Examen LM383

Universit´e Pierre et Marie Curie

Examen LM383

2 Juin 2008 Corrig´e

Exercice 1 : 1. Si (x, y) ∈ E on a 0 6 xy 6 4 et −4 6 x² − y² 6 4. Par cons´equent f(x, y)∈[1,3/2]×[1/2,3/2] ⊂E.

2. D’apr`es le th´eor`eme du point fixe de picard, il suffit de d´emontrer que f est contractante surE, c’est `a dire que pour tout (x, y) et (x⁰, y⁰) dans E on a

|f(x, y)−f(x⁰, y⁰)|6k|(x, y)−(x⁰, y⁰)|,

pour une certaine norme, avec k <1. En utilisant la norme |(x, y)|= max{|x|,|y|} on trouve

|1 + ^xy₈ −(1 + ^x0₈^y0)| = ¹₈|xy−x⁰y⁰|6 ¹₈(|xy−x⁰y|+|x⁰y−x⁰y⁰|) 6 ¹₈(2|x−x⁰|+ 2|y−y⁰|)6 ¹₄|(x, y)−(x⁰, y⁰)|, et

|1 + ^x2−y₈ ² −(1 + ^x02−y₈ ⁰²)| = ¹₈|x²−x⁰²−y²+y⁰²|6 ¹₈(|x²−x⁰²|+|y²−y⁰²|)

= ¹₈(|x+x⁰||x−x⁰|+|y+y⁰||y−y⁰|)6 ¹₂|(x, y)−(x⁰, y⁰)|.

Ceci montre que l’on a la propri´et´e voulue avec k = ¹₂. Une autre mani`ere de proceder est de calculer la matrice des d´eriv´ees

M =df_(x,y) = (^{a b}_{c d}),

avec a = y/8, b = x/8, c = x/4, d = −y/4 et de montrer que cette matrice est de norme kMk<1 quand (x, y)∈E. Ceci est imm´ediat car pour tout vecteur (^u_v) on a

kM(^u_v)k² = (au+bv)²+ (cu+dv)² 62(a²+c²)u²+ 2(b²+d²)v² 6 5

8(u²+v²) = 5

8k(^u_v)k².

Exercice 2 : 1.On a, en utilisant α+β = 1 yⁿ⁺¹ =αy_n+1^a +βy_n+1^b

=α(y_n+hf(t_n, y_n)) +β(y_n^∗+ (1−γ)hf(t_n+γh, y_n^∗))

=α(y_n+hf(t_n, y_n)) +β(y_n+γhf(t_n, y_n) + (1−γ)hf(t_n+γh, y_n+γhf(t_n, y_n)))

=y_n+h(αf(t_n, y_n)) +β(γf(t_n, y_n) + (1−γ)f(t_n+γh, y_n+γhf(t_n, y_n)))

=yn+hF(tn, yn, h), avec

F(t, x, h) :=αf(t, x) +βγf(t, x) +β(1−γ)f(t+γh, x+γhf(t, x)).

2.Comme f v´erifie la condition de Lipschitz |f(t, x)−f(t, y)|6L|x−y|, on peut ´ecrire

|F(t, x, h)−F(t, x, h)| 6|α|L|x−y|+|β|γL|x−y|+|β|(1−γ)L|x+γhf(t, x)−(y+γhf(t, y))|

6L(|α|+|β|)|x−y|+|β|(1−γ)L|γhf(t, x)−γhf(t, y)|

6L(|α|+|β|+|β|(1−γ)Lγh)|x−y|

6L₁|x−y|,

avecL₁ :=L(|α|+|β|+|β|(1−γ)LγT). Le sch´ema est donc stable.

3.On aF(t, x,0) =αf(t, x) +βγf(t, x) +β(1−γ)f(t, x) =f(t, x), ce qui montre que le sch´ema est consistant et d’ordre 1 puisqueF est de classe C¹.

4.La condition pour que le sch´ema soit d’ordre 2, s’´ecrit

∂F

∂h(t, x,0) = 1 2(∂f

∂t(t, x) +f(t, x)∂f

∂x(t, x)) Un calcul ´el´ementaire

∂F

∂h(t, x,0) =β(1−γ)γ(∂f

∂t(t, x) +f(t, x)∂f

∂x(t, x)).

1

La condition s’´ecrit donc β(1−γ)γ = ¹₂.

5. Dans le cas γ = 1/2, on a doncβ = 2 et α=−1. On trouve alors F(t, x, h) = f(t+h/2, x+h/2f(t, x)), qui n’est rien d’autre que le sch´ema du point milieu.

Exercice 3 : 1. Comme f est de classe C¹ elle est localement Lipschitzielle, par cons´equent, il existe une unique solution locale.

2. On a

∇U(x)·f(t, x) = 2x1sin(t)x²₂−x⁴₁+ 2x2cos(t)x²₁ −x⁴₂

6(x²₁sin(t)²+x⁴₂)−x⁴₁+ (x²₂cos(t)²+x⁴₂)−x⁴₁ 6x²₁+x²₂ =U(x).

Ceci montre que U est une fonction de Lyapunov pour l’´equation, et par cons´equent l’unique solution locale est d´efinie sur [0, T] tout entier quelquesoit T >0 et donc sur [0,+∞[.

3. En notantE(t) =U(y(t)), on obtient par l’in´egalit´e de la question pr´ecedenteE⁰(t)6E(t), ce qui montre que E(t)6E(0)e^t. On obtient donc

|x₁(10)|+|x₂(10)|6√

2(|x₁(10)|²+|x₂(10)|²)^1/2 =p

2E(10) 6p

2E(0)e⁵ = 2e⁵.

2