Alg`ebres de Frobenius et structure de double alg`ebre sur l’homologie de Hochschild

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Alg`ebres de Frobenius et structure de double alg`ebre sur l’homologie de

Hochschild

Par Marion Boucrot sous la direction d’Estanislao Herscovich

4 juin 2021

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Table des mati` eres

1 Introduction 2

2 Alg`ebres de Frobenius 4

2.1 Quelques notions d’algèbre . . . 4 2.2 Définitions et premières propriétés des algèbres de Frobenius . 11 2.3 La comultiplication sur une algèbre de Frobenius . . . 16

3 Doubles alg`ebres 22

3.1 Doubles algèbres de Lie et associatives . . . 22 3.2 Structure de double algèbre comme opérateur linéaire . . . 30 3.3 Idéaux d’une double algèbre . . . 33 4 Homologie et cohomologie de Hochschild 39 4.1 Le complexe de Hochschild . . . 39 4.2 La résolution Bar . . . 42 5 A∞-algèbres et structure de pre-Calabi-Yau 46 5.1 A∞-algèbres . . . 46 5.2 Structure de pre-Calabi-Yau . . . 48 6 Structure de double algèbre et structure de pre-Calabi-Yau

sur les algèbres de Frobenius symétriques 50 6.1 Structure de double algèbre sur une algèbre de Frobenius symétrique 50 6.2 Structure de pre-Calabi-Yau sur une algèbre de Frobenius symétrique 57

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Chapitre 1 Introduction

La notion d’algèbre de Frobenius est apparue dans les années 1930, avec les travaux de R. Brauer et de C.Nesbitt. Il s’agit d’algèbres munies d’une forme linéaire dont le noyau ne contient pas d’idéaux à gauche non triviaux, ou de manière équivalente, munies d’une forme bilinéaire non dégénérée. On s’intéressera ici plus particulièrement aux algèbres de Frobenius symétriques, c’est-à-dire munies d’une forme bilinéaire non dégénérée symétrique.

Une double algèbre est un espace vectoriel A muni d’une application linéaire A⊗A→A⊗Aappelée double crochet. Cette notion est relativement récente puisqu’elle a été introduite en 2008 par M.Van den Bergh dans [10], dans le contexte de Poisson. En effet, les doubles algèbres de Poisson sont des candidates naturelles pour les structures de Poisson basées sur les doubles dérivations comme présentées dans [2]. Dans ce mémoire, on s’intéressera particulièrement aux doubles algèbres associatives et à leurs propriétés.

L’homologie et la cohomologie de Hochschild ont été introduites en 1945 par G.Hochschild et généralisent l’homologie et la cohomologie des groupes.

Ce sont des théories homologiques dont l’étude s’est révélée importante en géométrie non commutative et on y trouve des applications en théorie des cordes.

La notion d’A∞-algèbre a été introduite dans les années 1960 par J.Stasheff tandis que les algèbres de pre-Calabi-Yau ont été introduites en 2018 et ont

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un rôle important en algèbre homolgique, en géométrie symplectique et dans la théorie des champs quantiques topologiques (TQFT’s). Ces structures de pre-Calabi-Yau sont apparues sous différents noms, commeV∞-algèbres dans [9], A∞-algèbres avec bord dans [6] ou diviseurs noncommutatifs dans [7].

Le chapitre 2 contient les définitions et premières propriétés des algèbres de Frobenius, et présente la structure de cogèbre d’une algèbre de Frobenius. Le chapitre 3 traite des doubles algèbres et de leurs idéaux tandis que le chapitre 4 présente l’homologie et la cohomologie de Hochschild d’une algèbre ainsi que la manière de les calculer. Le chapitre 5 aborde les définitions d’A∞- algèbres et de structure de pre-Calabi-Yau. Dans le chapitre 6, on étudie la structure de double algèbre d’une algèbre de Frobenius symétrique, ainsi que des conditions suffisantes sur le double crochet d’une double algèbre associative pour induire un produit associatif sur l’homologie de Hochschild en degré 0. En effet, on démontre que toute algèbre de Frobenius symétrique possède une structure canonique de double algèbre associative, vérifiant les conditions pour que son homologie de Hochschild en degré 0 soit munie d’un produit associatif induit par cette structure. On démontre également qu’une algèbre de Frobenius symétrique est uneA∞-algèbre 0-cyclique et qu’elle peut ˆ

etre munie d’une structure de pre-Calabi-Yau. Plus généralement, on montre ensuite que touteA∞-algèbre cyclique peut être munie d’une telle structure.

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Chapitre 2

Alg` ebres de Frobenius

On fixe un corpsKet on notera V ect_K la cat´egorie des espaces vectoriels sur K, avec pour morphismes les applications lin´eaires.

2.1 Quelques notions d’alg` ebre

Définition 2.1.1. Une forme bilinéaireβ :V ⊗W →Kestnon dégénérée en la variable V s’il existe une application linéaire γ :K→W⊗V telle que :

V ⊗K^id→^V^⊗γV ⊗(W ⊗V)^β⊗id→^V K⊗V =id_V

Définition 2.1.2. Une forme bilinéaireβ :V ⊗W →Kestnon dégénérée en W s’il existe une application linéaire γ⁰ :K→W ⊗V telle que :

K⊗W ^γ

0⊗idW

→ W ⊗(V ⊗W)^id^W→^⊗β W ⊗K=id_W

Définition 2.1.3. Une forme bilinéaireβ :V ⊗W →Kestnon dégénérée si elle l’est simultanément en V et W.

Remarque 2.1.4. Siβest non dégénérée, les applicationsγetγ⁰ co¨ıncident.

En effet, si β est non dégénérée simultanément en V et W, on considère la

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composition

λ:K

γ⊗γ⁰

→ W ⊗V ⊗W ⊗V ^id^W^⊗β⊗id→ ^V W ⊗V qui est la mˆeme chose que

K→^γ W ⊗V ^γ

0⊗id_W⊗id_V

→ W ⊗V ⊗W ⊗V ^id^W^⊗β⊗id→ ^V W ⊗V (2.1)

et que K ^γ

0

→W ⊗V îd^W^⊗id→^V^⊗γW ⊗V ⊗W ⊗V îd^W^⊗β⊗id→ ^V W ⊗V (2.2) En utilisant (2.1) et le fait que β est non dégénérée en W, on a λ =γ. En utilisant (2.2) et le fait que β est non dégénérée en V, on a λ=γ⁰.

Définition 2.1.5. L’application γ résultante est appelée coforme.

Exemple 2.1.6. L’´evaluation

V ⊗V^∗ →K v⊗Φ7→Φ(v)

est une forme bilinéaire. Elle est non dégénérée si et seulement si V est de dimension finie.

Définition 2.1.7. Si β : V ⊗W → K est une forme bilinéaire, on définit son adjoint à gauche par

β_{lef t}:W →V^∗ w7→β(−, w) et son adjoint `a droite par

β_right :V →W^∗

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Proposition 2.1.8. β :V ⊗W →Kest une forme bilinéaire non dégénérée si et seulement si W (resp. V) est de dimension finie et β_{lef t} (resp. β_right) est injective.

Démonstration. Supposons d’abord que β : V ⊗ W → K soit une forme bilinéaire non dégénérée, qu’on notera h-,-i. On écrit

γ(1) =

n

X

i=1

w_i⊗v_i

Pour x∈W, puisque β est non dégénérée en W, on a x=

n

X

i=1

w_ihv_i, xi

En particulier, {w_i}_i=1,...n est une famille g´en´eratrice de W, qui est alors de dimension finie.

