1. concours général 1994 - exercice 5 énoncé

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1. concours général 1994 - exercice 5 énoncé

Soitf une application deNdansNtelle quef(1) >0 et, quels que soient les entiers naturelsmetn, on a :

f(m²+n²) = [f(m)]²+ [f(n)]². 1. Calculerf(k)pour0≤k≤12.

2. Calculerf(n), nétant un entier quelconque.

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2. concours général 1994 - exercice 5 Solution 1

2.0.1. Question 1

J’explore les égalités données par divers couples (m, n) en commençant par les plus simples. Pour(m, n) = (0,0) j’obtiens f(0) = 2f(0)², soit f(0) = 0ouf(0) = 1/2 ce qui est exclu carf est à valeurs entières ; donc

f(0) = 0.

Pour (m, n) = (0,1) j’obtiensf(1) =f(1)², soitf(1) = 1ouf(1) = 0ce qui est exclu par l’énoncé ; donc

f(1) = 1.

Pour(m, n) = (1,1) j’obtiensf(2) = 2f(1)², soit

f(2) = 2.

Je peux aussi écrire des égalités plus générales ; par exemple pour les couples (0, n), (1, n)et (n, n)j’obtiens

f(n²) = [f(n)]², f(1 +n²) = 1 + [f(n)]², f(2n²) = 2[f(n)]². (E) En appliquant ces relations àn= 2, j’obtiens

f(4) = 4, f(5) = 5, f(8) = 8.

En recommençant avec n = 4 et n = 5 je peux en déduire f(16) = 16, f(17) = 17, f(32) = 32, f(25) = 25, f(26) = 26, f(50) = 50. Mais que vaut f(3)? Je ne pourrai

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l’obtenir qu’à partir d’une égalité du typef(9 +n²) = [f(3)]²+ [f(n)]². Pour n= 4 cela marche car je connaisf(25). Ainsi

f(3) = 3 et comme plus haut j’en déduis

f(9) = 9, f(10) = 10

et aussif(18) = 18. Il me faut maintenantf(6). Je viens d’utiliser que3²+4²= 5², d’où en multipliant par quatre :6²+8²= 10²et je sais quef(8) = 8et quef(10²) = [f(10)]²= 10²; j’en tire donc

f(6) = 6

et aussif(36) = 36etc. Il me reste enfin à trouver f(7),f(11)et f(12). En regardant les égalités(E), je pense naturellement à écrire1 + 7²= 50et je sais quef(50) = 50, donc

f(7) = 7.

Pour f(11) et f(12), je dois imaginer quelque chose de différent. Si je trouve une égalité a²+b² =c²+d² où les images de b, c et dsont connues, j’en déduirai f(a) car [f(a)]²+ [f(b)]²=f(a²+b²) =f(c²+d²) = [f(c)]²+ [f(d)]². J’écris alors11²+ 2²= 125 = 100 + 25 = 10²+ 5²(ou bien11²+ 3²= 9²+ 7²) et aussi12²+ 1²= 145 = 64 + 81 = 8²+ 9². J’obtiens donc enfin

f(11) = 11, f(12) = 12.

2.0.2. Question 2

Il s’agit bien sûrde montrer par récurrence que

∀n∈N, f(n) =n

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En examinant la question précédente et particulièrement le calcul de f(11) et f(12), je constate que la valeur def(a)peut dépendre des valeurs précédentes de f s’il on trouve b, c, dplus petits queatels quea²+b²=c²+d². Est-ce toujours possible ? Cette dernière égalité peut s’écrire sous la formea²−c²=d²−b² ou encore

(a−c)(a+c) = (d−b)(d+b)

c’est-à dire deux factorisations différentes d’un même entier. Une façon naturelle d’obtenir une telle égalité est de l’identifier à un simple déplacement de parenthèses :

(αβ)γ=α(βγ) en posant

a−c=αβ, a+c=γ, d−b=α, d+b=βγ, c’est-à-dire

a= γ+αβ

2 , c= γ−αβ

2 , d=α+γβ

2 , b= α−γβ 2 .

Pour être sûr d’obtenir des entiers, il me suffit de choisirpairsles entiersαet γ; je pose doncα= 2u, γ= 2v, β=wet j’obtiens

(v+uw)²+ (u−vw)²= (v−uw)²+ (u+vw)²

et je dois prendreu≥1,v≥1,w≥2 pour obtenir une égalité non triviale. Par exemple, pour(u, v, w) = (5,2,2), je retrouve 12²+ 1²= 8²+ 9².

Je vais maintenant pouvoir fabriquer des relations permettant de mettre en œuvre une récurrence. En prenant(u, v, w) = (n,1,2), l’égalité

(2n+ 1)²+ (n−2)²= (2n−1)²+ (n+ 2)² (1) me permettra de progresser vers un rang impair2n+ 1; avec(u, v, w) = (n,2,2), l’égalité

(2n+ 2)²+ (n−4)²= (2n−2)²+ (n+ 4)² (2)

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me permettra de progresser vers un rang pair2n+ 2.

Je considère donc la propositionPn définie par

∀k∈ {0,1, . . . ,2n}, f(k) =k.

D’après la première question, P₁,P₂, . . .P₆ sont vraies. Je suppose P_n vraie à un rang n≥6; l’égalité (1) me permet de calculer

f(2n+ 1) = 2n+ 1

carn−2,2n−1et n+ 2 sont≤2n; l’égalité (2) me permet de calculer f(2n+ 2) = 2n+ 2

carn−4,2n−2et n+ 4 sont≤2n. AinsiPn+1 est vérifiée.

La propositionPn est donc établie à tout rangn, ce qui achève la démonstration.