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1. concours général 1994 - exercice 4 énoncé
Soit(ABC) un triangle. SiP est un point de son plan, on note L, M, N les projetés orthogonaux dePrespectivement sur les droites(BC),(CA)et(AB). Déterminer le point P pour lequel la quantitéBL2+CM2+AN2est minimale.
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2. concours général 1994 - exercice 4 Solution 1
Une chose m’étonne : pourquoi considérer la somme S =BL2+CM2+AN2 plutôt que la somme analogueS0=CL2+AM2+BN2? Je cherche un lien entreSetS0 à l’aide de triangles rectangles de sommetP :
S = P B2−P L2
+ P C2−P M2
+ P A2−P N2
= P B2−P N2
+ P C2−P L2
+ P A2−P M2
= BN2+CL2+AM2
= S0
Les deux sommes étant égales, je préfère symétriser le problème en considérantS+S0= 2S et en écrivant
2S= BL2+CL2
+ CM2+AM2
+ AN2+BN2 . Le termeBL2+CL2 apparaît dans les produits scalaires−→
BL±−→
CL2
, j’écris donc :
BL2+CL2=
−→
BL+−→
CL2
+−→
BL−−→
CL2 2
(c’est l’égalité du parallélogramme. Le deuxième terme se simplifie : −→
BL−−→
CL2
= −−→
CB2
=BC2. Quant au premier, il suggère d’introduire le milieu A0 deBC, qui vérifie
−−→ OB+−−→
OC= 2−−→
OA0pour tout pointOet en particulier−→
LB+−→
LC2
=
2−−→
LA0 2
= 4LA02.
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En introduisant de même les milieux respectifsB0 et C0 deCAet AB, j’obtiens : 4S= BC2+CA2+AB2
+ 2
LA02+M B02+N C02
qui est minimum lorsque L = A0, M = B0 et N = C0. Conclusion : la somme S est minimale lorsqueP est à l’intersection des médiatrices des côtés c’est-à-dire P centre du cercle circonscrit, la valeur minimale étant
BC2+CA2+AB2
4 .