Si h−, xi= 0, en particulier hv_i, xi = 0 pour tout i∈ {1, ..., n}. Les v_i ´etant les coordonn´ees de x selon {w_i}_i=1,...n, on a alors x=0 et β_{lef t} est donc injective.

Supposons à présent que W soit de dimension finie et que β_{lef t} soit injective. On considère une base (w₁,...,w_n) de W. Ces vecteurs sont linéairement indépendants et par injectivité de β_{lef t}, on a alors que les vecteurs

h−, w₁i, ...,h−, w_nisont lin´eairement ind´ependants. Il existe alors une famille (v₁,...,v_n) telle quehv_i, w_ji=δ_i,j.

On d´efinit alorsγ : 17→

n

P

i=1

wivi qui fait de β une application non dégénérée.

Proposition 2.1.9. Si V et W sont de dimension finie, β_{lef t} et β_right sont duales l’une de l’autre.

D´emonstration. On va montrer que β_{lef t}est l’application duale de β_right. On a

β_{lef t}^∗ : (V^∗)^∗ →W^∗

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et

ι:V →(V^∗)^∗

donn´ee par ι(v)(f)=f(v) pour v ∈ V et f ∈ V^∗. En composant, on obtient alors

β_{lef t}^∗ ◦ι:V →(V^∗)^∗ →W^∗ donn´ee, pour v, w∈V, par

β_{lef t}^∗ ◦ι(v)(w) = ι(v)◦β_{lef t}(w) =hv, wi Pour w∈W, βlef t(w)=h-,wiet ι(v)(βlef t(w))=hv,wi, donc

β_{lef t}^∗ :v 7→ hv,−i=β_right

On peut procéder de la même manière pour montrer que βright est l’application duale de βlef t.

Remarque 2.1.10. Dans le cas d’un espace vectoriel de dimension finie, le foncteur (-)^∗ est une équivalence de catégories, et préserve en particulier le fait d’être inversible. Dans ce cas, on a alors que βlef t est injective si et seulement si βright l’est. En utilisant qu’une application est surjective si et seulement si sa duale est injective, on peut écrire la proposition suivante.

Proposition 2.1.11. Considérons une forme bilinéaireβ :V⊗W →K, avec V et W de dimension finie. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : (i) β est non dégénérée,

(ii) βlef t est un isomorphisme, (iii) βright est un isomorphisme.

Proposition 2.1.12. Si V et W sont des K-espaces vectoriels de dimension finie, alors on a un isomorphisme W^∗⊗V^∗ '(V ⊗W)^∗

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D´emonstration. On peut montrer que

W^∗⊗V^∗ →(V ⊗W)^∗ Ψ⊗Φ7→(x⊗y7→Φ(x)⊗Ψ(y)) est un isomorphisme.

Définition 2.1.13. Une K-algèbre est un K-espace vectoriel A muni de deux applications linéaires µ : A ⊗ A → A, appelée multiplication et ν : K → A, appelée unité, telles que les diagrammes suivants soient commutatifs :

A⊗A⊗A A⊗A

A⊗A A

idA⊗µ

µ⊗id_A µ

µ

(2.3)

k⊗A A⊗A A⊗k

A

ν⊗id_A

µ

idA⊗ν

(2.4)

Remarque 2.1.14. La condition (2.3) traduit l’associativit´e de la mutlipli- cation de A.

Définition 2.1.15. Unhomomorphisme de K-algèbres est une application K-linéaire Φ :A→B telle que les diagrammes suivants soient commutatifs :

A⊗A B⊗B

A B

Φ⊗Φ

µA µB

Φ

(2.5)

(10)

K

A B

νA νB

Φ

(2.6)

Définition 2.1.16. Une cogèbre sur K est un K-espace vectoriel A muni de deux applications linéaires ∆ : A→A⊗A, appelée comultiplication et :A→K, appelée counité, vérifiant :

A A⊗A

A⊗A A⊗A⊗A

∆

∆ idA⊗∆

∆⊗idA

(2.7)

k⊗A A⊗A A⊗k

A

⊗idA

id_A⊗

∆ (2.8)

Remarque 2.1.17. La condition (2.7) traduit la coassociativit´e de la comultiplication de A.

Définition 2.1.18. Unhomomorphisme de cogèbresest une application K-linéaire Φ :A→B telle que les diagrammes suivants soient commutatifs :

A⊗A B⊗B

A B

Φ⊗Φ

∆A

Φ

∆B (2.9)

K

A ^Φ B

A

B

(2.10)

(11)

Nous allons à présent utiliser les dessins suivants pour présenter les concepts précédents de manière graphique :

pour la multiplication pour l’unit´e pour l’identit´e

Un espace vectoriel A sur K muni de cette multiplication et de cette unité est donc une K-algèbre si la condition d’associativité (2.3) est vérifiée, que l’on traduit comme suit :

=

et que l’on a la condition (2.4), traduite par :

= =

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2.2 D´ efinitions et premi` eres propri´ et´ es des alg` ebres de Frobenius

Définition 2.2.1. Une algèbre de Frobenius A est une K-algèbre de dimension finie équipée d’une forme linéaire : A → K dont le noyau ne contient aucun idéal à gauche non trivial, appelée forme de Frobenius.

Proposition 2.2.2. Si A est une K-alg`ebre de dimension finie, les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(i)Le noyau de la forme linéaire :A→K ne contient aucun idéal à gauche non trivial,

(ii)La forme bilinéaire β :A⊗A→A définie par (a, b)7→(ab) associée à est non dégénérée,

(iii)Il existe un isomorphisme de A-modules `a gauche A→^∼ A^∗, (iv)Il existe un isomorphisme de A-modules `a droite A→^∼ A^∗.

Démonstration. Le fait que β soit non dégénérée équivaut à β(A, y) = 0 ⇒y = 0

ce qui ´equivaut `a

(Ay) = 0 ⇒y= 0

donc au fait que le noyau de la forme linéaire ne contienne pas d’idéal principal à gauche non trivial. Puisque chaque idéal à gauche non trivial contient un idéal principal à gauche non trivial, on en déduit que est une forme de Frobenius.

Etant donn´´ e une forme de Frobenius , on peut construire une application A → A^∗ définie par 1_A 7→ . Cette application est injective puisque Ker() n’a pas d’idéal à gauche non trivial et puisque A est de dimension finie, c’est un isomorphisme.

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linéaire : A → K dont le noyau ne contient pas d’idéaux à gauche non triviaux par injectivité de Φ.

Définition 2.2.3. β est appelée forme bilinéaire de Frobenius.

Remarque 2.2.4. On a alors quatre caractérisations différentes d’une algèbre de Frobenius.

Définition 2.2.5. On dit qu’une forme linéaire Φ : A → K satisfait la condition trace si elle vérifie

Φ(ab) = Φ(ba)∀a, b∈A (2.11)

Définition 2.2.6. Une algèbre de Frobenius est dite symétrique si la forme de Frobenius :A →K satisfait (2.11).

est alors dite centrale.

Proposition 2.2.7. Si A est une alg`ebre de Frobenius, alors les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(i)La forme de Frobenius :A→K est centrale,

(ii)La forme bilinéaire de Frobeniusβ :A⊗A→Aassociée àest symétrique, (iii)L’isomorphisme de A-modules à gauche A→^∼ A^∗ est aussi A-linéaire à droite,

(iv)L’isomorphisme de A-modules à droite A→^∼ A^∗ est aussi A-linéaire à gauche.

