Partie III : L’alg` ebre des quaternions

DM 30

Introduction

Dans tout ce probl`eme, n d´esigne un entier strictement positif, et les espaces vectoriels sont toujours desR-espaces vectoriels.

Dans ce probl`eme, on appelle corps toute R-alg`ebre, ´eventuellement non commutative, dans laquelle tout ´el´ement non nul admet un inverse pour le produit.

Partie I : ´ Etude d’un exemple

1^o) SoitAune matrice quelconque deM2(R). V´erifier que:

A²−tr(A)A+ det(A)I2= 0. 2^o) SoitAune matrice non scalaire; on noteAl’ensemble

A={M ∈ M2(R)/ ∃(a, b)∈R², M =aI₂+bA}

V´erifier queAest une alg`ebre de dimension deux, sous-alg`ebre deM₂(R).

3^o) Montrer queAcontient une matriceB telle que B²=−I2si et seulement si (trA)²<4 detA.

4^o) V´erifier qu’alorsI2 etB forment une base deAet en d´eduire un isomorphisme d’alg`ebres entreAet le corpsCdes nombres complexes.

5^o) On suppose que A est non scalaire et v´erifie: (trA)² = 4 detA. D´eterminer toutes les matrices de A telles queM²= 0, et en d´eduire queAn’est pas un corps.

6^o) SoitB une matrice non scalaire deM2(R). On lui associe l’alg`ebreBcomme dans I.2. D´emontrer que siAet B sont semblables,Aet Bsont des alg`ebres isomorphes.

7^o) On suppose queAest telle que: (trA)² >4 detA V´erifier queAest diagonalisable de valeurs propres distinctes. En d´eduire queAest isomorphe `a l’alg`ebre des matrices diagonales. Est-ce queAest un corps ?

Partie II : Quelques r´ esultats g´ en´ eraux

SoitDune alg`ebre de dimension finien.

1^o) Soitaun ´el´ement deD, d´emontrer que l’applicationϕa, d´efinie par:

ϕa:

D → D x 7→ ax est un endomorphisme de l’espace vectorielD.

2^o) On noteBune base deD. MatB(ϕa) d´esigne la matrice de l’endomorphismeϕadans la baseB. D´emontrer que l’application:

Ψ :

D → Mn(R) a 7→ MatB(ϕa)

est un morphisme injectif d’alg`ebres. V´erifier que Ψ(D) est une sous-alg`ebre deMn(R) et en d´eduire queD est isomorphe `a une sous-alg`ebre de Mn(R).

3^o) On suppose queD=C, corps des nombres complexes. On munitC, consid´er´e commeR-espace vectoriel, de la baseB= (1, i). Pour tout nombre complexe z=a+ib, (aetbr´eels), ´ecrire la matrice Mat_B(ϕ_z).

4^o) Soit maintenantAune sous-alg`ebre deM<sub>n</sub>(R). On s’int´eresse `a quelques cas o`u on peut affirmer que Aest, ou n’est pas, un corps.

a) On suppose que Acontient une matrice non scalaireAqui a une valeur propre r´eelle λ. Montrer queA ne peut pas ˆetre un corps. On utilisera une matrice bien choisie, combinaison lin´eaire deIn et deA.

b) En d´eduire que siAcontient une matrice diagonalisable ou trigonalisable non scalaire, elle ne peut pas ˆ

etre un corps.

enonce.tex DM 30, page 1 31/5/2021

c) On suppose queAest int`egre, c’est-`a-dire que:

∀A∈A,∀B ∈A, AB= 0 =⇒ A= 0 ouB= 0.

Montrer que, si A est une matrice non nulle de A, l’application ΦA : X 7→ AX est un isomorphisme de l’espace vectorielA. En d´eduire queAest un corps.

Partie III : L’alg` ebre des quaternions

On suppose qu’il existe deux matricesAetB deMn(R) telles que:

(∗) A²=−In, B²=−In, AB+BA= 0

1^o) Remarque : cette question utilise la notion de d´eterminant : on pourra l’admettre.

