifiques sur le ph´enom`ene de l’´electricit´e. Les scientifiques s’´etaient aperc¸us que des charges semblables se repoussent, tandis que des charges diff´erentes s’attirent.
Apr`es de nombreuses exp´eriences tr`es d´elicates, Coulomb formule ainsi sa loi d’attrac- tion et de r´epulsion des charges :
F~12=kq1q2
R212aˆ12 (2.1)
o `uF~12est la force exerc´ee parq1 surq2,R12est la distance entreq1 etq2, ˆa12est un vecteur unitaire qui pointe deq1 versq2, etkest une constante, qui d´epend du milieu et du syst`eme d’unit´es. Dans le syst`eme SI, la constantekest donn´ee par :
k= 1
4π (2.2)
o `u est la constante di´electrique (ou permittivit´e) du milieu. La permittivit´e est une mesure de la capacit´e d’une mati`ere `a concentrer un champ ´electrique. La permittivit´e d’un milieu est donn´e par :
=r0 (2.3)
o `u r est la permittivit´e relative (1 pour l’air et le vide ; et plus grand pour les autres milieux) et0 est la permittivit´e du vide,0= 8.854×10−12F/m.
Selon l’´equation2.1, si deux charges sont de mˆeme signe (positives ou n´egatives), la force sera alors positive, et il y a donc r´epulsion. Si les charges ne sont pas de mˆeme signe, alors la force est n´egative, et il y a attraction.
Il y a une condition sp´eciale `a observer pour que la loi de Coulomb soit valide : La dimension des corps o `u se retrouvent les charges doit ˆetre beaucoup plus petit que la distance qui s´epare les charges.
Dans le cadre de ce cours, on supposera que cette condition est toujours respect´ee.
Exemple1
Calculer la force sur la chargeq1= 20µC, par une chargeq2 =−300µC, quandq1 est `a la position (0,1,2)m etq2 est `a la position (2,0,0)m.
Selon la description du probl`eme, on chercheF~21.
Alors,
R~21=p1−p2=−2 ˆax+ ˆay+ 2 ˆaz
est le vecteur qui pointe deq2versq1. On doit trouver son amplitude, et le vecteur unitaire.
|R~21|= q
(−2)2+ 12+ 22= 3 ˆ
a21= R~12
|R~12|=−0.66 ˆax+ 0.33 ˆay+ 0.66 ˆaz
Alors, la force deq2surq1 est : F~12= q1q2
4π0R212aˆ12= (20×10−6)(−300×10−6)
4π(8.854×10−12)(32) (−0.66 ˆax+ 0.33 ˆay+ 0.66 ˆaz)
= 6(−0.66 ˆax+ 0.33 ˆay+ 0.66 ˆaz) N
La force a une amplitude de 6N. Remarquer que la force deq1 surq2 aura la mˆeme amplitude, mais sera de sens contraire.
S’il y a plus d’une charge qui agit sur une charge quelconque, la force totale est la somme vectorielle des forces individuelles ; on appelle ceci le principe de superposition.
La force qui agit sur la chargeq1 est donn´ee par : F~1= q1q2
4πR221aˆ21+ q1q3
4πR231aˆ31+· · ·= q1 4π
Xn
k=2
qk
R2k1aˆk1 (2.4)
2.2 Champ ´ electrique
Comme mentionn´e plus haut, le champ ´electrique est une mesure de l’effet de la charge sur l’espace environnant. Par d´efinition, l’intensit´e du champ ´electrique est la force par charge unitaire qu’une petite charge stationnaire de test ressentira quand elle est plac´ee dans une r´egion o `u un champ ´electrique existe.
E~ = lim
q→0
F~
q (2.5)
Si la charge test est suffisamment petite, l’´equation pr´ec´edente se r´eduit `a : E~ = q1
4πR212aˆ12 (2.6)
L’unit´e du champ ´electrique est le Volt/m`etre [V/m] ou son ´equivalent, le Newton/Coulomb [N/C].
Exemple2
Calculer le champ ´electrique `a un point (0,3,4) d ˆu `a une chargeq= 0.5µC `a l’origine.