Démonstration. Grâce à la proposition (2.2.2), pour l’équivalence de deux premières conditions il nous faut seulement montrer que la symétrie de la forme de Frobenius est équivalente à la symétrie de la forme associée β.

Pour a, b∈A, si est sym´etrique, on a

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donc β est sym´etrique.

Pour a, b∈A, siβ est sym´etrique, on a

(ab) = β(a, b) =β(b, a) =(ba) donc est sym´etrique.

Si β est sym´etrique, pour tousa, b∈A, on a

β_{lef t}(ab) = h−, abi=hab,−i=ha, b−i=hb−, ai et

β_{lef t}(a).b=hb−, ai donc β_{lef t} est A-lin´eaire `a droite.

Supposons que β_{lef t} soit également A-linéaire à droite. On a, par A-linéarité

`

a droite,

β(a, b) =β_{lef t}(1_A)(ab) = (b.β_{lef t}(1_A))(a)

=β_{lef t}(b)(a) = (β_{lef t}(1_A).b)(a)

=β_{lef t}(1_A)(ba) = β(b, a) donc β est sym´etrique.

On traite de la mˆeme fa¸con l’´equivalence entre (ii) et (iv).

Remarque 2.2.8. On a ici encore quatre caractérisations différentes d’une algèbre de Frobenius symétrique.

Définition 2.2.9. Le produit intérieur est défini par

b∗(a₁⊗a₂)∗c=a₁c⊗ba₂ ∀a₁, a₂, b, c∈A (2.12)

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Remarque 2.2.10. En termes de coforme, la sym´etrie se traduit par γ(1).a=a.γ(1)

γ(1)∗a=a∗γ(1)

D´efinition 2.2.11. Une alg`ebre de Frobenius (A,) est dite commutative si A est commutative.

Remarque 2.2.12. Toute alg`ebre de Frobenius A commutative est sym´etrique.

En effet, si A est commutative, pour tous a, b∈A on a ab=ba, donc (ab) =(ba).

Nous allons à présent donner quelques exemples d’algèbres de Frobenius.

Exemple 2.2.13. (l’alg`ebre de Frobenius triviale) (K, id_K) est une alg`ebre de Frobenius.

Exemple 2.2.14. (un exemple concret)

C est une alg`ebre de Frobenius sur R avec une forme de Frobenius donn´ee par :

C→R a+ib7→a

Exemple 2.2.15. (extensions alg´ebriques de corps)

Si Lest une extension finie deK, alors toute applicationK-lin´eaire non nulle : L → K est une forme de Frobenius puisque les corps n’ont pas d’id´eaux propres non nuls.

Remarque 2.2.16. La structure de Frobenius sur une alg`ebre n’est donc pas unique. On a cependant la proposition suivante :

Proposition 2.2.17. Si est une forme de Frobenius sur A, toute autre forme de Frobenius sur A est donnée parµ◦, où µdésigne la multiplication par un élément inversible de A.

De plus, si (A,) est symétrique, toute autre forme de Frobenius centrale est donnée par µ⁰ ◦, où µ’ désigne la multiplication par un élément inversible

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Exemple 2.2.18. (alg`ebres de matrices)

M_n(K) est une alg`ebre de Frobenius sur K avec la trace T r :M_n(K)→K

A= (a_ij)_i,j 7→

n

X

i=1

a_ii

Cette algèbre de Frobenius est même symétrique.

En revanche, si on consid`ere la matrice B=(b_ij)_i,j d´efinie par b_ij = 1 si j =n−i+ 1, M_n(K) munie de

:Mn(K)→ K A= (aij)i,j 7→ T r(AB) n’est pas sym´etrique puisque B n’est pas centrale.

Remarque 2.2.19. La symétrie d’une algèbre de Frobenius dépend donc de la forme de Frobenius choisie.

Exemple 2.2.20. (Anneaux de Gorenstein) On considère un anneau commutatif A artinien et local, avec pour idéal maximal m. A est un anneau de Gorenstein si on a Soc(A)'A/m où Soc(A) est l’annulateur de m.

On a alors que A, muni de n’importe quelle forme lin´eaire ne s’annulant pas sur le socle, est une alg`ebre de Frobenius.

K[x]/hxⁿia pour soclehxⁿ⁻¹iet peut donc ˆetre muni de la forme de Frobenius θ:K[x]/hxⁿi →K

a₀+...+an−1xⁿ⁻¹ 7→an−1

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2.3 La comultiplication sur une alg` ebre de Frobenius

On munit la K-alg`ebre A d’une forme de Frobenius qu’on pr´esente comme suit :

La forme bilinéaire de Frobenius β sera représentée par :

On a les relations suivantes entre β et :

=

(2.13) et

= =

(2.14) D´efinition 2.3.1. On dit que ∆satisfait la condition de Frobeniussi on a

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= =

(2.15) La non dégénérescence de la forme de Frobenius est caractérisée par l’exis- tence d’une forme γ représentée par

et satisfaisant la condition suivante, appel´ee relation du serpent :

= =

On peut alors d´efinir ∆ par :

= =

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Cela signifie que l’on a

∆ = (µ⊗id_A)◦(id_A⊗γ) = (id_A⊗µ)◦(γ⊗id_A)

Proposition 2.3.2. Si (A,) est une algèbre de Frobenius, ∆ est une comultiplication sur A satisfaisant la condition de Frobenius et fait de A une cogèbre avec la counité .

De plus, c’est l’unique comultiplication de counit´e .

D´emonstration. On va d’abord montrer que ∆ satisfait la condition de Fro- benius (2.15). On a, en utilisant l’associativit´e de la multiplication µ,

= =

Ce qui nous donne la première égalité de (2.15). La deuxième égalité se montre de la même fa¸con.

Il nous reste à montrer que ∆ est coassociative, c’est-à-dire vérifie (2.7) et que vérifie (2.8).

On peut traduire (2.7) comme :

=

Par d´efinition de ∆, on a :

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=

En utilisant l’associativité de la multiplication, on remarque que l’on a égalité avec :

=

On va à présent montrer que est une counité pour ∆, c’est-à-dire que :

= =

En utilisant (2.14), on a :

= = =

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est donc bien une counit´e pour ∆.

Une preuve de l’unicit´e est donn´ee dans [5].

On vient donc de montrer que toute algèbre de Frobenius (A,) peut être munie d’une unique structure de cogèbre ayant pour counité .

Proposition 2.3.3. Si A est unK-espace vectoriel muni d’une multiplication µ et d’une unité ν ainsi que d’une comultiplication ∆ et d’une counité , vérifiant la condition de Frobenius (2.15), alors :

(i) A est de dimension finie,

(ii) µ est associative (et A est donc une K-alg`ebre de dimension finie), (iii) est une forme de Frobenius.

Remarque 2.3.4. On a alors qu’une K-algèbre de dimension finie est une algèbre de Frobenius si et seulement si elle admet une comultiplication qui est un morphisme de Aê-modules et une counité.

C’est Lowell Abrams qui d´emontra cette ´equivalence en premier, dans l’article [1].

Proposition 2.3.5. La comultiplication d’une alg`ebre de Frobenius est commutative si et seulement si sa multiplication l’est.

On pourra trouver une preuve graphique de ces propositions dans [5].

