Contrôle : statistiques, étude de fonctions

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Contrôle : statistiques, étude de fonctions

E 1

Écrire les expressions suivant sans racine carrée au dénominateur :

1. _p ³

x²+3−p

x²−5 ; 2.

px+6 px+6−3.

E 2

Dans un repère orthonormé,Cest la représentation graphique de la fonction racine carrée.

1

O A 1

M

b b

C

A est le point de coordonnées (1

4; 0 )

, M est un point de C d'abscisse x.

1. Montrer que pour tout x∈[0 ;+∞[, AM=x+1 4.

2. En déduire quel est le point de Cqui est le plus proche du point A.

E 3

Soit a et b deux réels (avec a ̸= 0). On s'intéresse à la fonction f définie par : f(x)=p

ax²+b.

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f dans chacun des cas suivants : (a) a>0 et b⩾⁰;

(b) a>0 et b<0;

(c) a<0 et b⩾⁰; (d) a<0 et b<0.

2. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il demande un réel a non nul, un réel b et qu'il fournisse le domaine de définition de la fonction x7→p

ax²+b.

VARIABLES : Type nombre : a,b

Type chaîne de caractères : I, J,K,L,M DEBUT

lire(a) lire(b)

I ← ]

−∞;−

√

−b a ]

∪ [√

−b a;+∞

[

J ← R K ←

[

−

√

−b a;

√

−b a ]

L ← ; M ← {0}

sia>0 etb⩾⁰ alors afficher(J) finsi

... FIN

E 4

Soit x un réel positif. On considère la série statistique formée des valeurs : 1, 2 et x. Soit m(x) la moyenne de cette série statistique.

1. Exprimer m(x) en fonction de x.

2. Soit V (x) la variance de cette série statistique. Exprimer V (x) en fonction de x. 3. Étudier les variations de la fonction V (dresser le tableau de variation).

4. En déduire la valeur de x pour laquelle V est minimale. Que vaut alors la moyenne de cette série statistique ?

E 5

Mathilda estime avoir été trop sévèrement notée par M. Dupont à son bac blanc. Elle re- lève alors toutes les notes et représente le diagramme en boîte des notes de M. Dupont (en haut) et de Mme Paulette :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

b b

b b

1. (a) Lire Me, Q1 et Q3 sur le graphique de M. Dupont.

(b) Par qui, un élève faible, a-t-il intérêt à se faire corriger ? (c) Même question pour un bon élève.

(d) Est-il probable que Mathilda soit une bonne élève ?

(e) Marc est généralement un bon élève, mais il estime avoir été corrigé sévèrement. Par qui a-t-il été probablement corrigé ?

2. M. Dupont décide de changer toutes ses notes de la façon suivante : soit x une note donnée par M. Dupont, elle est remplacée par y =ax+b, où a et b sont deux réels a>0.

(a) On range les notes dans l'ordre croissant. Cet ordre est-il modifié après la transfor- mation de M. Dupont ? Pourquoi ?

(b) En déduire l'expression des nouveaux paramètres M^′_e, Q^′₁ et Q^′₃ en fonction de Me, Q1 et Q3.

(c) Quelle valeur dea faut-il choisir pour que M. Dupont et Mme Paulette aient le même écart interquartile ?

(d) En déduire la valeur de b pour que M. Dupont et Mme Paulette aient la même mé- diane.

(e) Initialement M. Dupont avait mis 7 et 14, 5 respectivement à Guillaume et Karim.

Quelles sont leurs nouvelles notes.

.

Correction

E 1

1. _p ³

x²+3−p

x²−5=1 2

(p

x²+1+p x²−5)

.

2.

px+6

px+6−3=x+6+3p x+6 x−3 .

E 2

1. AM=

√(

x−1 4

)2

+(p x−0)2

=

√ x²+1

2x+ 1 16=

√(

x+1 4

)2

=x+1

4 car x+1 4⩾0. 2. C'est donc l'origine, le point O (0 ; 0), qui est le point de Cle plus proche de A.

E 3

1. (a) a>0 et b⩾⁰ donc pour tout x∈R, ax²+b⩾⁰. On en déduit que Df =R. (b) a>0 et b<0, on a donc ₋^b

a >0. ax²+b=0 ⇐⇒ x²= −b

a ⇐⇒ x= −

√

−b

a ou x=

√

−b a. Comme a>0, ax²+b est positif à l'extérieur des racines.

On a donc Df = ]

−∞;−

√

−b a ]

∪ [√

−b a;+∞

[ .

(c) a<0 et b⩾⁰, on a donc ₋^b a⩾⁰.

□

□

□ si b>0 ax²+b=0 ⇐⇒ x²= −b

a ⇐⇒ x= −

√

−b

a ou x=

√

−b a.

Comme a<0, ax²+b est positif à l'intérieur des racines.

On a donc Df ={0}.

□

□

□ Si b=0 alors ax²+b=0 ⇐⇒ x=0.

Comme a<0, Df ={0}.

(d) a<0 et b<0 pour tout x∈R, ax²+b<0. On en déduit que Df= ;.

2.

VARIABLES : Type nombre : a,b

Type chaîne de caractères : I,J,K,L,M DEBUT

lire(a) lire(b)

I ← ]

−∞;−

√

−b a ]

∪ [√

−b a;+∞

[

J ← R K ←

[

−

√

−b a;

√

−b a ]

L ← ; M ← {0}

si a>0 etb⩾0 alors afficher(J) finsi

si a>0 etb<0alors afficher(I) finsi

si a<0 etb⩾0 alors si b=0 alors

afficher(M) sinon

afficher(K) finsi

finsi

si a<0 etb<0alors afficher(L) finsi

FIN

E 4

1. m(x)=3+x 3 . 2. V (x) =

(1−^x+₃³)2

+(

2−^x+₃³)2

+(

x−^x+₃³)2

3

= x²+(3−x)²+(2x−3)² 27

= 2 9x²−2

3x+2 3

= 2 9

(x²−3x+3)

= 2 9

((

x−3 2

)2

+3 4 )

= 2 9 (

x−3 2

)2

+1 6 3. De la forme canonique on déduit :

x

Var.

V

−∞ ³₂

1 6

+∞

4. V est minimale pour x=3

2, on trouve x=3 2.

E 5

1. (a) M^′_e=9, 5, Q1=6 et Q3=15.

(b) Par Mme Paulette car pour les copies de cette enseignante le premier quartile vaut8 alors que celui de M. Dupont vaut6.

(c) Par M. Dupont car son troisième quartile vaut 15 alors que celui de Mme Paulette vaut 13.

(d) Non car elle a été corrigée par M. Dupont et elle se plaint de sa note.

(e) Probablement par Mme Paulette.

2. (a) Non l'ordre n'est pas modifié, a>0, la fonction x7→ax+b est donc strictement croissante et ne change pas l'ordre.

(b) M^′_e=aMe+b, Q^′₁=aQ1+b, Q^′₃=aQ3+b

(c) On veut que Q₃^′ −Q^′₁=5 c'est à dire a(Q3−Q1)=5, comme Q3−Q1=9 on a a=5

9. (d)

M^′_e=10 ⇐⇒ 5

9×9, 5+b=10

⇐⇒ b=85 18 (e) Guillaume passe à ¹⁵⁵

18 ≈8, 6; Karim passe à ¹¹⁵

9 ≈12, 8.