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1. concours général 1991 - exercice 3 énoncé
SoitSun point fixe d’une sphère fixe(Σ)de centreΩ. On considère les tétraèdresSABC inscrits dans la sphère(Σ) et dont les arêtes issues deS sont deux à deux orthogonales.
1. Montrer que les plans(ABC)passent par un point fixe.
2. Pour un tel tétraèdreSABC, le pointSet le centreΩde la sphère(Σ)se projettent orthogonalement sur le plan(ABC)respectivement enH etO. On noteR le rayon du cercle circonscrit au triangleABC.
Démontrer que :R2=OH2+ 2SH2.
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2. concours général 1991 - exercice 3 Solution 1
1. SoitGl’isobarycentre du triangleABC
• On a3−→
SG=−→
SA+−→
SB+−→
SC.
D’où9SG2=SA2+SB2+SC2+ 2−→
SA.−→
SB+ 2−→
SA.−→
SC+ 2−→
SB.−→
SC Or les droites(SA),(SB),et (SC)sont perpendiculaires deux à deux.
Donc −→
SA.−→
SB= −→
SA.−→
SC= −→
SC.−→
SB= 0 et9SG2=SA2+SB2+SC2
• Soitωle point défini par −→
Sω= 32−→
SG 3−→
SG= −→
SA+−→
SB+−→
SC d’où 2−→
Sω= −→
SA+−→
SB+−→
SC
ωA2 = −→
ωA
2
= (−→
ωS+−→
SA)2
= (−→
SA−1 2(−→
SA+−→
SB+−→
SC)2
= 1 4(−→
SA−−→
SB−−→
SC)2
= 1
4(SA2+SB2+SC2) +1 2(−−→
SA.−→
SB−−→
SA.−→
SC+−→
SB.−→
SC)
= 1
4(SA2+SB2+SC2) De même :ωB2= (−→
ωS+−→
SB)2= 14(−→
SB−−→
SA−−→
SC)2=14(SA2+SB2+SC2)
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ωC2= (−→
ωS+−→
SC)2= 14(−→
SC−−→
SA−−→
SB)2=14(SA2+SB2+SC2) DoncωS2= 94SG2= 14(SA2+SB2+SC2)
FinalementωA=ωB=ωC=ωS= 12√
SA2+SB2+SC2
Par suiteωest le centre de la sphère circonscrite au tétraèdreSABC, doncω= Ω.
On −→
SG=23−→
SΩoùGest l’isobarycentre du triangleABC .
Or G∈(ABC); donc tous les plans(ABC) passent par un point fixeG, qui est l’isobarycentre de(ABC)et qui vérifie −→
SG=23−→
SΩ.
2. • O est le projeté orthogonal deΩsur(ABC): donc
OB2 = ΩB2−ΩO2 OC2 = ΩC2−ΩO2 OA2 = ΩA2−ΩO2 OrΩA= ΩB= ΩC doncOA=OB=OC
DoncOest le centre du cercle circonscrit àABC.
• Le projeté orthogonal surABC de[SΩ]est[OH].
Or G vérifie −→
SG = 23−→
SΩ donc G ∈ [SΩ] et puisque, de plus G ∈ (ABC), il est invariant par la projection orthogonal sur(ABC).
DoncG∈[OH]et G, OetH sont alignés.
Comme de plus (SH) et (ΩO) sont parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les trianglesGSH etGΩO :
ΩO
SH = ΩGSG = 12 d’oùSH = 2ΩO
• En appliquant le théorème de Pythagore :
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ΩS2 = OH2+ (SH+OΩ)2
= OH2+ (3OΩ)2
= OH2+ 9OΩ2
etR2=OB2= ΩB2−ΩO2= ΩS2−ΩO2=OH2+ 9OΩ2−ΩO2=OH2+ 8OΩ2 d’oùR2=OH2+ 2SH2