Remarque 2.3.6. SiΦ :A→A⁰ est un homomorphisme d’algèbres vérifiant ⁰ ◦Φ = pour :A→K une forme de Frobenius et ⁰ :A⁰ →K alors Φ est injectif. En effet, Ker(Φ) étant un idéal de A inclus dans Ker(), Ker(Φ)=0.

Définition 2.3.7. Un homomorphisme d’algèbres de Frobenius est un homomorphisme qui est simultanément un homomorphisme d’algèbres et un homomorphisme de cogèbres.

En particulier, un homomorphisme d’alg`ebres de Frobenius Φ : (A, )→(A⁰, ⁰) v´erifie ⁰◦Φ = .

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Proposition 2.3.8. Un homomorphisme entre alg`ebres de Frobenius Φ : (A, )→(A⁰, ⁰) est toujours inversible.

Démonstration. Φ est comultiplicatif et respecte les counités donc son dual Φ^∗ est mutliplicatif et respecte les unités.

On a alors que Φ^∗ est injectif, donc c’est un isomorphisme. Ceci implique que Φ est surjectif et puisqu’il est injectif par (2.3.6), c’est un isomorphisme.

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Chapitre 3

Doubles alg` ebres

Dans ce chapitre, on consid´erera un corps K.

3.1 Doubles alg` ebres de Lie et associatives

Définition 3.1.1. Unedouble algèbreest un espace vectoriel A muni d’une application linéaire appelée double crochet M :A⊗A→A⊗A.

Pour a, b∈A, on notera M(a, b) = M⁰(a, b)⊗M⁰⁰(a, b).

Définition 3.1.2. Une double algèbre unitaire est une double algèbre (A,M) munie d’un élément e∈A vérifiant pour tout a∈A

M(e⊗a) = e⊗a M(a⊗e) = a⊗e

Définition 3.1.3. Une sous-algèbre d’une double algèbre (A,M) est un sous-espace vectoriel A⁰ de A tel que M|A⁰⊗A⁰ est à valeurs dans A⁰⊗A⁰. Remarque 3.1.4. L’intersection de deux sous-algèbres A₁, A₂ d’une double algèbre (A,M) est une double algèbre.

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En effet, puisque l’on a

M|A1⊗A1 ⊆A₁⊗A₁ M|A₂⊗A₂ ⊆A₂⊗A₂ pour a, b∈A₁∩A₂, on a

M(a, b)∈(A₁⊗A₁)∩(A₂⊗A₂)

donc M|(A1∩A2)⊗(A1∩A2) est `a valeurs dans (A₁∩A₂)⊗(A₁∩A₂) et A₁ ∩A₂ est une sous-alg`ebre.

Définition 3.1.5. Unhomomorphismeentre les doubles algèbres(A, M_A) et (B, M_B) est une application linéaire Φ : A → B telle que le diagramme suivant commute :

A⊗A B⊗B

Φ⊗Φ

MA MB

Φ⊗Φ

(3.1)

Définition 3.1.6.Unhomomorphismeentre les doubles algèbres unitaires (A, M_A, e_A) et (B, M_B, e_B) est un homomorphisme de doubles algèbres Φ :A→B tel que Φ(e_A) =e_B.

On peut étendre le double crochetM :A⊗A→A⊗Aà quatre applications linéairesA^⊗3 →A^⊗3, en notantτ :A⊗A→A⊗Al’applicationa⊗b7→b⊗a:

a⊗b⊗c7→M(a, b⊗c)_L=M(a, b)⊗c

a⊗b⊗c7→M(a, b⊗c)_R= (τ⊗id)(b⊗M⁰(a, c)⊗M⁰⁰(a, c)) a⊗b⊗c7→M(a⊗b, c)_L= (id⊗τ)(b⊗M⁰(a, c)⊗M⁰⁰(a, c)) a⊗b⊗c7→M(a⊗b, c)_R=a⊗M(b, c)

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On remarque que l’on aM(a, b⊗c)_R =M(a⊗b, c)_L, ce que l’on peut r´e´ecrire : (τ⊗id)◦(id⊗M)◦(τ ⊗id) = (id⊗τ)◦(M⊗id)◦(id⊗τ)

On notera

Mˆ = (id⊗τ)◦(M ⊗id)◦(id⊗τ) Remarque 3.1.7. On a

ˆ

τ = (id⊗τ)◦(τ⊗id)◦(id⊗τ) = (τ ⊗id)◦(id⊗τ)◦(τ ⊗id) Définition 3.1.8. Une double algèbre (A,M) est appelée double algèbre de Lie si elle vérifie :

(Anti-sym´etrie)

M(a, b) =−τ(M(b, a))∀a, b∈A (3.2) (Jacobi)

M(a, M(b, c))_L−(τ ⊗id)(M(b, M(a, c))_R) =M(M(a, b), c)_L ∀a, b, c∈A (3.3) D´efinition 3.1.9. Une double alg`ebre (A,M) est associative si le diagramme suivant est commutatif :

A^⊗3 A^⊗3

M⊗id

id⊗M id⊗M

Mˆ

M⊗id

id⊗M

M⊗id

(3.4)

Pour a, b, c∈A, la commutativité du trapézo¨ıde supérieur est équivalente à M(a, M(b, c))_R =M(M(a, b), c)_R

(26)

et celle du trapézo¨ıde inférieur à

M(a, M(b, c))_L =M(M(a, b), c)_L

D´efinition 3.1.10. Une double alg`ebre (A,M) est commutative si elle est associative et que le diagramme suivant est commutatif :

A^⊗2 A^⊗2

τ

M M

τ

(3.5)

Pour a, b∈A, cela se traduit par :

M(a, b) =τ(M(b, a))∀a, b∈A

Exemple 3.1.11. Pour un K-espace linéaire A, on définit la double algèbre A_cpar A muni du double crochet défini parM(a, b) =a⊗bpour tousa, b∈A.

Cette double alg`ebre est associative et commutative.

Exemple 3.1.12. (un exemple concret)

Si B =K² est muni de la base canonique(e₁, e₂), on d´efinit un double crochet sur B par

M(e₁, e₁) =e₁⊗e₂, M(e₁, e₂) =M(e₂, e₁) =M(e₂, e₂) = 0.

B est alors une double alg`ebre associative et non commutative.

On notera τ ◦M =_τM etM ◦τ =M_τ.

Exemple 3.1.13. (double algèbre opposée à gauche)

Si (A,M) est une double algèbre, on définit son opposée Aôp par A muni du double crochet défini par M(a, b)ôp=_τM(b, a)pour tous a, b∈A. De plus, si

(27)

l’est aussi.

En effet, pour a, b, c∈A, on a

τM(_τM(a, b), c)_R= (τ ⊗id)◦(id⊗τ)(M(M(a, b), c)_L)

τM(a,_τM(b, c))_R= (τ ⊗id)◦(id⊗τ)(M(a, M(b, c))_L)

τM(_τM(a, b), c)_L= (id⊗τ)◦(τ⊗id)(M(M(a, b), c)_R)

τM(a,_τM(b, c))_L= (id⊗τ)◦(τ⊗id)(M(a, M(b, c))_R)

ce qui nous permet de conclure que A^op est une double alg`ebre associative si A l’est.

On a ´egalement, pour a, b∈A,

τ(_τM(a, b)) =M(a, b)

ce qui nous donne que A^op est une double alg`ebre de Lie (resp. commutative) si A l’est.

Proposition 3.1.14. (double algèbre opposée à droite)

Si (A,M) est une algèbre double associative, alors (A, M_τ)est également une algèbre double associative.