D´emontrer que nne peut pas ˆetre impair.

2^o) D´emontrer que le sous-espace vectorielHengendr´e par les matricesIn,A,B etABest une sous-alg`ebre deMn(R)

3^o) Lorsquet,x,y etz sont des r´eels, calculer le produit:

(tIn+xA+yB+zAB)(tIn−xA−yB−zAB) 4^o) En d´eduire:

(a) que les quatre matricesI_n,A, B etABsont ind´ependantes et forment une base deH; (b) queHest un corps.

5^o) On suppose dans toute la suite du probl`eme quen= 4 et, en notant J la matriceJ =

0 −1

1 0

et 0 la matrice nulle deM2(R), on d´efinit les matricesAetB deM4(R) par:

A=

J 0 0 −J

B=

0 −I2

I2 0

On pose ´egalementC=AB.

a) V´erifier que les matricesAetB satisfont la condition (∗). On appellera doncHle sous- espace vectoriel deM₄(R) engendr´e parI₄,A,Bet C=AB. Ses ´el´ements sont appel´esquaternions. La base (I₄, A, B, C) deHsera not´eeB.

b) SoitM une matrice non nulle deH, v´erifier que^tM ∈H; quel lien y a t-il entreM⁻¹ et^tM ?

Partie IV : Les automorphismes de l’alg` ebre des quaternions

1^o) On appelle quaternion pur un ´el´ementM deHtel queM =−^tM. V´erifier que l’ensemble des quaternions purs est un R-espace vectoriel de dimension trois et de base C= (A, B, C). On le note L. Est-ce une sous- alg`ebre deH?

2^o) On munitLde la structure d’espace vectoriel euclidien telle que la baseCsoit orthonorm´ee. Le produit scalaire de deux ´el´ementsM etN deLest not´e (M|N). Ainsi, siM =xA+yB+zC etN=x⁰A+y⁰B+z⁰C alors (M|N) =xx⁰+yy⁰+zz⁰.

On appelle norme deM la quantit´ekMk=p

(M|M).

V´erifier que:

1

2(M N +N M) =−(M|N)I4.

3^o) Montrer qu’un quaternion est pur si, et seulement si, son carr´e est une matrice scalaire de la formeλI4 o`u λest un r´eel n´egatif.

4^o) Soitϕun isomorphisme d’alg`ebre deHdans lui-mˆeme. D´emontrer qu’il transforme tout quaternion pur en un quaternion pur de mˆeme norme, et que la restriction deϕ`a Lest un endomorphisme orthogonal : si u∈L(L),uest un endomorphisme orthogonal si et seulement si pour toutM ∈L,ku(M)k=kMk.

5^o) Soient M et N deux quaternions purs. On veut d´emontrer que si M et N ont mˆeme norme, alors il existeP ∈H, non nulle, telle que:M =P⁻¹N P.

enonce.tex DM 30, page 2

a) Commencer par examiner le cas o`u M etN sont colin´eaires.

b) On suppose maintenant queM et N ne sont pas colin´eaires. V´erifier que si M etN ont mˆeme norme : M(M N)−(M N)N =kMk²(M −N)

et en d´eduire une matriceP non nulle telle que M P =P N.

6^o) Montrer qu’alors, si on ´ecritP =αI₄+Q, avecαr´eel etQ∈L,Qest orthogonal `a M et `a N.

7^o) En d´eduire que tout isomorphisme d’alg`ebre ϕdeHdans lui-mˆeme est d´efini par:

ϕ(M) =P⁻¹M P

o`uP est un ´el´ement non nul deH. On pourra observer qu’un tel isomorphisme est d´etermin´e par l’image de Aet de B, et commencer par chercher les isomorphismes qui laissentAinvariante.

Fin de l’´ enonc´ e.

enonce.tex DM 30, page 3