Corr Ratt d’Alg M2 2012-13

(1)

Université Sidi Mohamed Ben Abdellah

Année Univ.2012-13

Faculté des Sciences Dhar El Mehraz

SMP-SMC

Département de Mathématiques

Correction du rattrapage d’Algèbre M2

durée : 1h30

1)

∀



x, y, z

_{ ∈ R}3 _: _

_{x, y, z}

_{ ∈ ker f }

_f

_

_{x, y, z}

_{  0, 0, 0}  

8x

− 8y  16z, 14x − 16y  36z, 5x − 6y  14z

  0, 0, 0 

8x

− 8y  16z

 0

14x

− 16y  36z

 0

5x

− 6y  14z

 0 

8



x

− y  2z

  0

2



7x

− 8y  18z

  0

5x

− 6y  14z

 0 

x

− y  2z

 0

7x

− 8y  18z

 0

5x

− 6y  14z

 0 

y

 x  2z

7x

− 8y  18z

 0

5x

− 6y  14z

 0 

y

 x  2z

7x

− 8



x

 2z



18z

 0

5x

− 6



x

 2z



14z

 0 

y

 x  2z

7x

− 8x − 16z  18z

 0

5x

− 6x − 12z  14z

 0 

y

 x  2z

−x  2z

 0

−x  2z

 0 

y

 x  2z

x

 2z



x

 2z

y

 2z  2z



x

 2z

y

 4z

Donc : ker f  2z, 4z, z tq : z ∈ R 2) ker f  2z, 4z, z tq : z ∈ R  z2,4,1 tq : z ∈ R  vect2,4,1 Donc : dimker f  1 3  dimR3  rgf  dimker f  rgf  1  rgf  3 − 1  2 3) A  M f ,B  8 −8 16 14 −16 36 5 −6 14 4) 4.a) P2 _ 0 2 −2 −2 5 −4 −1 2 −1 0 2 −2 −2 5 −4 −1 2 −1  −2 6 −6 −6 13 −12 −3 6 −5

(2)

4.b) 3P− P2 _{ 3} 0 2 −2 −2 5 −4 −1 2 −1 − −2 6 −6 −6 13 −12 −3 6 −5  0 6 −6 −6 15 −12 −3 6 −3  2 −6 6 6 −13 12 3 −6 5  2 0 0 0 2 0 0 0 2  2 1 0 0 0 1 0 0 0 1  2I3 4.c) 3P− P2  2I 3  3I3− PP  2I3  1 23I3− PP  I3 Alors : P−1  1 2 3I3 − P  12 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 − 0 2 −2 −2 5 −4 −1 2 −1  1 2 3 0 0 0 3 0 0 0 3  0 −2 2 2 −5 4 1 −2 1  1 2 3 −2 2 2 −2 4 1 −2 4

5) 5.a) Puisque e₁′, e₂′ et e₃′ sont colonnes de la matrice P et puisque P est inversible alors le système B′  e1′, e2′, e3′ est une base de R3 .

5.b) La matrice de passage de la base canonique B  e1, e2, e3 de R3 à la base

B′  e1′, e2′, e3′ de R3 est : MB, B′  0 2 −2 −2 5 −4 −1 2 −1  P . 6) A′  P−1AP  1 2 3 −2 2 2 −2 4 1 −2 4 8 −8 16 14 −16 36 5 −6 14 P  1 2 6 −4 4 8 −8 16 0 0 0 P  1 2 6 −4 4 8 −8 16 0 0 0 P  3 −2 2 4 −4 8 0 0 0 0 2 −2 −2 5 −4 −1 2 −1  2 0 0 0 4 0 0 0 0

(3)

7) 7.a) 2e₁′  fe₁′  2e₁′ ∈ Imf  e₁′  1 2 2e1

′_{ ∈ Imf .}

4e2′  fe2′  4e2′ ∈ Imf  e2′  1₄4e2′ ∈ Imf .

Donc : e1′, e2′ ∈ Imf .

7.b) Puisque le système B′  e₁′, e2′, e3′ est une base de R3 et puisque

e1′, e2′ ∈ Imf alors : e1′, e2′ est un système libre de Imf .

Puisquee₁′, e2′ est un système libre de Imf et puisque dimImf  rgf  2

alorse1′, e2′ est une base de Imf .

8) 8.a) Puisque u  x, y, z  e1′  e2′  e3′ alors :

0, −2, −1  2, 5, 2  −2, −4, −1  x, y, z  0, −2, −  2, 5, 2  −2, −4, −  x, y, z  2 − 2, −2  5 − 4, −  2 −   x, y, z  2 − 2  x −2  5 − 4  y −  2 −   z  0 2 −2 −2 5 −4 −1 2 −1     x y z  P     x y z 8.b) P     x y z      I3     P−1_P     P−1 x y z      1 2 3 −2 2 2 −2 4 1 −2 4 x y z  1 2 3x− 2y  2z 2x− 2y  4z x− 2y  4z  3x− 2y  2z 2 2x− 2y  4z 2 x− 2y  4z 2 On a donc :   3x− 2y  2z 2   2x− 2y  4z 2   x− 2y  4z 2 9) ∀u  x, y, z  e1′  e2′  e3′ ∈ R3 :

u ∈ Imf  u ∈ vecte1′, e2′     0 

x− 2y  4z

2  0  x − 2y  4z  0  x  2y − 4z

Donc : Imf  2y − 4z, y, z tq : y, z ∈ R