D´emonstration. On va montrer dans un premier temps que l’on a (id⊗Mτ)◦(Mτ⊗id) = ˆMτ ◦(id⊗Mτ)

(28)

On a

(id⊗M_τ)◦(M_τ⊗id)

= (id⊗M)◦(id⊗τ)◦(M⊗id)◦(τ ⊗id)

= (id⊗M)◦(id⊗τ)◦(M⊗id)◦(id⊗τ)◦(id⊗τ)◦(τ⊗id)

= (id⊗M)◦(τ ⊗id)◦(id⊗M)◦(τ ⊗id)◦(id⊗τ)◦(τ⊗id)

= (τ⊗id)◦Mˆ ◦(id⊗M)◦ˆτ

= (τ⊗id)◦(id⊗M)◦(M⊗id)◦τˆ et

Mˆ_τ ◦(id⊗M_τ)

= (τ⊗id)◦(id⊗M)◦(id⊗τ)◦(τ⊗id)◦(id⊗M)◦(id⊗τ)

= (τ⊗id)◦(id⊗M)◦(id⊗τ)◦(id⊗τ)◦(M ⊗id)◦τˆ

= (τ⊗id)◦(id⊗M)◦(M⊗id)◦τˆ Il nous faut `a pr´esent montrer que

(M_τ ⊗id)◦(id⊗M_τ) = ˆM_τ ◦(M_τ ⊗id) On a

(M_τ ⊗id)◦(id⊗M_τ)

= (M ⊗id)◦(τ ⊗id)◦(id⊗M)◦(id⊗τ)

= (M ⊗id)◦(τ ⊗id)◦(id⊗M)◦(τ ⊗id)◦(τ ⊗id)◦(id⊗τ)

= (M ⊗id)◦(id⊗τ)◦(M⊗id)◦(id⊗τ)◦(τ ⊗id)◦(id⊗τ)

= (id⊗τ)◦Mˆ ◦(M ⊗id)◦ˆτ

= (id⊗τ)◦(M ⊗id)◦(id⊗M)◦τˆ

(29)

et

Mˆ_τ ◦(M_τ ⊗id)

= (id⊗τ)◦(M ⊗id)◦(τ⊗id)◦(id⊗τ)◦(M ⊗id)◦(τ⊗id)

= (id⊗τ)◦(M ⊗id)◦(τ⊗id)◦(τ⊗id)◦(id⊗M)◦τˆ

= (id⊗τ)◦(M ⊗id)◦(id⊗M)◦τˆ

Proposition 3.1.15. Si (A,M) est une double algèbre associative, alors (A,M˜) est une algèbre de Lie notée A⁽⁻⁾, où M˜(a, b) = M(a, b)−τM(b, a) pour tous a, b∈A.

Démonstration. On commence par vérifier la condition (3.2) d’anti-symétrie.

Pour a, b, c∈A, on a

M˜(a, b) = M(a, b)−_τM(b, a) =−(−M(a, b) +_τM(b, a)) et

τM(a, b) =˜ τM(b, a)−_τ²M(a, b) = τM(b, a)−M(a, b) d’o`u ˜M(a,b)=-_τM(b,a).˜

On doit ensuite v´erifier la condition (3.3) de Jacobi. On peut v´erifier que pour a, b, c∈A,

M˜(a,M˜(b, c))_L= ˜M(a, M(b, c))_L−( ˜M(a,_τM(c, b))_L)

=M(a, M(b, c))_L−(τ⊗id)◦(id⊗τ)(M(M(b, c), a)_L)

−(id⊗τ)◦M(a, M(c, b))_R

+ (id⊗τ)◦(τ⊗id)◦(id⊗τ)(M(M(c, b), a)_R)

(30)

et

(τ ⊗id)( ˜M(b,M˜(a, c))_R) = ˜M(b, M(a, c))_R−( ˜M(b,_τM(c, a))_R)

= (τ ⊗id)(M(b, M(a, c))_R)−(id⊗τ)◦M(M(a, c), b)_R

−(τ ⊗id)◦(id⊗τ)(M(b, M(c, a))_L) + (id⊗τ)◦(τ ⊗id)(M(M(c, a), b)_L) et

M˜( ˜M(a, b), c)_L= ˜M(M(a, b), c)_L−( ˜M(_τM(b, a), c))_L

=M(a, M(b, c))_L−(id⊗τ)◦(τ ⊗id)(M(c, M(a, b))_L)

−(τ⊗id)(M(M(b, a), c)_R)

+ (id⊗τ)◦(τ⊗id)◦(id⊗τ)(M(c, M(b, a))_R) En utilisant l’associativité de (A,M), on obtient alors l’identité désirée.

Proposition 3.1.16. Si (A, M_A)et(B, M_B)sont des doubles alg`ebres, alors A⊗B est une double alg`ebre munie de

M(a1⊗b1, a2⊗b2) = (id⊗τ ⊗id)◦(MA(a1, a2)⊗MB(b1, b2)) pour a₁, a₂ ∈A, b₁, b₂ ∈B.

De plus, si A est une double alg`ebre de Lie (resp. associative, resp. commutative) et si B est commutative, alors A⊗B est une double alg`ebre de Lie (resp. associative, resp. commutative).

Proposition 3.1.17. Si A est une double algèbre de dimension finie, alors l’application conjuguée M^∗ munit A^∗ d’une structure de double algèbre.

De plus, si A est une double alg`ebre de Lie (resp. commutative), alors A^∗ l’est aussi.

En revanche, c’est faux pour l’associativit´e.

(31)

Exemple 3.1.18. On consid`ere A=K² muni du double crochet d´efini par M(e₁, e₁) = e₁⊗e₂−e₂⊗e₁

M(e_i, e_j) = 0si(i, j)6= (1,1).

C’est alors une double algèbre de Lie isomorphe à B⁽⁻⁾, où B définie dans l’exemple (3.1.12).

Cependant,A^∗ =K² muni deM(e₁, e₂) =e₁⊗e₁ =−M(e₂, e₁)est également une double algèbre de Lie mais ne peut pas être présentée comme A⁰⁽⁻⁾ pour une double algèbre associative A⁰.

3.2 Structure de double alg` ebre comme op´ erateur lin´ eaire

D´efinition 3.2.1. Pour A un espace vectoriel de dimension finie, on d´efinit la forme trace par

h−,−i:End(A)×End(A)→K (a, b)7→tr(ab)

Remarque 3.2.2. C’est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et invariante (i.e hab, ci=ha, bci=hb, cai ∀ a, b, c∈A).

On fixe un isomorphisme lin´eaireι :End(A)→End(A)^∗ donn´e par hι(a), bi=ha, bi ∀a, b∈A,

.

On peut identifier End(A) et A^∗ ⊗A grˆace `a l’application A^∗ ⊗A →End(A)

(32)

De même, on identifie End(A)⊗End(A) à End(End(A)) en rempla¸cant A par End(A) dans l’identification précédente.

On a alors les isomorphismes suivants :

End(A⊗A)'(A⊗A^∗)⊗(A⊗A) 'A^∗⊗A^∗⊗A⊗A 'A^∗⊗A⊗A^∗ ⊗A 'End(A)⊗End(A) 'End(End(A)) Ceci nous permet d’´enoncer la proposition suivante :

Proposition 3.2.3. Toute structure de double algèbre M est déterminée par un opérateur linéaire R :End(A)→End(A).

