Examen LM383

Universit´e Pierre et Marie Curie

Examen LM383

2 Juin 2008 Documents autoris´es

Exercice 1 : On d´efinit une fonction de R² dans R² par f(x, y) = (1 +xy

8 ,1 + x²−y²

8 )

1.Montrer que l’image par f du carr´e E = [0,2]² est contenue dansE.

2.Montrer que f admet un unique point fixe (x^∗, y^∗) sur E et que ce point fixe est attractif.

Exercice 2 : On consid`ere une ´equation diff´erentielle sur un intervalle [0, T], y⁰(t) =f(t, y(t)), y(0) =y₀

o`uf est une fonction de classe C<sup>2</sup> sur [0, T]×R, Lipschitzienne par rapport `axuniform´ement ent. On d´efinit un sch´ema num´erique de la fa¸con suivante : ´etant donn´ey_n la solution calcul´ee au point t_n =nh on pose

y_n+1^a =y_n+hf(t_n, y_n),

le r´esultat de l’application du sch´ema d’Euler explicite avec pash.

y_n+1^b =y_n^∗+ (1−γ)hf(t_n+γh, y_n^∗), avec y_n^∗ =y_n+γhf(t_n, y_n),

le r´esultat de deux applications successives du sch´ema d’Euler explicite avec pas γhet (1−γ)h o`uγ est un nombre fix´e dans [0,1]. On pose enfin

yⁿ⁺¹ =αy^a_n+1+βy^b_n+1, o`uα et β sont deux r´eels fix´es tels queα+β = 1.

1.Ecrire le sch´ema sous la forme y_n+1 =y_n+hF(t_n, y_n, h) en explicitant F(t, x, h).

2.Montrer que ce sch´ema est stable.

3.Montrer que ce sch´ema est consistant et d’ordre 1.

4.Donner une condition portant sur β et γ pour que le sch´ema soit d’ordre 2.

5.Exprimer cette conditions dans le cas γ = 1/2 et expliciter F(t, x, h). Que retrouve-t-on ?

Exercice 3 : On consid`ere l’´equation diff´erentielle sur un intervalle [0, T], y⁰(t) =f(t, y(t)), y(0) = (z₁, z₂),

avecf(t, x) = (sin(t)x²₂− ¹₂x³₁,cos(t)x²₁− ¹₂x³₂) pour x= (x₁, x₂).

1.Montrer que l’´equation admet une unique solution locale.

2.Montrer que la fonction U(x) = x²₁+x²₂ v´erifie

∇U(x)·f(t, x)6U(x),

et en d´eduire que l’unique solution locale est d´efinie sur [0, T] tout entier quelquesoitT > 0 et donc sur [0,+∞[.

3.On suppose que (z1, z2) = (1,1). Donner une borne sup´erieure de |y1(10)|+|y2(10)|.

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