1. concours général 1991 - exercice 4 énoncé

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1. concours général 1991 - exercice 4 énoncé

Soitpun nombre entier naturel etn= 2^p.

On considère les partiesA de l’ensembleE ={1,2, . . . , n}possédant la propriété sui- vante :

sixappartient à A, alors2xn’appartient pas àA.

Déterminer le nombre maximal d’éléments d’un telle partieA.

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2. concours général 1991 - exercice 4 Solution 1

p∈N, n= 2^p E={1,2, ..., n}

et A∈P(E) telle que∀x∈A, 2x /∈A

pouri∈ {0, ..., p−2} on noteBi l’ensemble des couples 2ⁱ+ 1; 2ⁱ⁺¹+ 2

2ⁱ+ 2; 2ⁱ⁺¹+ 4

... 2ⁱ+k; 2ⁱ⁺¹+ 2k

2ⁱ⁺¹; 2ⁱ⁺²

. On aBi⊂E Pour chaque couple(a, b)deBi on ab= 2a.

Par conséquent, au moins un élément de{a;b} n’appartient pas àA.

On note

B={(1,2)∪B1∪B3∪...∪Bp−2} sipest impair etB={(1,2)∪B2∪B4∪...∪Bp−2} sipest pair Pour touti∈ {0, ..., p−2}on note

ai_k= 2ⁱ+k

et bi_k = 2ⁱ⁺¹+ 2k k∈

1;...; 2ⁱ Notons que tous les nombresa_ik et b_ik appartenant àB sont différents car a_i

2i < b_i

2i. D’autre part on a toujoursb_ik = 2a_ik donc parmi tous les nombres des couples appartenant àBla moitié au moins n’appartient pas àA. Il suffit donc de dénombrer les couples deB :

On acardBi= 2ⁱ d’après la définition deBi. donc

cardB= 1 + 2¹+ 2³+...+ 2^p−2 sipimpair cardB= 1 + 2²+ 2⁴+...+ 2^p−2si ppair

2²+ 2⁴+...+ 2^p−2 = 4¹+ 4²+...+ 4^p−22

= 4 3

4^p−22 −1

= 1

3(2^p−4) d’où sippaircardB= 1 +¹₃(2^p−4) = ¹₃(2^p−1)

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sipimpair

cardB= 1 + 2 2⁰+ 2³+...+ 2^p−3

= 1 + 2 1

3 2^p−1−1

= 1

3(2^p+ 1) OrcardE= 2^p

donccardA≤cardE−cardB d’où sippaircardA≤¹₃ 2^p+1+ 1 sipimpaircardA≤ ¹₃ 2^p+1−1

On va vérifier que ce maximum est atteint : SoitA=

2^p; 2^p−1;...; 2^p−1+ 1 ∪

2^p−2;...; 2^p−3+ 1 ∪...∪ {2}sipest impair A=

2^p; 2^p−1;...; 2^p−1+ 1 ∪

2^p−2;...; 2^p−3+ 1 ∪...∪

2²; 2¹+ 1 ∪ {1}sipest pair On vérifie aisément queApossède bien la propriétéx∈A:2x /∈A.

D’autre part on calculecardA= 2^p−2^p−1

+ 2^p−2−2^p−3

+...+ 2²−2¹

+ 1sipest pair

et sipest impaircardA= 2^p−2^p−1

+ 2^p−2−2^p−3

+...+ 2³−2² + 1 d’où sipest pair

cardA = 2^p−1+ 2^p−3+...+ 2¹+ 1

= 1 + 2 1 + 2³+...+ 2^p−2

= 1

3 2^p+1+ 1

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Sipest impair

cardA = 2^p−1+ 2^p−3+...+ 2¹+ 1

= 1 + 2 2¹+ 2³+...+ 2^p−2

= 1

3 2^p+1−1 Donc le maxiumum est atteint.