Contrôle (2h) : étude de fonctions

1S Contrôle (2h) : étude de fonctions

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Contrôle (2h) : étude de fonctions

E 1

VARIABLES :

Type nombre : x, y, z DEBUT

lire(x) y ← x² z ← y−1 si z⩽⁰ alors

z ← −z finsi

afficher(z) FIN

1. Pour chacune des valeurs suivantes de x, déterminer la valeur de z affichée par l'algorithme :

(a) ₋1; (b) 0; (c) ¹

4 ; (d) 2.

2. Expliciter la fonction f :x7→z définie par cet algorithme.

E 2

On considère un rectangle ABCD tel que AB=3 et AD=2. On place un point Msur le segment [AB] tel que AM=x et un point N sur le segment [BC] tel que BN=x.

D 2

3 C

A x M B

x N

1. À quel intervalle appartient le réel x ? 2. Calculer la longueur MN en fonction de x.

3. On désigne par f la fonction qui, a un réel x appartenant à [0 ; 2] , associe la longueur MN.

(a) Donner l'expression de f (x).

(b) Étudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; 2] (dresser le tableau de varia- tions).

4. Pour quelle valeur de x la longueur MN est-elle minimale ?

E 3

On s'intéresse à la fonction f définie par f (x)=x²−2x+1 x²−2x+2.

1. Donner la forme canonique du trinôme du second degré x²−2x+2.

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2. Déterminer l'ensemble de définition Df de la fonction f .

3. Déterminer deux constantes a et b telles que, pour tout x ∈Df , f (x)=

a+ b

1+(x−1)².

4. Déterminer successivement (dans un même tableau) les variations sur Df de x7→1+(x−1)², x7→ 1

1+(x−1)² puis de f .

E 4

Soit f et g deux fonctions définies pour x⩾−1 par f (x)=p

1+x et g(x)= 1+x

2.

1. Soit x⩾−1 et M(

x; f (x)) et N(

x;g(x))

. Que représente _|g(x)−f (x)|? 2. Tracer les deux courbes représentatives des fonctions f et g sur l'écran de votre calculatrice et conjecturer leurs positions relatives.

3. Montrer que pour tout x⩾−1, g(x)−f(x)=

x² 4 1+x

2+p 1+x

.

4. En déduire une preuve de la conjecture émise.

E 5

On considère une fonction f définie sur l'intervalle [−3 ; 3] dont le tableau de variations est donné ci-dessous :

x Var.

f

−3

−1

−1

−5

0

−2

3

−7

Déterminer le tableau de variations sur [−3 ; 3] des fonctions suivantes, lorsque celles-ci existent.

1. f +1; 2. ₋2f ; 3. ¹

f ; 4. ^√f .

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.

Correction

E 1

1. (a) f (−1)=0; (b) f (0)=1. (c) f

(1 4 )

=15 16 ; (d) f (2)=3; 2. f (x)= |x²−1|.

E 2

1. x∈[0 ; 2]. 2. MN=√

(3−x)²+x²=p

2x²−6x+9. (a) f (x)=p

2x²−6x+9. (b) 2x²−6x+9=2

( x−3

2 )₂

+9 2 et f

(3 2 )

= 3 p2.

x

Var.

x7→2x²−6x+9

Var.

f

0 9

3

3 2

9 2

p3 2

2 5

p5

3. La longueur MN est minimale pour x=3 2.

E 3

1. x²−2x+2=(x−1)²+1.

2. Df =R car pour tout x∈R, (x−1)²+1>0. 3. f (x) = x²−2x+2−1

x²−2x+2

= x²−2x+2

x²−2x+2− 1 x²−2x+2

= 1− 1 1+(x−1)² 4.

x

Var.

x7→1+(x−1)²

Var.

x7→ 1

1+(x−1)²

Var.

f

−∞ 1

1

1

0

+∞

E 4

1. |g(x)−f (x)| =MN.

2. On conjecture que sur [−1 ;+∞[, Cg est au-dessus de Cf .

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3. g(x)−f (x) = 1+x 2−p

1+x

=

((1+^x₂)

−p

1+x)((

1+^x₂) +p

1+x) (1+^x₂)

+p 1+x

=

(1+^x₂)₂

−(p 1+x)2

(1+^x₂) +p

1+x

= 1+x+^x₄²−1−x (1+^x₂)

+p 1+x

=

x² 4

1+^x₂+p 1+x

4. Pour tout x∈[−1 ;+∞[, 1+x

2>0 et ^p1+x>0 donc 1+x 2+p

1+x>0.

Comme un carré est positif, on en déduit que pour tout x∈[−1 ;+∞[, g(x)− f (x)⩾⁰.

Cg est donc au-dessus de Cf .

E 5

1.

x Var.

f+1

−3 0

−1

−4

0

−1 3

−6

2.

x Var.

−2f

−3

2

−1 10

0

4 3 14

3.

x Var.

1 f

−3

−1

−1

−¹₅

0

−¹₂ 3

−¹₇

4. La fonction n'existe pas.

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