On peut mˆeme avoir une expression explicite d’un double crochet en termes d’op´erateurs :

On consid`ere (e₁, ..., e_N) une base de End(A) et (e^∗₁, ...e^∗_N) la base duale relativement `a la forme trace, i.e he^∗_i, e_ji=δ_i,j.

On considère également R* l’opérateur conjugué de R relativement à la forme trace.

On a alors pour a, b∈A :

M(a, b) =

n

X

i=0

e_i(a)⊗R(e^∗_i)(b) =

n

X

i=0

R^∗(e_i)(a)⊗e^∗_i(b) (3.6) Théorème 3.2.4. Considérons une double algèbre (A,M) déterminée par un opérateur R. On a alors les équivalences suivantes :

(i) A est une double alg`ebre de Lie si et seulement si

∗

(33)

(ii)A est une double alg`ebre associative si et seulement si

R(a)R(b) = R(R(a)b), R^∗(a)R^∗(b) =R^∗(R^∗(a)b) (3.8) (iii) A est une double alg`ebre commutative si et seulement si

R=R^∗, R(a)R(b) =R(R(a)b) = R(aR(b)) (3.9) On pourra trouver une preuve de ce th´eor`eme dans [4].

Remarque 3.2.5. Si (A,M) est une double algèbre associative déterminée par un opérateur linéaire R, (3.8) implique que A munie du produit double déterminé par R^∗ est aussi une double algèbre associative, puisque (R^∗)^∗ =R.

Or l’op´erateur R^∗ d´efinit, pour a, b∈A, le produit

n

X

i=0

e_i(a)⊗R^∗(e^∗_i)(b) =

n

X

i=0

R(e_i)(a)⊗e^∗_i(b) qui est _τM_τ.

En effet,

τM_τ(a, b) =_τM(b, a)

=τ(

n

X

i=0

ei(b)⊗R(e^∗_i)(a))

=

n

X

i=0

R(e^∗_i)(a)⊗e_i(b)

=

n

X

i=0

R(e_i)(a)⊗e^∗_i(b)

Puisque (A,_τM) est associative d’après l’exemple (3.1.13) si (A,M) l’est, on retrouve l’associativité de M_τ énoncée dans la proposition (3.1.14), dans le cas où A est de dimension finie.

(34)

3.3 Id´ eaux d’une double alg` ebre

Définition 3.3.1. Un idéal d’une double algèbre (A,M), un sous-espace I ⊆A tel que M(A, I) +M(I, A)⊆I⊗A+A⊗I, où l’on a noté

M(A, I) = M(A⊗I).

Remarque 3.3.2. Si I est un idéal d’une double algèbre A, alors le quotient A/I est muni d’une structure de double algèbre.

En effet, le quotient A/I est bien d´efini puisque I est un sous-espace de A, et on peut consid´erer l’application

M¯ :A/I⊗A/I →A/I⊗A/I

(¯a,¯b)7→M⁰(a, b)⊗M⁰⁰(a, b) Cette application est bien d´efinie puisque si (¯a,¯b) = (¯c,d), on a¯

M(a, b)−M(c, d) =M(a, b)−M(c, b) +M(c, b)−M(c, d)

=M(a−c, b) +M(c, b−d)

∈M(I, A) +M(A, I)⊆A⊗I+I ⊗A donc M⁰(a, b)⊗M⁰⁰(a, b) = M⁰(c, d)⊗M⁰⁰(c, d).

Nous allons à présent énoncer quelques propriétés du produit tensoriel de K-espaces vectoriels qui seront utiles par la suite.

Proposition 3.3.3. Si E et F sont deux K-espace vectoriels, et si {v_i}_i∈I, {w_i}_i∈I sont des familles de vecteurs de E et F respectivement telles que {v_i}_i∈I forme une famille libre, alors

X

i∈I

v_i⊗w_i = 0⇐⇒w_i = 0∀i D´emonstration. Soit u∈F^∗ une forme lin´eaire sur F.

(35)

On peut v´erifier que l’application

f :E⊗F →E x⊗y7→xu(y) est bien d´efinie. Si P

i∈I

v_i⊗w_i = 0, on a alorsf(P

i∈I

v_i⊗w_i) = 0, ce qui donne P

i∈I

v_iu(w_i) = 0.

La famille {v_i}i∈I ´etant libre, on en d´eduit que u(w_i) = 0 pour tout i∈I.

Ceci ´etant vrai pour toute forme lin´eaire u∈F^∗, w_i = 0 pour touti∈I.

Remarque 3.3.4. On en d´eduit que si E et F sont deux K-espace vectoriels, et si {v_i}i∈I, {w_j}j∈J sont des familles libres de vecteurs de E et F respectivement, alors {v_i⊗w_j}(i,j)∈I×J est une famille libre de E⊗F.

On peut également montrer que si{v_i}i∈I,{w_j}j∈J sont des familles génératices de vecteurs de E et F respectivement, alors {v_i⊗w_j}(i,j)∈I×J est une famille génératrice de E⊗F.

On a alors que si {v_i}i∈I, {w_j}j∈J sont des bases respectives de E et F, {v_i⊗w_j}(i,j)∈I×J est une base de E⊗F.

Proposition 3.3.5. Si V₁, V₂, W₁, W₂ sont des K-espaces vectoriels et f₁ :V₁ →W₁, f₂ :V₂ →W₂ des applications lin´eaires, alors

Ker(f₁⊗f₂) =Ker(f₁)⊗V₂+V₁ ⊗Ker(f₂)

D´emonstration. On a clairementKer(f₁)⊗V₂+V₁⊗Ker(f₂)⊆Ker(f₁⊗f₂).

On peut ´ecrire

V₁ =U₁⊕Ker(f₁) V₂ =U₂⊕Ker(f₂) o`u U₁, U₂ sont des K-espaces vectoriels, et on a alors

(36)

On a

U₁⊗Ker(f₂)⊕Ker(f₁)⊗U₂⊕Ker(f₁)⊗Ker(f₂) = Ker(f₁)⊗V₂+V₁⊗Ker(f₂) donc il nous reste `a monter que (f₁⊗f₂)|U₁⊗U₂ est injective.

Si {x_i}i∈I est une base de U₁ et {y_j}j∈J une base de U₂, alors en utilisant (3.3.4), la famille (x_i⊗y_j)i∈I,j∈J forme une base de U₁⊗U₂.

Tout élément x⊗y deU₁⊗U₂ s’écrit donc sous la forme P

i∈I

P

j∈J

λ_i,jx_i⊗y_j. Si (f₁⊗f₂)(x⊗y)=0, on a alors

(f₁⊗f₂)(X

i∈I

X

j∈J

λ_i,jx_i⊗y_j) =X

i∈I

X

j∈J

λ_i,jf₁(x_i)⊗f₂(y_j)

= 0

Puisque f₁ est injective sur U₁ et que f₂ est injective sur U₂, on a que les familles (f₁(x_i))i∈I,(f₂(y_j))j∈J sont libres et en utilisant (3.3.4),

(f₁(x_i)⊗f₂(y_j))i∈I,j∈J l’est ´egalement, donc (f₁⊗f₂)_|U₁_⊗U₂ est injective.

Ces propriétés du produit tensoriel sur un corps nous permettent d’écrire la propositon suivante :

Proposition 3.3.6. Si (A,M) est une double algèbre, un sous-espace I ⊆A est un idéal de A si et seulement si c’est le noyau d’un homomorphisme de doubles algèbres.