Dans ce cas-ci,
R~ =p−p0= 3 ˆay+ 4 ˆaz
|R~|=
√
32+ 42 = 5 ˆ
aR= 0.6 ˆay+ 0.8 ˆaz Alors le champ ´electrique est :
E~= 0.5×10−6
4π(8.854×10−12)(52)(0.6 ˆay+ 0.8 ˆaz)
= 180(0.6 ˆay+ 0.8 ˆaz) V/m
2.3 Distributions de charge
On s’int´eresse ici `a appliquer les ´equations du champ et de la force ´electrique lorsque la charge est distribu´ee dans un volume, une surface ou une ligne.
2.3.1 Charge volumique
Quand une charge est distribu´ee dans un volume, chaque ´el´ement de charge contribue au champ ´electrique. Il faudra donc faire une sommation ou int´egrale pour trouver le champ ´electrique total. La densit´e de charge est donn´ee par :
ρv= dQ
dv [C/m3] (2.7)
o `uQest la charge totale du volume, etv est le volume.
La contribution de chaque petit ´el´ement de charge au champ ´electrique total est : d ~E= dQ
4πR2aˆR (2.8)
au point d’observation P. Le champ ´electrique total est obtenu en int´egrant l’´equation pr´ec´edente,
E~ = Z
V
ρvaˆR
4πR2 dv (2.9)
2.3.2 Charge en surface
La charge peut aussi ˆetre distribu´ee en surface (dans un plan). La densit´e de charge est donn´ee par :
ρs= dQ
ds [C/m2] (2.10)
o `uQest la charge totale du volume, etsest la superficie (l’aire).
La contribution de chaque petit ´el´ement de charge au champ ´electrique total est : d ~E= dQ
4πR2aˆR (2.11)
au point d’observation P. Le champ ´electrique total est obtenu en int´egrant l’´equation pr´ec´edente,
E~= Z
S
ρsaˆR
4πR2 ds (2.12)
2.3.3 Charge sur une ligne
Dans certains cas, on peut supposer que la charge est distribu´ee sur un fil tr`es mince.
La densit´e de charge est donn´ee par :
ρl =dQ
dl [C/m] (2.13)
o `uQest la charge totale du volume, etl est la longueur.
La contribution de chaque petit ´el´ement de charge au champ ´electrique total est : d ~E= dQ
4πR2aˆR (2.14)
au point d’observation P. Le champ ´electrique total est obtenu en int´egrant l’´equation pr´ec´edente,
E~ = Z
L
ρlaˆR
4πR2 dl (2.15)
Exemple3
Calculer la force sur une charge ponctuelle de 50µC `a (0,0,5) due `a une charge de 500πµC distribu´ee uniform´ement sur un disque de rayonr <5m,z= 0m (centr´e `a l’origine).
Puisqu’on parle d’un disque tr`es mince, il s’agit d’une distribution de charge sur une surface. La densit´e de charge est
ρs= Q
A = 500π×10−6
π(52) = 0.2×10−4 C/m2 En coordonn´ees cylindriques, le vecteurRest :
R~=−raˆr+ 5 ˆaz Alors,
|~R|2=r2+ 25
~
aR= −raˆr+ 5 ˆaz
√
r2+ 25 L’´el´ement diff´erentiel de surfacedsest donn´e par :
ds=rdrdφ Donc l’´el´ement diff´erentiel de force est :
dF= (50×10−6)(ρsrdrdφ) 4π(8.854×10−12)(r2+ 25)
−raˆr+ 5 ˆaz
√
r2+ 25
!
Pour trouver la force totale, il faut int´egrer. En observant le probl`eme, on remarque que les composantes radiales vont s’annuler.
F= Z 2π
0
Z 5 0
(50×10−6)(0.2×10−4)(5rdrdφ) 4π(8.854×10−12)(r2+ 25)32 aˆz
= 90π Z 5
0
rdr
(r2+ 25)32 aˆz= 16.56 ˆaz N
On verra qu’il y a une m´ethode plus simple pour r´esoudre des probl`emes de distribution de charge : la Loi de Gauss. Avant de proc´eder `a la loi de Gauss, il faut parler de flux
´electrique.
2.4 Lignes de champ
Les lignes de champ ´electrique sont une aide pour aider `a visualiser la direction et l’am- plitude du champ ´electrique. Elles ne sont pas r´eelles (comme les lignes qui d´emarquent les provinces sur une map), mais sont un concept tr`es utile. Les lignes de champ ´electrique suivent quelques r`egles tr`es simples :
— Les lignes de champ commencent sur des charges positives et se terminent sur des charges n´egatives, ou `a l’infini.
