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1. concours général 1993 - exercice 5 énoncé
1. SoitAetB deux points distincts de l’espace.
(a) Parmi les trianglesM ABd’aire donnée, quels sont ceux de périmètre minimal ? (b) Parmi les trianglesM ABde périmètre donné, quels sont ceux d’aire maximale ? 2. Soit, dans un tétraèdre de volumeV, a, b, c, d les longueurs de quatre arêtes, telles
que trois quelconques d’entre elles ne soient pas coplanaires, etL=a+b+c+d.
Déterminer la valeur maximale du quotient LV3.
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2. concours général 1993 - exercice 5 Solution 1
2.0.1. Question 1
Aire et périmètre sont invariants par rotation deM autour de l’axeAB. Je peux donc me ramener, pour toute la question 1, à un problème à deux dimensions,M variant dans un plan fixe contenantAetB, ou même dans un demi-plan de frontièreAB. Je retrouverai alors toutes les solutions de l’espace par rotation autour deAB.
A
C
B M
L’aire d’un triangle vaut 12×base×hauteur, donc lorsque l’aireAdeM AB est fixée, le pointM se déplace sur la parallèle à(AB)distante de2A/AB(il y en a une seule dans le demi-plan de frontière(AB).
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A B
M
Lorsque le périmètrepdeM ABest fixé, la sommeM A+M Best fixée, doncM se déplace sur une demie ellipse de foyersAet B, de grand axe(AB).
A B
M0
M
La réponse à la question1best alors immédiate :M A+M Bétant fixé, l’aire du triangle M AB est maximale lorsque sa hauteur est maximale, c’est-à-dire lorsque M est en M0, sommet de l’ellipse situé sur la médiatrice de[AB].
Pour la question la question1a, j’ai l’intuition queMdoit être dans la position analogue M1. Pour le prouver, il suffit de superposer les deux figures :
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A H B
M0
M1 M
et de constater queM1A+M1B≤M0A+M0B=M A+M B.
Dans les deux cas, l’extremum est atteint lorsque le triangle est isocèle. Dans l’espace, le point M décrit un cercle d’axe AB dans le plan médiateur de [AB], de rayon2A/AB lorsque l’aireAest fixée, de rayonp
p(p−AB)/2lorsque le périmètrepest fixé (Pythagore dans le triangle rectangleM1AH).
2.0.2. Question 2
Le quotientV /L3 ne dépend pas de l’unité de longueur (invariance par homothétie) et ne dépend que de la forme du tétraèdre et non de sa position (invariance par déplacement).
Je peux donc fixer arbitrairement deux sommetsA et B ainsi que le plan d’un troisième sommetE. Je choisis de fixer une arête qui n’est pasa, b, c oudafin de conserver quatre nombres jouant le même rôle. J’ai alors une figure à cinq degrés de liberté :a, b, c, d et l’angleαdes plansAEB etAF B, ou encore les pointsE,F et l’angleαqui peuvent varier indépendamment.
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A B
E F
c d
a b
La longueurLétant fixée, je vais chercher à maximiser le volume V; ce dernier vaut
1
3×base×hauteur et je choisis comme base la faceABE en notantSE son aire.
Dans le plan orthogonal àABpassant parF, je vois en vraie grandeur•l’angleα,•la hauteur du tétraèdre issue deF :F HF,•la hauteur du triangleABF issue deF :F HF0 ,
•l’angle droitHF0 HFF.
F
α
HF0 HF
J’ai donc les relations F HF =F HF0 |sinα| et, si SF désigne l’aire du triangle ABF, SF = 12AB F HF0 . J’en déduis que le volume du tétraèdre peut s’écrire sous la forme symétrique
1 2SESF
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Les pointsEetF étant fixés, le volume est donc maximum lorsque l’angleαest droit. Cet angle étant fixé, maximiserV revient à maximiser indépendamment les airesSEetSF des trianglesABE et ABF.
Le point E étant fixé, la longueurc+d=L−(a+b)est alors fixée ; le maximum de SF àc+dfixé nous renvoie à la première question ; il est obtenu pour une position isocèle oùc=d. En échangent les rôles deEetF, on a de mêmea=b; il reste donc deux degrés de libertéaet c.
Mais je peux aussi échanger les rôles des deux arêtesAB et EF : je fixeE et F et je prendsAetB comme degrés de liberté.
E F
A B
c d b
a
J’en déduis donc de la même manière quea=cetb=d. Ma figure n’a plus alors qu’un seul degré de libertéa
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B F
E a
a a
a
et le volume du tétraèdre vaut
V = 2 3
SESF
AB |sinα|= 2 3
1 22up
a2−u22 1
2u =u(a2−u2) 3 oùudésigne la demie longueur deAB. De plusL= 4a, d’où
V
L3 =ku(a2−u2) a3
oùk= 1/192. L’étude des variations sur[0 ; +∞[de la fonctiona7→u(a2−u2)/a3montre sans difficulté un maximum poura =u√
3 (je pouvais pour simplifier imposeru= 1 en choisissant correctement l’unité de longueur).
Conclusion.Les tétraèdres qui maximisentV /L3 ont la forme suivante :
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Quitter A
B F
E u√
3
u√ 3 u√
3
u√ 3
u√ 6
u u
2u 2u
et la valeur maximale du rapport est√ 3/864.