D´emonstration. Supposons tout d’abord que I ⊆A soit un id´eal de A.

D’après la remarque précédente, (A/I,M¯) est une double algèbre et on peut considérer l’application

φ¯:A→A/I a7→a¯

(37)

On a, pour a, b∈A,

( ¯φ⊗φ)(M¯ (a, b)) = M⁰(a, b)⊗M⁰⁰(a, b)

= ¯M( ¯φ(a),φ(b))¯

donc ¯φ est un homomorphisme de doubles alg`ebres et I est son noyau.

Supposons à présent que I soit le noyau d’un homomorphisme de doubles algèbres Φ : (A, M_A)→(B, M_B).

Puisque φ est un homomorphisme, on a

(φ⊗φ)(M_A(A, I) +M_A(I, A)) = M_B((φ⊗φ)(A⊗I+I⊗A))

Or, d’apr`es la proposition (3.3.5), A⊗I+I⊗A est le noyau de φ⊗φ donc (φ⊗φ)(M_A(A, I) +M_A(I, A)) = 0

et M_A(A, I) +M_A(I, A)⊆A⊗I+I⊗A.

Définition 3.3.7. Une double algèbre (A,M) est simple si M(A, A)6= 0 et si A n’a pas d’idéaux propres.

Proposition 3.3.8. Si (L,M) est une double algèbre de dimension finie déterminée par un opérateurR :End(L)→End(L), alors L n’a pas de sous- espace propre non nul invariant relativement à R(End(L)) et R^∗(End(L)).

D´emonstration. En utilisant la description (3.6) de M en fonction de R, on remarque que tout espace R(End(L))-invariant (resp.R^∗(End(L))-invariant) est un id´eal de V.

Théorème 3.3.9. Une double algèbre de Lie L de dimension finie stricte- ment supérieure à 1 contient un idéal propre non nul.

Démonstration. D’après le théorème (3.2.4), le double crochet de L est donné par un opérateur linéaire R sur A=End(L), vérifiant (3.7).

On d´eduit de

(38)

que R(A) est une sous-alg`ebre de A. En revanche, R(A) ne contient pas 1_A. En effet, si 1_A=R(a) pour a∈A, alors

1_A1_A=R(a)R(a) = R(a) +R(a) = 1_A+ 1_A ce qui est impossible.

Supposons que L est simple. Alors L est un R(A)-module irréductible d’après la proposition précédente, ce qui équivaut à dire que R(A) est un A-module irréductible, donc contient l’identité. On aboutit alors à une contradiction, donc L n’est pas simple, et L contient un idéal propre non nul.

Remarque 3.3.10. La seule double alg`ebre de Lie de dimension finie sans id´eaux propres non nuls est donc de dimension 1. Dans ce cas, on a

M(L, L) = 0 et donc aucune double alg`ebre de Lie n’est simple.

On va à présent étudier la simplicité des doubles algèbres associatives.

On consid`ere α∈K non nul et un espace vectoriel V sur K muni du double crochet d´efini par M(u, v) = αu⊗v pour u, v∈V.

Alors V est une double alg`ebre commutative et tout sous-espace de V en est un id´eal. V est donc simple si et seulement si elle est de dimension 1.

Théorème 3.3.11. Si K est un corps algébriquement clos, V est la seule double algèbre associative simple de dimension finie sur K.

Théorème 3.3.12. Sur un corps arbitraire, toute double algèbre associative simple de dimension finie est commutative.

On pourra trouver une preuve de ces théorèmes dans [4]. Il s’agit d’utiliser la description de la structure de double algèbre de V avec un opérateur linéaire R.

En notant A =End(V), on commence par montrer que R(A) +R^∗(A) =A en utilisant (3.3.8) et que cela implique que Ker(R) = 0.

Puisque dim(Ker(R)) = dim(Ker(R^∗)), on a alors R^∗(A) = A. Pour tous

(39)

que R=R^∗ =αid_A.

Pour le second théorème, il s’agit de montrer que si une double algèbre associative de dimension finie déterminée par un opérateur linéaire R est simple, alors R = R^∗. On étudie alors l’idéal {R(x)−R^∗(x)|x ∈ A} pour montrer qu’il est nul. Il suffit ensuite d’utiliser (3.9).

(40)

Chapitre 4

Homologie et cohomologie de Hochschild

Dans ce chapitre, K désignera un anneau commutatif unitaire, d’unité notée 1, et A une K-algèbre associative unitaire, d’unité notée 1_A. On notera ⊗le produit tensoriel sur K.

4.1 Le complexe de Hochschild

Définition 4.1.1. Un A-bimoduleM est un A-module à droite et à gauche tel que :

-pour tous a, b∈A, m∈M, (am)b=a(mb)

-pour tous λ ∈K, a∈A, m∈M, (λa)m =λ(am) =a(λm)

Définition 4.1.2. L’algèbre opposée de A, notée Aôp, est l’algèbre dont le module sous-jacent est A et dont la multiplication vérifie

aôpbôp=(ba)ôp, ∀ aôp, bôp∈Aôp.

Remarque 4.1.3. On peut munir A⊗A^op d’une structure de K-alg`ebre associative unitaire en prenant pour multiplication

(41)

(A⊗Aôp)×(A⊗Aôp)→A⊗Aôp (a⊗aôp, b⊗bôp)7→ab⊗(ba)ôp

Proposition 4.1.4. La donnée d’unA⊗Aôp-module à gauche (resp.à droite)

´

equivaut `a la donn´ee d’un A-bimodule.

Démonstration. On peut vérifier aisément que si Φ : (A⊗Aôp)×M → M fait de M un A ⊗Aôp-module à gauche, on peut définir une structure de A-bimodule sur M par :

A×M →M (a, m)7→Φ(a⊗1_A, m)

M×A→M (m, a)7→Φ(1_A⊗a, m)

Inversement, si M est un A-bimodule, on peut le munir d’une stucture de A⊗Aôp-module à gauche à l’aide de

(A⊗A^op)×M →M (a⊗b, m)7→amb

Remarque 4.1.5. A est donc muni d’une structure de A⊗A^op-module.

D´efinition 4.1.6. Un complexe de A-modules est un module gradu´e

M = L

n∈N

Mn muni d’applications dn : Mn → Mn+1 pour tout n ∈ N telles que

dn+1◦dn = 0.

d={dn}n∈N est appel´ee diff´erentielle.

... ^d−→ⁿ⁺¹ Mn dn

−→Mn−1 dn−1

−→Mn−2 dn−2

−→ ...

Considérons à présent un A-bimodule M.

Définition 4.1.7. Le complexe de Hochschild de A à valeurs dans M est défini par le module gradué C∗(A, M) = L

n≥0

M ⊗A⊗Aôp A^⊗n équipé de la

(42)

diff´erentielle b_n:C_n(A, M)→Cn−1(A, M) donn´ee, pour n ≥1, par

b_n(m⊗a₁⊗...⊗a_n) = ma₁⊗...⊗a_n +

n−1

X

i=0

m⊗a₁⊗a_ia_i+1⊗a_n + (−1)ⁿa_nm⊗...⊗an−1

... −→^b³ C₂(A, M)−→^b² C₁(A, M)−→^b¹ C₀(A, M)−→ 0

Définition 4.1.8. L’homologie de Hochschild de A à valeurs dans M est le module gradué H∗(A, M) = L

n≥0

H_n(C∗(A,M),b) o`u

H_n(C∗(A, M), b) =Ker(b_n)/Img(b_n+1).