— Les lignes de champ sont trac´ees de fac¸on sym´etriques en entrant ou sortant d’une charge.
— Le nombre de lignes qui entrent ou sortent d’une charge est proportionnel `a l’ampli- tude de la charge.
— Les lignes de champ ne se croisent jamais.
Un premier exemple de ligne de champ est donn´e `a la figure2.1. La charge est positive, alors les lignes commencent sur la charge (indiqu´e par la direction des fl`eches). Les lignes sont distribu´ees de fac¸on sym´etrique.
+
Figure2.1 – Lignes de champ d’une charge ponctuelle positive
Un deuxi`eme exemple de ligne de champ est donn´e `a la figure2.2. Il s’agit de deux charges ponctuelles de mˆeme amplitude, mais de signe oppos´e. Les lignes de champ commencent sur la charge positive et se terminent sur la charge n´egative. Les lignes sont distribu´ees de fac¸on sym´etrique.
+ –
Figure2.2 – Lignes de champ de deux charges ponctuelles de signe oppos´e
2.5 Flux ´ electrique
Les lignes de champ ´electrique sugg`erent (ou impliquent) qu’il y a une sorte d’´ecoulement des charges positives vers les charges n´egatives. On appelle ceci le flux ´electrique.
En 1837, Michael Faraday fait l’exp´erience suivante :
Il prend une sph`ere conductrice, qu’il charge avec +Q. Autour de la sph`ere, il ajoute un di´electrique, puis une deuxi`eme sph`ere conductrice.
Il branche la deuxi`eme sph`ere `a la masse, momentan´ement, puis enl`eve la connexion. Il mesure ensuite la charge sur la sph`ere externe : c’est−Q. Il r´ep`ete plusieurs fois l’exp´erience et constate que peu importe la dimension de la sph`ere ou le type de di´electrique, la charge sur la deuxi`eme sph`ere esttoujours ´egale en amplitude mais de signe oppos´e `a la charge sur la sph`ere interne.
Faraday conclut qu’il y a une sorte de d´eplacement, de quelque chose, de la sph`ere int´erieure vers la sph`ere ext´erieure. Le d´eplacement, ou flux, est ´egal en amplitude `a la charge.
Si on consid`ere la sph`ere externe, la densit´e des lignes de flux qui passent au travers de la surface,D, est donn´e par :~
D~ =Ψ
S = Ψ
4πR2 aˆR [C/m2] (2.16)
o `uΨ est le flux total. L’´equation2.16est tr`es semblable `a l’´equation du champ ´electrique : E~ = Q
4πR2 aˆR (2.17)
PuisqueΨ =Q, on obtient :
D~ =0E~ (2.18)
L’avantage de l’utilisation deD~ dans les calculs est qu’il est ind´ependant du milieu.
Le flux total est donn´e par :
Ψ =D~ ·S~= Z
D~ ·d~s=|D||S|cosθ (2.19) o `uθest l’angle entre la surface et les lignes de champ.
Exemple4
Un disque mince de rayon 0.1m est orient´e de sorte qu’un vecteur normal `a la surface forme un angle de 30° avec un champ ´electrique uniformeEd’amplitude 2.0×103N/C.
1. Calculer le flux total `a travers le disque.
2. Quel est le flux total si le disque est parall`ele au champ ´electrique ?
3. Quel est le flux total si le disque est perpendiculaire au champ ´electrique ?
1. On doit premi`erement calculer la surface du disque : S=πr2= 0.0314 m2 Le flux est donc :
Ψ =DScosθ= (8.854×10−12)(2×103)(0.0314) cos(30) = 0.48 nC
2. La seule chose qui change est l’angleθ. Si le disque est parall`ele au champ, l’angle est 90°. Alors le flux sera 0.
3. Ici, l’angle form´e par le disque et le champ ´electrique est 0. Le flux est donc : Ψ =DScosθ= (8.854×10−12)(2×103)(0.0314) cos(0) = 0.56 nC
Le prochain exemple m`enera `a la loi de Gauss.
Exemple5
Une charge de 3µC est entour´ee d’une sph`ere de rayon 0.2m centr´ee sur la charge.
