1. concours général 1992 - exercice 4 énoncé

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1. concours général 1992 - exercice 4 énoncé

Soit(un)la suite numérique définie par la donnée de ses deux premiers termes u0 et u1,0< u0<1 et0< u1<1, et la relation de récurrence :

un+2=1 2(√

un+1+√ un).

1. Montrer que la suite(un)est convergente et déterminer sa limite.

2. Montrer qu’à partir d’un certain rangn0, la suite(un)est monotone (on ne demande pas de déterminern0 qui dépend des valeurs initialesu0 etu1).

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2. concours général 1992 - exercice 4 Solution 1

Question 1Premières constatations.(1) Par une récurrence simple, tous les termes de la suite sont dans]0 ; 1[. (2) Si(un)converge vers un nombre`, on a`∈[0,1]et, comme un+1→`etun+2→`, on a`= ¹₂(√

`+√

`), donc`= 0ou 1. (3) Vu l’ordre des questions, on ne montrera pas la convergence de(un)à l’aide de sa monotonie ; il s’agira sans doute de l’encadrer par des suites moins compliquées.

Le plus simple à faire avec les racines est de les encadrer :

∀x∈[0,1], x≤√ x≤1

Il est alors probable que l’on doive se débrouiller avec les deux seules informations :

∀n, 0< un<1 et un+2≥u_n+1+u_n

2 (M)

Pour prolonger cette minoration, il est naturel d’introduire le plus petit des nombres u_n et u_n+1; notons-lev_n. On a doncu_n ≥v_n, u_n+1 ≥v_n et u_n+2 ≥ ^un+1₂^+un ≥v_n. En conséquence,v_n+1étant le plus petit des nombres u_n+1 etu_n+2, on a

v_n+1≥v_n

d’où une suite(v_n)croissante et majorée (par 1), donc convergeant vers un réelv∈]0 ; 1].

Comment maintenant déduire le comportement de un de celui de vn? Examinons les quatre configurations possibles de trois termes consécutifsu , u , u :

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Dans le cas 3, on aun−1≥un et un+1 ≥un, doncvn−1=vn=un.

Dans le cas 4, on aun−1≤un etun+1≤un, doncvn−1=un−1et vn=un+1; c’est le seul cas où l’on ne sait pas quev_n=u_n; comment contrôleru_nà partir dev_n? L’inéquation (M) reformulée enu_n+1 ≥ ^un+u₂ⁿ⁻¹ se traduit par v_n ≥ ^un+v₂ⁿ⁻¹, soit u_n ≤2v_n−v_n−1, majoration qui répond à notre souhait.

Ainsi on a dans tous les cas

vn ≤un≤2vn−v_n−1

avecvn →vet2vn−v_n−1→v, doncun converge versv. Commev∈]0 ; 1](limite devn) etv= 0 ou 1 (limite deun), on en conclut quev= 1. Conclusion : la suite(un)converge vers 1.

Question 2un+2−un+1=¹₂(√

un+1+√

un)−¹₂(√ un+√

u_n−1) = ¹₂(√

un+1−√ u_n−1) est du signe deun+1−un−1.

Supposons que la configuration 1 de la question précédente soit obtenue à un certain rangn0; alors un0+2−un0+1 est du signe deun0+1−un0−1 ≥0, doncun0+2 ≥un0+1 et la suite est croissante à partir den₀(récurrence simple).

Le cas 2 étant exclu, il reste à prouver que l’on n’a pas indéfiniment la configuration 3 ou 4. Si c’était vrai, on aurait une oscillation indéfinie :

D’après le début de cette question,u_n+1−u_n−1est du signe deu_n+2−u_n+1donc négatif.

La suite des termes « supérieurs »de deux en deux serait alors décroissante, majorée par 1 et tendrait vers une limite<1 ce qui contredit queun →1.

En conclusion, la suite(un)est croissante à partir d’un certain rang.

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3. concours général 1992- exercice 4 Solution 2

Question 1Premières constatations.(1) Par une récurrence simple, tous les termes de la suite sont dans]0 ; 1[. (2) Si(un)converge vers un nombre`, on a`∈[0,1]et, comme un+1→`etun+2→`, on a`= ¹₂(√

`+√

`), donc`= 0ou 1. (3) Vu l’ordre des questions, on ne montrera pas la convergence de(un)à l’aide de sa monotonie ; il s’agira sans doute de l’encadrer par des suites moins compliquées.

Le plus simple à faire avec les racines est de les encadrer :

∀x∈[0,1], x≤√ x≤1

Il est alors probable que l’on doive se débrouiller avec les deux seules informations :

∀n, 0< un<1 et un+2≥u_n+1+u_n

2 (M)

Pour prolonger cette minoration, il est naturel d’introduire le plus petit des nombres u_n et u_n+1; notons-lev_n. On a doncu_n ≥v_n, u_n+1 ≥v_n et u_n+2 ≥ ^un+1₂^+un ≥v_n. En conséquence,v_n+1étant le plus petit des nombres u_n+1 etu_n+2, on a

v_n+1≥v_n

d’où une suite(v_n)croissante et majorée (par 1), donc convergeant vers un réelv∈]0 ; 1].

Comment maintenant déduire le comportement de un de celui de vn? Examinons les quatre configurations possibles de trois termes consécutifsu , u , u :

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Dans le cas 3, on aun−1≥un et un+1 ≥un, doncvn−1=vn=un.

Dans le cas 4, on aun−1≤un etun+1≤un, doncvn−1=un−1et vn=un+1; c’est le seul cas où l’on ne sait pas quev_n=u_n; comment contrôleru_nà partir dev_n? L’inéquation (M) reformulée enu_n+1 ≥ ^un+u₂ⁿ⁻¹ se traduit par v_n ≥ ^un+v₂ⁿ⁻¹, soit u_n ≤2v_n−v_n−1, majoration qui répond à notre souhait.

Ainsi on a dans tous les cas

vn ≤un≤2vn−v_n−1

avecvn →vet2vn−v_n−1→v, doncun converge versv. Commev∈]0 ; 1](limite devn) etv= 0 ou 1 (limite deun), on en conclut quev= 1. Conclusion : la suite(un)converge vers 1.

Question 2un+2−un+1=¹₂(√

un+1+√

un)−¹₂(√ un+√

u_n−1) = ¹₂(√

un+1−√ u_n−1) est du signe deun+1−u_n−1.

Supposons que la configuration 1 de la question précédente soit obtenue à un certain rangn0; alors un₀+2−un₀+1 est du signe deun₀+1−un₀−1 ≥0, doncun₀+2 ≥un₀+1 et la suite est croissante à partir den0(récurrence simple).

Le cas 2 étant exclu, il reste à prouver que l’on n’a pas indéfiniment la configuration 3 ou 4. Si c’était vrai, on aurait une oscillation indéfinie :

D’après le début de cette question,u_n+1−u_n−1est du signe deu_n+2−u_n+1donc négatif.

La suite des termes « supérieurs »de deux en deux serait alors décroissante, majorée par 1 et tendrait vers une limite<1 ce qui contredit queu_n →1.

En conclusion, la suite(un)est croissante à partir d’un certain rang.