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1. concours général 1995 - exercice 2 énoncé
Étudier la convergence de la suite(un)n∈Ndéfinie par : u0≥0 et pour toutndansN, un+1=√
un+ 1 n+ 1.
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2. concours général 1995 - exercice 2 Solution 1
On au1=√
u0+1≥1et par une récurrence immédiate,unexiste≥1pour toutn≥1.
Si un converge vers une limite finie `, on aura `≥1 et commeun+1 → `,√
un →√
` et
1
n+1 → 0, on a ` = √
`, d’où ` = 1 (0 est exclu). En conclusion, la suite (un) ne peut converger que vers 1 ou diverger.
En expérimentant à la calculatrice avec diverses valeurs deu0, il apparaît que la suite serait décroissante à partir d’un certain rang et tendrait vers 1.
Pour étudier le sens de variation, je calcule pourn≥1 un+1−un=h√
un+ 1 n+ 1
i−h√
un−1+ 1 n i
=√ un−√
un−1− 1 n(n+ 1). Comme √
un −√
un−1 est du signe de un −un−1 (croissance de la fonction racine ou quantité conjuguée), je peux affirmer que siun−un−1 est négatif, alors un+1−un l’est aussi, c’est-à-dire, pour toutn≥1:
(un≤un−1):(un+1≤un).
En conséquence, si à un rangp=n0, on aup+1≤up, ce sera vrai par récurrence pour toutp≥n0. S’il n’existe pas de tel n0, cela signifie que pour toutp,up+1≥up. La suite (un)est donc
• soit décroissante à partir d’un certain rang,
• soit croissante à partir du premier terme.
Dans le premier cas, la suite(un)n≥n0 est décroissante et minorée (par 1), donc conver- gente et sa limite ne peut être que 1.
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Dans le deuxième cas, la suite ne peut être majorée car elle aurait une limite finie>1; on a doncun→+∞. Mais alors
un+1−un=√
un−un+ 1 n+ 1 =√
un(1−√
un) + 1 n+ 1 tendrait vers−∞, ce qui est absurde puisqueun≥1.
Conclusion: La suite(un)décroît à partir d’un certain rang et converge vers 1.