Calculer le flux ´electrique total qui passe `a travers la sph`ere.
On doit calculerD etS. Pour une sph`ere, le champ ´electrique `a tout point sur la sph`ere est :
|D|= 1 4π
q
R2 = 5.97µC/m2
Le champ est constant sur la surface de la sph`ere. Puisque le champ est constant, l’´equation du flux devient alors :
Ψ =D Z
s
d~s
Il faut donc calculer l’int´egrale de la surface. Pour une sph`ere, Z
s
ds= 4πR2⇒ Z
s
ds= 0.502 m2 Le flux total est :
Ψ = (5.97×10−6)(0.502) = 3.0×10−6 C
Si on reprend cet exemple, mais qu’on sauve les calculs pour la fin, on aurait alors : Ψ =D
Z
s
ds= 1 4π
q
R2 4πR2=q
Cette derni`ere ´equation veut dire que le flux total est ´egal `a la charge totale contenue `a l’int´erieure de la surface.
2.6 Loi de Gauss
La loi de Gauss permet de faire le lien entre la charge total contenue dans une surface ferm´ee et le flux total qui traverse cette surface. On l’exprime ainsi :
I
s
D~ ·ds=Q (2.20)
o `uQ est la charge totale contenu `a l’int´erieur de la surface. La surface sn’a pas besoin d’ˆetre une surface r´eelle ; c’est une surface math´ematique qu’on choisit pour simplifier les calculs. On appelle souvent une telle surface unesurface de Gauss.
Les ´el´ements cl´es d’une surface de Gauss sont : 1. La surface est ferm´ee.
2. `A chaque point de la surface, le champ est parall`ele ou perpendiculaire.
3. Le champ doit ˆetre constant lorsque le champ est perpendiculaire `a la surface.
Ces conditions simplifient ´enorm´ement les int´egrales.
Exemple6
Utiliser une surface Gaussienne pour calculer le champ ´electrique d ˆu `a une ligne infiniment longue de chargeρl.
Puisqu’il s’agit d’une ligne infiniment longue, les lignes de champ seront dirig´ees que d’une direction, selon la normale du fil. On suppose que la ligne est selon l’axez. Le champ sera donc seulement selonr. La surface gaussienne pour ce probl`eme est un cylindre : le dessus et le dessous seront parall`ele au champ, et le tour du cylindre sera perpendiculaire au champ, selon la figure suivante.
z
E
Si on applique la loi de Gauss : Q=
Z
s1
D·ds+ Z
s2
D·ds+ Z
s3
D·ds
o `u S1 et S3 sont le dessus et le dessous du cylindre, et S2 est la paroi externe. Pour les surfaces 1 et 3, l’int´egrale est nulle, puisque ces surfaces sont parall`eles au champ. Pour la surface 2,E etdS sont parall`eles, etD est constant puisque le rayon est constant pour toute la surface. Donc,
Q=D Z
S2
ds=D(2πrL)
La charge totale contenue `a l’int´erieur de la surface gaussienne est : Q=ρlL
et alors le champ ´electrique est
E=D
= ρl 2π0r
Il faut noter que les surfaces gaussiennes ne s’appliquent que si le probl`eme comporte de la sym´etrie.
2.7 Divergence
Quand la divergence d’un champ de vecteurs est non-nulle, la r´egion contient une source ou un collecteur. Si la divergence est positive, la r´egion contient une source ; si la divergence est n´egative, la r´egion contient un collecteur. Par d´efinition, un flux positif est cr´ee par une source. Rappel : d´efinition de la divergence.
∇ ·A~= lim
∆v→0
HAd ~~ S
∆v (2.21)
Si on reprend la loi de Gauss (´equation2.20), et qu’on divise chaque cˆot´e par∆v, on obtient l’´equation suivante :
H
SD~ ·ds
∆v = Q
∆v (2.22)
Si on prend la limite de chaque cˆot´e,
∆vlim→0
H
SD~ ·ds
∆v =∇ ·D= lim
∆v→0
Q
∆v =ρ (2.23)
Donc,
∇ ·D~ =ρ (2.24)
∇ ·E~ =ρ
(2.25)
Siest constant dans la r´egion sous ´etude, on peut utiliser l’´equation2.25. Sinon, on utilise l’´equation2.24.
