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1. concours général 1992 - exercice 2 énoncé
Soit(C)un cercle du plan de rayon 1.
1. Déterminer les trianglesABC inscrits dans le cercle(C)pour lesquels la somme AB2+BC2+CA2
est maximale.
2. Déterminer les quadilatèresABCDinscrits dans le cercle(C)pour lesquels la somme AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2
est maximale.
Représenter un tel quadrilatère.
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2. concours général 1992 - exercice 2
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Solution 1
2.0.1. Question 1
O
A B
C C
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Je calcule la sommeAB2+BC2+CA2en faisant intervenir le centreO du cercleCpour utiliser queOA=OB=OC = 1; par exemple :
AB2= (−−→ OB−−→
OA)2=OB2+OA2−2−→
OA· −−→
OB= 2(1−−→
OA·−−→ OB).
J’ajoute les trois égalités de ce type et j’obtiens
AB2+BC2+CA2= 6−2(−→
OA· −−→ OB+−−→
OB· −−→ OC+−−→
OC· −→
OA)
Je remarque que cette somme de produits scalaires apparaît aussi lorsque l’on développe le carré scalaire(−→
OA+−−→ OB+−−→
OC)2=OA2+OB2+OC2+2(−→
OA·−−→ OB+−−→
OB·−−→ OC+−−→
OC·−→
OA), donc
AB2+BC2+CA2= 9−(−→
OA+−−→ OB+−−→
OC)2
et cette dernière somme vectorielle s’exprime naturellement à l’aide de l’isobarycentreG du triangleABC : −→
OA+−−→ OB+−−→
OC= 3−−→ OG. Ainsi
AB2+BC2+CA2= 9(1−OG2)
quantité qui est maximale si et seulement siG=O.
Que dire d’un tel triangle ?
B C
A
A’
G
Son centre de gravité est à égale distance des sommets ; siA0 est le milieu de[BC]alorsG etA0 sont deux points distincts de la médiatrice de[BC]; commeA,Get A0 sont alignés,
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Aest aussi sur cette médiatrice, c’est-à-dire queAB=AC et le triangle est isocèle enA.
Le même raisonnement vaut pour B et C, et réciproquement un triangle équilatéral est bien tel queO=G.
B
C A
Conclusion : ABC étant un triangle inscrit dans un cercle de rayon 1, le maximum de AB2+BC2+CA2vaut 9, obtenu lorsque le triangle est équilatéral.
2.0.2. Question 2
Un calcul analogue au précédent, faisant intervenir deux fois la somme deC42termes : OA−→·−−→
OB+−→
OA·−−→ OC+−→
OA· −−→
OD+−−→ OB·−−→
OC+−−→ OB· −−→
OD+−−→ OC·−−→
OD nous conduit à
AB2+AC2+AD2+BC2+BD2+CD2= 16(1−OG2)
où maintenant G représente l’isobarycentre du quadrilatère ABCD. Encore une fois, la quantité est maximale si et seulement siG=O. Il reste à caractériser de tels quadrilatères.
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Quitter D
C B
A
K J I
L
G
Soient I milieu de [AB], J milieu de[BC], K milieu de [CD] et L milieu de [DA]. Par associativité du barycentre,Gest milieu de[IK]ou de[J L]. En imitant le raisonnement de la question 1, j’écris que (IK) est médiatrice de [AB] et [CD], (J L) est médiatrice de[BC] et [DA]. En conséquence les côtés opposés sont parallèles et les côtés adjacents sont orthogonaux ; il s’agit d’un rectangle, qui répond bien à la condition demandée. On pouvait avoir l’intuition d’obtenir un carré, c’était incomplet. . .
B
C
A
D
ABCD étant un quadrilatère inscrit dans un cercle de rayon 1, le maximum de AB2+ AC2+AD2+BC2+BD2+CD2vaut 16, obtenu lorsque le quadrilatère est un rectangle.
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Prolongement.32= 9,42 = 16. . . A-t-on un maximum analogue den2 pour un polygone àncôtés ?
