1. concours général 1996 - exercice 4 énoncé

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1. concours général 1996 - exercice 4 énoncé

1. Soit la fonctionf définie, pour tout réelxstrictement positif, parf(x) =x^x. Déterminer la valeur minimale prise par cette fonction lorsque xdécrit l’ensemble des réels strictement positifs.

2. Soientxety deux réels strictement positifs, montrer que :x^y+y^x>1.

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2. concours général 1996 - exercice 4 Solution 1

2.0.1. Question 1.

Banale étude de fonction ;f⁰(x) =f(x)(lnx+ 1) du signe dex−¹_e.

x 0 ¹_e 1 +∞

+∞

%

f(x) 1 1

& % e^−1/e

Je remarque quem=e^−1/e≈0,7 et en particulierm >1.

2.0.2. Question 2.

Soitg(x, y) =x^y+y^xpourx >0ety >0. Puisqueg(x, y) =g(y, x), je peux supposer y≤x. Six >1,x^y= exp(ylnx)>1, je peux donc supposerx≤1. En résumé, il me faut minorerg(x, y)sur le triangle suivant :

Comment minorer une fonction de deux variables ? Une idée simple consiste à fixer une des deux variables et à étudier la fonction d’une variable restante : fixerx=a∈]0 ; 1]et étudiery 7→ a^y+y^a sur ]0 ;a] ou fixer y = b ∈ ]0 ; 1[ et étudier x 7→x^b+b^x sur [b,1].

Cela ne se présente pas bien car on a la somme d’une quantité croissante et d’une quantité

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décroissante, par exemple :

x b 1

b^b b^x &

b 1

x^b %

b^b

D’après le tableau précédent, je peux écrire la minoration :

x^b+b^x≥b^b+b≥m+b

oùmest le minorant du 1. Cela me donne le résultat dans le cas oùb >1−m≈0,3078.

Pour les valeurs plus petites de b, je dois trouver une autre méthode. Je réexamine l’étude de la fonctionu:x7→x^b+b^xsur[b,1]. La dérivée estu⁰(x) =bx^b−1+ (lnb)b^xdont le signe n’a rien d’évident (une quantité positive + une quantité négative) ; si je dérive une fois de plus, c’est la même situation. D’où l’idée d’utiliser une quantité auxiliaire de même signe dont la dérivée sera plus simple à étudier, par exemple en écrivantu⁰(x) =b^xv(x)du signe de

v(x) = lnb+b^1−xx^b−1 d’oùv⁰(x) =b^1−xx^b−1w(x), du signe de

w(x) = (1−x) lnb+ (b−1) lnx

dont la dérivée est (enfin !) très simple :w⁰(x) = −lnb+^b−1_x , du signe de x−x0 avec x0=^b−1_lnb, réel qu’il faudrait placer par rapport àbet 1. Je préfère plutôt calculerw⁰⁰(x) =

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(1−b)/x²≥0d’où les variations de proche en proche :

x b 1

0

w⁰(x) %

w⁰(b) w(b) w(x) &

0 1 + lnb

v(x) %

v(b)

La situation est donc simple dans le cas où1 lnb <0, c’est-à-direb < ¹_e ≈0,3679, or j’ai justement supposé plus hautb ≤1−m ≈0,3078! ! J’ai donc v(x) ≤ 0 et la fonction u décroît :

x b 1

2b^b x^b+b^x &

1 +b

et doncx^b+b^x>1 dans ce dernier cas.