L’´equation2.24est une ´equation fondamentale de l’´electromagn´etisme.
2.7.1 Th ´ eor ` eme de divergence
La loi de Gauss dit que l’int´egrale deD~ ·dS est ´egale `a la charge totale contenue dans la surface gaussienne. Si la densit´e de chargeρest connue, la charge totale peut ˆetre obtenue en faisant l’int´egrale sur le volume. On a donc :
I
D~ ·d~s= Z
ρdv=Q (2.26)
Cependant, `a l’aide de la loi de Gauss,ρ=∇ ·D. Alors,~ I
D~ ·d~s= Z
(∇ ·D~)dv (2.27)
C’est le th´eor`eme de divergence.
2.8 Travail, ´ energie, potentiel
On s’int´eresse ici au travail fait sur une charge, et on d´efinit le potentiel ´electrique.
2.8.1 Travail sur une charge ponctuelle
Une chargeqsubit une forceF~ dans un champ ´electriqueE. Pour maintenir la charge~ en ´equilibre, il faut appliquer une force oppos´ee.
Le travail, par d´efinition, est une force qui agit sur une distance quelconque. Donc, un travail diff´erentiel dW est effectu´e quand la force appliqu´ee F produit un d´eplacement diff´erentieldlde la charge.
dW =F~·d~l=−q~E·d~l (2.28)
Note: Quandqest positif etd~lest dans la direction deE,~ dW est n´egatif, ce qui veut dire que le travail a ´et´e faitpar le champ ´electrique.
Les ´el´ements de d´eplacement diff´erentiel sont :
d~l=dxaˆx+dy aˆy+dzaˆz (cart´esien) d~l=dr aˆr+rdφaˆφ+dzaˆz (cylindrique) d~l=dRaˆR+Rdθaˆθ+Rsinθdφaˆφ (sph´erique)
Exemple7
Un champ ´electrostatique est donn´e par E~ = (x/2 + 2y) ˆax+ (2x) ˆay V/m. Calculer le travail effectu´e en d´eplac¸ant une charge de -20µC (a) de l’origine au point (4,0,0)m, et (b) de (4,0,0)m `a (4,2,0)m.
a) Le premier parcours est selon l’axex, doncdl=dxaˆx.
dW =−q~E·d~l= (20×10−6)(0.5x+ 2y)dx Le travail total est obtenu en int´egrant :
W = (20×10−6) Z 4
0
(0.5x+ 2y)dx= 80µJ
b) Le deuxi`eme parcours est selon l’axey, doncdl=dy aˆy. W = (20×10−6)
Z 2
0
(2x)dy = 320µJ
Le travail est ind´ependant du parcours. Dans la figure 2.3, le travail effectu´e pour d´eplacer une charge du pointAau pointBest le mˆeme pour le parcours 1 ou 2.
A B
1 2
Figure2.3 – Travail selon le parcours
Donc, si on part du pointApour se rendre au pointB, on effectue un certain travail WAB. Si on retourne au pointA, on effectue un travail WBA=−WAB. Au total, le travail effectu´e est nul. On peut donc dire que le travail effectu´e sur un parcours ferm´e est nul,
ou : I
E~·d~l= 0 (2.29)
C’est la loi des tensions de Kirchoff.
Si on reprend l’´equation2.29, `a l’aide du th´eor`eme de Stokes, on a la relation suivante : I
E~·d~l= Z
(∇ ×E)~ ·d~s= 0 (2.30)
ce qui implique :
∇ ×E~ = 0 (2.31)
L’´equation2.31est une ´equation fondamentale de l’´electromagn´etisme.
Si le rotationnel d’un champ de vecteurs est nul, le champ est ditconservateur. Le champ
´electrique est donc un champ conservateur.
2.8.2 Potentiel ´ electrique
Par d´efinition, le potentiel ´electrique d’un pointApar rapport `a un pointBest d´efinit comme ´etant le travail par unit´e qui serait effectu´e si on d´eplac¸ait une charge unitaire positivequ deB `aA.
VAB= W qu =−
Z A B
E~·d~l [J/C ou V] (2.32)
En fait,VAB repr´esente ladiff´erence de potentielentreAetB.
