Énoncé Solution 1
Page d’accueil
Page de Titre
JJ II
J I
Page1de4
Retour
Full Screen
Fermer
Quitter
1. concours général 1996 - exercice 5 énoncé
Soit n un entier naturel non nul. On dit qu’un entier naturel non nul k vérifie la conditionCns’il existe2kentiers naturels non nulsa1, b1, . . . , ak, bktous distincts, tels que les sommesa1+b1, . . . , ak+bk soient deux à deux distinctes et strictement inférieures àn.
1. Montrer que sikvérifie la conditionCn, alorsk≤ 2n−35 . 2. Montrer que 5 vérifie la conditionC14.
3. On suppose 2n−35 entier. Montrer que 2n−35 vérifie la condition Cn.
Énoncé Solution 1
Page d’accueil
Page de Titre
JJ II
J I
Page2de4
Retour
Full Screen
Fermer
Quitter
2. concours général 1996 - exercice 5 Solution 1
2.0.1. Question 1.
Comment faire le lien entre les2kentiersa1, b1, . . . , ak, bket leskentiersa1+b1, . . . , ak+ bk? Bien sûr en considérant la somme :
S=
k
X
i=1
(ai+bi) =a1+b1+· · ·+ak+bk.
Les2kentiers naturels non nulsa1, b1, . . . , ak, bk sont tous distincts, donc le plus petit est
≥1, le suivant est≥2 etc. jusqu’au plus grand≥2k. Ainsi
S≥1 + 2 +· · ·+ 2k= (2k)(2k+ 1)
2 =k(2k+ 1).
De plus, leskentiers naturels a1+b1, . . . , ak+bk sont tous distincts et< n, donc le plus grand est≤n−1, le suivant est≤n−2 etc. jusqu’au plus petit≤n−k. Ainsi
S≤(n−1) + (n−2) +· · ·+ (n−k) =k·n+k(k+ 1)
2 .
En rapprochant ces deux résultats et en divisant park > 0, j’obtiens n−k+12 ≥2k+ 1, c’est-à-dire bienk≤2n−35 .
2.0.2. Question 2.
Si k = 5 et n = 14, alors k = 2n−35 et donc les inégalités de la question 1 sont des égalités. Cela impose d’une part que l’ensemble des 2k entiers a1, b1, . . . , ak, bk soit
Énoncé Solution 1
Page d’accueil
Page de Titre
JJ II
J I
Page3de4
Retour
Full Screen
Fermer
Quitter
exactement {1,2, . . . ,2k} = {1,2, . . . ,10} et d’autre part que l’ensemble des k sommes a1+b1, . . . , ak+bk soit exactement{n−k, . . . , n−1}={9,10, . . . ,13}.
J’ai exploré systématiquement toutes les possibilités de la façon suivante : je renumérote lesai, bide façon à avoira1+b1= 9, . . . , a5+b5= 13, je les renomme pour avoir toujours ai < biet je prendsa1= 1(et doncb1= 9), puisa2= 2(et doncb2= 10) etc. en essayant à chaque foisa2, puisa3, a4, a5de la plus petite à la plus grande valeur possible. Dans de nombreux cas, je bute sur une impossibilité carbi doit avoir une valeur déjà utilisée.
Voici le résultat de ma recherche :
a1+b1 a2+b2 a3+b3 a4+b4 a5+b5
1 + 8 3 + 7 5 + 6 2 + 10 4 + 9 1 + 8 4 + 6 2 + 9 5 + 7 3 + 10 2 + 7 1 + 9 5 + 6 4 + 8 3 + 10 2 + 7 4 + 6 1 + 10 3 + 9 5 + 8 3 + 6 1 + 9 4 + 7 2 + 10 5 + 8 3 + 6 2 + 8 1 + 10 5 + 7 4 + 9 4 + 5 1 + 9 3 + 8 2 + 10 6 + 7 4 + 5 2 + 8 1 + 10 3 + 9 6 + 7
Évidemment, j’ai fait plus que ce qui était demandé puisque j’ai trouvé toutes les possibi- lités (à l’ordre près) alors qu’une me suffisait ; mais cela me permet de mieux comprendre la situation.
2.0.3. Question 3.
Je posek= 2n−35 , c’est-à-diren=5k+32 .nétant entier,kdoit être impair ; je suis donc ramené à prouver que2p−1 vérifieC5p−1 pourp∈N∗.
Énoncé Solution 1
Page d’accueil
Page de Titre
JJ II
J I
Page4de4
Retour
Full Screen
Fermer
Quitter
La remarque faite au début de la question 2 est encore valable, l’ensemble des ai, bi
doit être exactement {1,2, . . . ,2k} = {1,2, . . . ,4p−2}, l’ensemble des ai+bi doit être exactement{n−k, . . . , n−2, n−1}={3p,3p+ 1, . . . ,5p−2}.
En examinant la première solution du tableau précédent, je m’aperçois que lesai sont les entiers impairs croissants suivis des entiers pairs croissants ; j’essaie tout simplement de reproduire cette disposition dans le cas général.
Sur la première ligne, j’écris un nombre repère me facilitant le décompte des nombres suivants ; sur la deuxième ligne, j’écris dans l’ordre croissant les valeurs desai+bi (je les connais) ; sur la troisième, je place lesaitel que je l’ai annoncé ; enfin sur la dernière ligne je calculebi= (ai+bi)−ai.
repère 1 2 · · · p 1 2 · · · p−1
ai+bi 3p 3p+ 1 · · · 4p−1 4p 4p+ 1 · · · 5p−2 ai 1 3 · · · 2p−1 2 4 · · · 2p−2 bi 3p−1 3p−2 · · · 2p 4p−2 4p−3 · · · 3p
Il me suffit enfin de constater que les nombres a1, b1, . . . , ak, bk sont exactement les entiers distincts de{1,2, . . . ,2k}={1,2, . . . ,4p−2} pour conclure quek= 2p−1 vérifie la conditionCn,n= 5p−1.
