1. concours général 1991 - exercice 2 énoncé

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1. concours général 1991 - exercice 2 énoncé

À tout nombre entier naturel non nuln, on associe l’applicationfn de la variable réelle x, définie pourx≥npar :

fn(x) =√

x−n+√

x−n+ 1 +· · ·+√

x−1 +√ x+√

x+ 1 +· · ·+√

x+n−(2n+ 1)√ x.

1. Dans cette question, l’entiernest fixé.

Montrer quef_n est croissante et que lim_x→+∞f_n(x) = 0.

2. Déterminer la limite de la suite de terme généralf_n(n).

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2. concours général 1991 - exercice 2 Solution 1

soitn∈N^∗

fn : [n; +∞[ → R

x 7−→

2n

P

k=0

√x+k−n−√ x 1. • fn(x) =

2n

P

k=0

√x+k−n−√ x

=

n

P

p=1

(√

x+p+√

x−p−2√ x)

f_n est infiniment dérivable sur]n; +∞[.

de plusf_n⁰ (x) =¹₂

n

P

p=1

√1

x+p−^√1_x+^√_x−p¹ −^√1_x

=¹₂

n

P

p=1

h√1

x−p−^√1_x

−

√1

x−^√_x+p¹ i Soitg:R^∗₊→R

x7−→ ^√1_x g⁰(x) = _2x^−1√_x.

g⁰ est strictement croissante car x7−→x√

xest croissante donc x7−→ −x√ xest décroissante ( composée de x7−→ x√

xavec x7−→ −x) et puisque x7−→ _2x¹ est décroissante, g⁰ est croissante ( la composée de deux fonctions décroissantes est croissante.)

D’aprés l’inégalité des accroissements finis pourp∈ {1, ..., n}, g(x)−g(x−p)≥pg⁰(x)

g(x+p)−g(x)≤pg⁰(x)d’oùg(x−p)−g(x)≥g(x)−g(x+p) On en déduit ^√_x+p¹ −^√1_x+^√_x−p¹ −^√1_x ≥0

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d’oùf_n⁰(x)≥0et cela quelque soitx∈]n; +∞[

doncfn est croissante sur[n; +∞[.

• D’autre part :

∀k∈0, ...,2n√

x−n−√ x≤√

x−n+k−√ x≤√

x+n−√ x d’où ^{√−n(2n+1)}_x+^√_x−n ≤fn(x)≤ ^√(2n+1)n_x+n+^√_x

ornétant fixé, lim

x→+∞

√ 1 x+n+√

x = lim

x→+∞

√ 1 x−n+√

x= 0 d’où lim

x→+∞fn(x) = 0 2. • Soith: [0; 1]→Rx7−→√

1 +x+√

1−x−2 hest dérivable sur[0; 1[et h⁰(x) = ¹₂

√1

1+x−^√1

1−x

=¹₂

√1−x−√

√ 1+x 1−x²

or pourx∈]0; 1[√

1 +x >√

1−xet 1−x²>0

d’oùh⁰(x)<0, donchest strictement décroissante sur[0; 1].

Soitp∈1, ..., n(n∈N^∗) :h(^p_n)≤h(_n¹) orfn(n) =

2n

P

k=0

√ k−√

n

=

n

P

p=1

(√

n+p−√ n+√

n−p−√ n)

=√ n

n

P

p=1

h(_n^p)−2 d’oùfn(n)≤√

n

n

P

p=1

h(^p_n)−2

≤n√

n(h(_n¹)−2)

orh(0) = 2et hest strictement décroissante sur[0; 1]

donch(¹_n)−2<0 d’où lim

n→+∞f_n(n) =−∞