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1. concours général 1993 - exercice 3 énoncé
Soitf une application de l’ensembleZZdes entiers relatifs dans l’ensembleRdes réels.
On suppose quef est minorée et vérifie : pour tout entier relatifn, f(n)≥ 12[f(n+ 1) +f(n−1)].
Montrer que l’applicationf est constante.
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2. concours général 1993 - exercice 3 Solution 1
La propriété vérifiée parf peut s’écrire
∀n∈ZZ, f(n)−f(n−1)≥f(n+ 1)−f(n).
Je considère donc les accroissements def : pourn∈ZZ,δn =f(n)−f(n−1). L’application n7→δn est décroissante surZZ :
· · · ≥δ−2≥δ−1≥δ0≥δ1≥δ2≥ · · ·
De plus les accroissements def peuvent se calculer avec des entiers non consécutifs ; pour q≥p∈ZZ,
f(q)−f(p) = [f(q)−f(q−1)] + [f(q−1)−f(q−2)] +· · ·+ [f(p+ 1)−f(p)] =
q
X
n=p+1
δn
d’où l’encadrement valable pourq≥p∈ZZ:
(q−p)δq ≤f(q)−f(p)≤(q−p)δp.
Je vais montrer que sif n’est pas constante (c’est-à-dire δn non identiquement nul), alors elle ne peut pas être minorée.
Supposons qu’il existek∈ZZtel queδk>0. Avecq=ket p=n≤q, j’obtiens (k−n)δk≤f(k)−f(n),
soit∀n∈ZZ tel quen≤k
f(n)≤f(k)−kδk+nδk.
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L’entier relatifkétant fixé, on peut alors faire tendrenvers−∞, d’où puisqueδk >0,
n→−∞lim f(n) =−∞
et f ne peut être minorée. Supposons symétriquement qu’il existek ∈ZZ tel queδk <0.
Avecp=net q=k, j’obtiens encore
f(n)≤f(k)−kδk+nδk
mais cette fois pour toutn≥k. Je peux donc faire tendrenvers+∞d’où puisqueδk<0,
n→+∞lim f(n) =−∞
etf ne peut être minorée.
Conclusion: l’accroissementδn doit être nul pour toutn∈ZZ,doncf est constante sur ZZ.