On calcule maintenant la diff´erence de potentiel entre deux points due `a une charge `a l’origine :
Vba=− Z b
a
E~·d~l=− Z b
a
Q
4π0R2 aˆR·dRaˆR (2.33) ce qui donne :
Vba= Q 4π0R
R=b R=a= Q
4π0 1
b −1 a
=Vb−Va (2.34)
Si la r´ef´erence `a l’infinie est nulle, le potentiel `a un rayonRde la charge est : V = Q
4π0R (2.35)
Si la charge est une distribution : V =
Z dQ
4π0R (2.36)
Si on prend la relation diff´erentielle de l’´equation2.32, on obtient :
dV =−E~·d~l (2.37)
ou
E~=−dV
d~l (2.38)
Mais, la d´eriv´ee d’un scalaire par rapport `a un vecteur est l’op´erateur∇. Donc :
E~ =−∇V (2.39)
Cette derni`ere ´equation implique qu’on peut calculer le champ ´electrique en calculant le gradient deV. Dans certains cas, il est plus facile de calculerV en premier, puis faire les d´eriv´ees pour obtenirE.~
Est-ce que l’´equation 2.39 fait du sens ? Elle dit que le champ ´electrique est ´egal `a moins le gradient de la tension. On a vu que le gradient est un vecteur qui pointe vers l’augmentation maximale d’une fonction. Donc, dans ce cas-ci, puisqu’il y a un n´egatif devant le gradient, l’´equation 2.39 dit que le champ ´electrique pointe vers la tension minimale. Si on reprend la figure2.2, on voit bien que c’est le cas. C’est une formulation math´ematique de la convention que le champ ´electrique pointe du positif au n´egatif.
Il y a un autre point `a consid´erer pour le potentiel ´electrique : les lignes ´equipotentielles.
Les lignes ´equipotentielles sont des lignes (imaginaires) o `u le potentiel est le mˆeme. Ces lignes sont normales au lignes de champ ´electrique. On peut en voir un exemple `a la figure2.4. Le champ ´electrique est repr´esent´e par les lignes noires, et pointe de la plaque sup´erieure (1V) `a la plaque inf´erieure (0V). Trois lignes ´equipotentielles sont montr´ees : 0.75V, 0.5V et 0.25V. Ces lignes sont perpendiculaires aux lignes du champ ´electrique.
V1= 1V
V2= 0V
0.5V 0.75V
0.25V
Figure2.4 – Exemple de lignes ´equipotentielles
2.8.3 Energie d’un champ ´ ´ electrique
L’´energie d’un champ ´electrique est reli´ee au travail. Pour d´eplacer une charge dans une champ ´electrique, il faut faire un certain travail ; ceci implique une ´energie. On peut
calculer l’´energie de plusieurs fac¸ons : W = 1
2 Z
ρV dv (2.40)
= 1 2
Z
D~ ·Edv~ (2.41)
= 1 2
Z
E2dv (2.42)
= 1 2
Z D2
dv (2.43)
Chapitre 3
Mat ´eriaux
On s’int´eresse maintenant au comportement du champ ´electrique dans des mat´eriaux.
En g´en´eral, il y a trois classifications de mat´eriaux, selon leurs caract´eristiques ´electriques : Conducteur : Les conducteurs sont des substances qui contiennent un tr`es grand nombre de charges mobiles. Par exemple, dans les m´etaux, les charges mobiles sont des ´electrons.
Semi-conducteur : Les semi-conducteurs sont des mat´eriaux qui contiennent des charges mobiles, mais moins que les conducteurs.
Di´electrique : Les di´electriques sont des isolants. Ils ne contiennent pas de charges mobiles. Les ´electrons dans ces mat´eriaux sont tr`es attach´es `a l’atome, et ne sont pas lib´er´es, mˆeme en pr´esence d’un champ ´electrique.
3.1 Conducteur
Le premier type de mat´eriau qu’on ´etudiera est le conducteur.
On suppose qu’on introduit des charges (positives ou n´egatives) `a l’int´erieur d’un conducteur. Un champ ´electrique est alors cr´e´e dans le conducteur, ce qui applique une force sur les charges. Ces charges vont se d´eplacer pour s’´eloigner l’une de l’autre (des charges de mˆeme signe se repoussent). Ce mouvement des charges continuera jusqu’`a ce que toutes les charges atteignent la surface du conducteur, et se distribuent `a la surface de sorte que le champ ´electrique et la charge ´equivalente s’annulent `a l’int´erieur du conducteur. Puisqu’il n’y a pas de charge dans le conducteur, le champ est nul (loi de Gauss).
