1. concours général 1990 - exercice 2 énoncé

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1. concours général 1990 - exercice 2 énoncé

Un jeu est constitué de pièces en forme de tétraèdres réguliers d’arêtes de longueur 1.

Toutes ces pièces ont été peintes à l’aide d’une palette de ncouleurs : chaque face d’un tétraèdre est peinte d’une seule couleur et on précise que les quatre faces d’un tétraèdre ne sont pas nécessairement de couleurs distinctes. Déterminer le nombre maximum de pièces de ce jeu sachant que le jeu ne contient pas deux pièces identiques.

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2. concours général 1990 - exercice 2 Solution 1

Soitf(n)le nombre de bifaces différents peints avec une palettes de ncouleurs.

Soita1, ..., an les couleurs d’oùf(n) =n+f(n−1) orf(1) = 1 nombre de facesan nombre de bifaces différents

2 1 1 n−1 0 f(n−1)

d’où

n

P

k=2

(f(k)−f(k−1)) =

n

P

k=2

k=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ −1 =f(n)−f(1)

d’oùf(n) = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ soit g(n)le nombre de"trifaces "( tétraèdre régulier dont on banalise une face ) différents peints avecncouleurs :

nombre de facesan nombre de ” trifaces ” différents 3 1

2 n−1 1 f(n−1) 0 g(n−1)

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d’où

g(n) = n+f(n+ 1) +g(n−1)

= 2n+n(n+ 1

2 +g(n−1)

= n(n+ 1)

2 +g(n+ 1) donc

n

X

k=2

(g(k)−g(k−1)) = 1 2

n

X

k=2

(k²+k)

= g(n)−g(1)or g(1) = 1

= 1

2(n(n+ 1)(2n+ 1

6 +n(n+ 1) 2 −2) d’où

g(n) = n(n+ 1)(2n+ 1)

12 +n(n+ 1) 4

= 1

12[n(n+ 1)(2n+ 1 + 3)]

= n(n+ 1)(n+ 2) 6

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nombre de facesa_n nombre de tétraèdres réguliers peints 4 1

3 n−1 2 f(n−1) 1 g(n−1) 0 h(n−1)

h(n) =n+f(n−1) +g(n−1) +h(n−1)

h(n)−h(n−1) = n+n(n−1)

2 +n(n−1)(n+ 1) 6

= n(n+ 1)

2 +n(n+ 1) 2 .n−1

3

= n(n+ 1)

2 (1 +n−1 3 )

= n(n+ 1)(n+ 2) 6

= 1

6 n³+ 3n²+ 2n

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donc

h(n)−h(1) =

n

X

k=2

(h(k)−h(k−1))

= 1

6

n

X

k=2

k³+1 2

n

X

k=2

k²+1 3

n

X

k=2

k

= 1

24n²(n+ 1)²+ 1

12n(n+ 1)(2n+ 1) + 1

16n(n+ 1)−3 orh(1) = 3 d’où

h(n) = 1 24

n²(n+ 1)²+ 2n(n+ 1)(2n+ 1) + 2n(n+ 1)

= 1

24n(n+ 1) [n(n+ 1) + 4n+ 2 + 4]

= 1

24n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

= (n+ 3)!

4!(n−1)!

= C_n+3⁴