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1. concours général 1994 - exercice 2 énoncé
SoitΣune demi-sphère etP le plan contenant son cercle de base. Un plan variableQ, parallèle à un plan fixe non perpendiculaire àP, coupeΣsuivant un cercleC. On désigne parC0 le projeté orthogonal deCsurP.
Comment doit-on placer le planQpour que le cylindre de basesC etC0 ait un volume maximal ?
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2. concours général 1994 - exercice 2 Solution 1
X
C
O C’
L O
B
K A C
D O0
G H
d h
α
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• C est un cercle,C0 est une ellipse
On fait une coupe ( voir la figure n˚1 ) selon un plan perpendiculaire àP et àQet passant parO ( centre de la demi-sphèreΣ). On note :ale diamètre deC,ble petit axe de l’ellipseC0,O0 le centre de C, dla distanceOO0,H le projeté orthogonal de O0 surP ethla distanceO0H,αl’angle que faitP avecQ( dans le plan de coupe).
Ce plan de coupe, notéB, passe parO0 et contient le petit axe deC0.Best donc un plan de symétrie pour le cylindre de basesC et C0.
• SoitDune droite parallèle àP et àQpassant parO0.
Le grand axe de C0 a pour longueur a ( diamètre de C). B et D sont les points d’intersection deΣ, Q etB;K etLleurs projetés surP.
Soit M un point de (KB). On considère l’ellipse de petit axe b, de grand axe a, parallèle àC0et contenantM0( à la même distance du plan queM, mais sur(LC)).
On note cette ellipseCM.
LorsqueM décrit (KA).CM décrit la portion d’espaceE.
La droiteD( parallèle àP et àQ passant parO0) est un axe de symétrie deE.
D’autre part, le demi-plan (Q1) contenant Alimité par Det parallèle àP, a pour symétrique ( par rapport à D ) le demi-plan ( calQ2) parallèle à P contenant C, limité parD.
De même le demi-plan (Q3) issu deQcontenantB limité parDa pour symétrique le demi-plan (Q4) contenantD limité parDet issu deQ.
Donc l’intersection deE avec la portion d’espace comprise entreQ1etQ3 est symé- trique parDde l’intersection deEavec la portion d’espace comprise entreQ2etQ4. Donc ces deux portions d’espace ont le même volume.
• On en déduit le volume du cylindre de basesC etC0 : V =πabh
On peut repérerQ( pour αdonné,αdépend de l’orientation du plan fixe parallèle à Q) par la distanced=OO0. Notons queα∈[0;π2[
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On aRsinα≤d≤RoùRest le rayon de la demi-sphère.
sinonQne coupe pas Σou ne la coupe pas suivant un cercle.
En utilisant le triangleO0OH et le triangleOO0B, on ah=dcosαet (a2)2=R2−d2 D’oùa= 2√
R2−d2, de même on démontre queb=acosα
DoncV =πabh= 2πcos2α(R2−d2)d=β(R2d−d3)oùβ= 2πcos2α On définit V : [Rsinα;R] → R
d 7→ V(d) =β(R2d−d3)
V0(d) =β(R2−3d2), d’où le tableau de variations de suivant :
d Rsinα γ R
V0(d) + 0 −
V(d)
% &
avecγ= R
√3 3 si
√3
3 ≥sinα D’où
• Si π2 > α≥sin−1(
√ 3
3 ) (α≥35,26˚) alorsV est maximal pourd=Rsinα
• Si0≤α≤sin−1(
√3 3 ) V est maximal pourd= R
√ 3 3