A l’int´erieur du conducteur, on peut donc dire que :`
ρ= 0 (3.1)
E~= 0 (3.2)
toujours sous conditions statiques. De plus, puisque le champ ´electrique est nul, le potentiel doit ˆetre constant, selon
E~ =−∇V (3.3)
qu’on a vu au chapitre pr´ec´edent.
Le champ ´electrique `a la surface du conducteur doit ˆetre orient´e de fac¸on normale `a la surface du conducteur. S’il y aurait une composante tangentielle, il existerait une force qui d´eplacerait les ´electrons, et le tout ne serait pas en ´equilibre. Alors,
Et= 0 (3.4)
la composante tangentielle du champ ´electrique `a la surface d’un conducteur est nulle (sous condition statique).
Pour calculer la composante normale `a la surface, on construit une surface gaussienne
`a la surface du conducteur. Cette surface de Gauss aura la forme d’une boite rectangulaire.
A l’aide de la loi de Gauss,`
I
S
Ed ~~ S=En∆S= ρs∆S
0 (3.5)
ce qui donne
En= ρs
0 (3.6)
La composante normale du champ ´electrique `a la surface d’un conducteur est ´egale `a la densit´e de charge du conducteur divis´ee par la permittivit´e du vide.
3.2 Di ´ electriques
Le deuxi`eme type de mat´eriau qu’on ´etudiera est le di´electrique. Le di´electrique id´eal n’a pas de charges libres. Lorsqu’un di´electrique est plac´e dans un champ ´electrique externe, il n’y a pas de charges libres qui se d´eplacent vers la surface, comme dans les conducteurs. Cependant, les di´electriques contiennent des charges li´ees ; on ne peut pas conclure qu’elles n’ont pas d’effet sur le champ ´electrique.
Tous les mat´eriaux sont compos´es d’atomes ayant un noyau positif entour´e d’´electrons n´egatifs. Mˆeme si les mol´ecules des mat´eriaux di´electriques sont neutres, la pr´esence d’un champ ´electrique externe appliquera une force sur ces mol´ecules, et cr´eera un dipˆole.
Un dipˆole est une ´el´ement qui a une partie positive et une partie n´egative qui sont bien d´efinies. La figure3.1montre l’effet d’un champ externe sur un di´electrique et la formation de dipˆoles.
E
+
− +
− +
− +
−
+
− +
− +
− +
−
+
− +
− +
− +
−
Figure3.1 – Effet d’un champ ´electrique externe sur un di´electrique
Dans certains di´electriques, le dipˆole est permanent, mˆeme quand aucun champ
´electrique externe n’est appliqu´e. L’eau est un exemple d’un tel mat´eriau.
On appelle le ph´enom`ene d’orienter les dipˆoles lapolarisation. Pour analyser l’effet de la polarisation, on d´efinit un vecteur de polarisationp. La densit´e de polarisation est~
P~= lim
∆v→0
N ~p
∆v (3.7)
o `uN est le nombre de dipˆoles contenus dans la r´egion∆v.
Ces dipˆoles vont cr´eer un champ ´electrique dans le sens contraire du champ externe (rappel : le champ ´electrique va de + vers -). `A la surface du di´electrique, l’effet de l’ali- gnement des dipˆoles est le mˆeme que s’il y avait une distribution de charge en surface. `A l’int´erieur du di´electrique, pour expliquer le champ ´electrique interne, on repr´esente ceci par une charge volumique. La charge totale dans un di´electrique est donc :
Q= I
S
ρpsds+ Z
V
ρpvdv (3.8)
3.2.1 Permittivit ´ e relative
La densit´e de flux ´electrique est la mˆeme dans un di´electrique, mais le champ ´electrique est plus faible, comme vu pr´ec´edemment. Pour expliquer ce ph´enom`ene au point de vue macroscopique, l’´equation de la densit´e de flux est modifi´ee :
D~ =0E~+P~ (3.9)
Ce type d’´equation permet que E~ et P~ aient des directions diff´erentes, comme c’est le cas dans certains mat´eriaux cristallins. Quand le mat´eriau est lin´eaire et isotropique,