D´efinition 4.1.9. On notera C_∗(A) le complexe de Hochschild de A et HH_∗(A) son homologie.

Proposition 4.1.10. Si M, N sont deux A-bimodules et f : M → N un morphisme de A-bimodules, alors f induit une application K-lin´eaire

C_n(f) :C_n(A, M)→C_n(A, N) De plus, cela induit une application de k-modules gradu´es

f_∗ :H_∗(A, M)→H_∗(A, N) Proposition 4.1.11. (fonctorialit´e)

Si A et B sont deux alg`ebres associatives et f : A → B un morphisme d’alg`ebres, alors f induit un morphisme de K-modules HH∗(A)→HH∗(A).

De plus,HH∗ est un foncteur de la cat´egorie desK-alg`ebres associatives dans

(43)

Nous allons à présent calculer H₀(A,M) à titre d’exemple.

On a C₀(A, M) =M etC₁(A, M) =M ⊗A.

De plus, b₁(a⊗m) = ma−am pour tousm ∈M, a∈A.

On a alors H₀(A, M) =M/{ma−am|a∈A, m∈M}.

On peut également calculer que HH₀(A) = A/[A, A], où [A,A] désigne le sous-K-module des commutateurs de A.

Si A est commutatif, on a alors HH₀(A) = A.

4.2 La r´ esolution Bar

Définition 4.2.1.Si M est un A-module, unerésolutionde M est la donnée d’un complexe (C∗, d)concentré en degrés positifs tel queH_n(C∗, d) = 0 pour n ≥ 0 et d’une surjection : C₀ → M, appelée augmentation, telle que Ker() = Img(d₁).

... −→^d³ C2 d2

−→C1 d1

−→C0

−→ M −→0

Définition 4.2.2. On définit la résolution Bar (ou résolution de Hoch- schild) comme étant le complexe donné par le module graduéC_∗⁰(A) = L

n≥0

A^⊗(n+2)

´

equipé de la différentielle b⁰_n :C_n⁰(A)→C_n−1⁰ (A) donnée, pour n ≥1, par b⁰_n(a₀⊗...⊗a_n) =

n

P

i=0

(−1)ⁱa₀⊗a₁⊗a_ia_i+1⊗a_n et de l’augmentation µ:C₀⁰(A)→A

a⊗b7→ab

Proposition 4.2.3. (C_∗⁰(A),b⁰) est une r´esolution du A⊗A^op-module A.

D´emonstration. Il est clair que (C_∗⁰(A),b⁰) est un complexe au-dessus de A.

Il suffit de trouver une homotopie contractante, c’est-`a-dire une famille d’applications s_n:C_n⁰(A)→C_n+1⁰ ets−1 :A →C₀⁰(A) v´erifiant

b⁰_n−1sn+sn−1b⁰_n =id_C_n⁰_(A) µs =id

(44)

afin de montrer que l’homologie de ce complexe est nulle. On va alors consid´erer

s−1 :a7→1⊗a

s_n :a₀⊗a₁⊗...⊗a_n+1 7→1⊗a₀⊗...⊗a_n+1 La v´erification se fait ais´ement.

Définition 4.2.4. Si F est un foncteur exact à droite entre deux catégories A et B, (P,d_P) une résolution deM ∈ A telle que P_n ∈ A soit projectif pour tout n, on définit le foncteur dérivé à gauche :

L_nF(M) = H_n(F(P), F(d_P)), ∀ n∈N

Définition 4.2.5. Si G est un foncteur exact à gauche entre deux catégories A et B, (I,d_I) une résolution de M ∈ A telle que I_n ∈ A soit injectif pour tout n, on définit le foncteur dérivé à droite :

RⁿG(M) = Hⁿ(G(I), G(d_I)), ∀ n ∈N

Définition 4.2.6. Si B est un anneau, N un B-module à droite et N⁰ un B-module à gauche, on considère les foncteurs exacts à droite

F =N ⊗B(−) :BM od→_ZM od, F⁰ = (−)⊗BN⁰ :M odB →M od_Z. Pour n ∈N, on d´efinit

T or_n^B(N, N⁰) =L_nF(N⁰) T or_n⁰^B(N, N⁰) =L⁰_nF⁰(N)

Proposition 4.2.7. On a T or_n^B(N, N⁰)'T or⁰_n^B(N, N⁰)

Définition 4.2.8. Si B est un anneau, N, N⁰ deux B-modules à gauche, on considère les foncteurs exacts à gauche

G:Hom_B(N,−) = _BM od→_ZM od, G⁰ =Hom_B(−, N⁰) :M od^op_B →_ZM od.

Pour n ∈N, on d´efinit

(45)

Extⁿ_B(N, N⁰) = RⁿG(N⁰) Ext⁰ⁿ_B(N, N⁰) = R⁰ⁿG⁰(N)

Proposition 4.2.9. On a Extⁿ_B(N, N⁰)'Ext⁰ⁿ_B(N, N⁰)

Remarque 4.2.10. Si V est un K-module projectif, alorsA⊗V ⊗A est un A⊗A^op-module projectif.

En effet, si le foncteur Hom_K(V,-) est exact, alors HomA⊗A^op(A⊗V⊗A,-) l’est aussi car il existe un isomorphisme naturel en V

HomA⊗A^op(A⊗V ⊗A,−)'Hom_K(V,−)

Théorème 4.2.11. Si l’algèbre A est projective sur K, alors pour tout A- bimodule M et pour tout n≥0, on a des isomorphismes :

H_n(A, M)'T or_n^A⊗A^op(M, A)

Démonstration. On va calculer le Tor en utilisant une résolution projective du second argument. En combinant la remarque précédente et la proposition (4.2.3), puisque A est K-projective, (C_∗⁰(A),b⁰) est une résolution projective du A⊗Aôp-module A.

T or_nÂ⊗Aôp(M,A) se calcule donc comme le n-ième groupe d’homologie de M ⊗A⊗Aôp C_n⁰(A). On a M ⊗A⊗Aôp C_n⁰(A) ' C_n(A, M), en considérant les morphismes définis par

mA⊗A^op(a₀⊗a₁⊗...⊗a_n)7→a_n+1ma₀⊗a₁⊗...⊗a_n et par

m⊗a₁⊗...⊗a_n 7→m⊗1⊗a₁⊗...a_n⊗1.

Finalement, Hn(A, M)'T or^A⊗A_n ^op(M, A).

On pourra trouver des exemples d’applications de ce théorème pour calculer l’homologie de Hochschild d’un module libre ou d’une algèbre tensorielle dans

(46)

Théorème 4.2.12. Si l’algèbre A est projective sur K, alors pour tout A- bimodule M et pour tout n≥0, on a des isomorphismes :

Hⁿ(A, M)'Extⁿ_A⊗Aop(M, A) Une preuve de ce théorème est présentée dans [12].

On peut calculer par exemple H⁰(A, M). On consid`ere le complexe suivant : 0−→M −→^d⁰ Hom_k(A, M)−→^d¹ Hom_k(A⊗A, M)−→...

o`u

d₀ :M →Hom_k(A, M) m7→a7→ma−am d₁ :Hom_k(A, M)→Hom_k(A⊗A, M)

f 7→a⊗b 7→af(b)−f(ab) +f(a)b

On a alors H⁰(A, M) ={m∈M|am=ma∀a∈A} etHH⁰(A) = Z(A), o`u Z(A) est le centre de A.