La géométrie élémentaire peut-elle encore
nous surprendre ?
" Comprendre quelque chose de nouveau est un plaisir."
" Comprendre plus que démontrer. Quand on peut mettre divers éléments en relation et voir que cela marche."
" Je distingue comprendre et démontrer."
" Comprendre, c’est voir à quoi le problème qu’on étudie peut se ramener, à des
choses déjà comprises et voir comment cela peut donner un éclairage à de
nouvelles questions."
Pierre Deligne (prix Abel 2013)
Extrait d'un article de France Caron, Université de Montréal
Plusieurs enjeux sont évoqués :
• Fournir aux élèves les outils intellectuels utiles au citoyen pour
appréhender, de façon critique, les informations et les propositions qui lui sont soumises.
• Eveiller au caractère scientifique des mathématiques et à leur large applicabilité.
• Initier très tôt les élèves à la façon spécifique dont les mathématiques envisagent le rapport au vrai et au faux, soit en s’appuyant sur leur rapport au « réel » en ayant recours à la puissance du
raisonnement.
• Commencer, lorsque c’est possible, à situer les connaissances
mathématiques dans une perspective historique pour les faire percevoir comme construction humaine.
• Initier à une pratique de l’activité mathématique, caractérisée à la fois par :
◦ le goût du questionnement, de la recherche, de l’investigation ;
◦ la nécessité de structurer, d’organiser, d’expliciter, de prouver.
Ce dernier enjeu est, à mes yeux, essentiel.
En vue de l’illustrer, nous développerons un
schéma d’approche de faits géométriques en trois étapes :
• Expérimenter - Explorer – Découvrir
• Conjecturer – Vérifier
• Argumenter - Justifier – Démontrer
Nous tenterons de répondre aux questions suivantes :
- L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique peut-elle favoriser
l’implantation d’un schéma de ce type chez (certains de) nos élèves ?
Et chez l’adulte réputé « matheux » ?
- La géométrie du début du secondaire offre-t-elle des occasions de
développer un tel schéma ?
Quelques remarques préliminaires :
• Les propriétés géométriques qui
seront abordées ne sont pas d’une importance capitale, elles ne vont pas révolutionner la géométrie
élémentaire !
• Les situations choisies, en espérant qu’elles soient peu ou pas connues, devraient illustrer la démarche
proposée.
• Ces situations mettront en œuvre principalement des quadrilatères
quelconques et concerneront surtout la notion d’aire (grandeur principale attachée aux surfaces planes).
• Les comparaisons d’aires seront favorisées (sans recours aux
formules de calcul d'aire).
• L'utilisation du logiciel favorisera une présentation dynamique des
énoncés.
• Les propriétés permettant les
justifications sont des outils majeurs de la géométrie élémentaire :
1. détermination d’un parallélogramme, 2. Thalès,
3. polygones de même aire, …
Première partie :
Le rôle des médianes Extension
Deuxième partie :
Le rôle des diagonales Extension
Bonus
Première partie :
Sit 1
Les médianes
Un aspect moins connu (?) Richesses de l'approche
dynamique
Test Labo Extrait de l'article de Daniel Reisz
Plot (APMEP) n°39 2012
Sit 2 Les "trianes"
Triane : néologisme ou abus de langage autorisé aux personnes âgées.
Comme une médiane … mais pour les tiers.
Personne âgée : prof à la retraite affranchi de toute contrainte.
Réf. : Finding conjectures using geometer's sketchpad (GSP)
Mathematics teaching 221 (march2011)
Labo
Sit 3
Angel theorem
Mathematics in School Nov 2012
Dr Chris Pritchard
Labo
Première partie :
Le rôle des médianes Extension
Deuxième partie :
Le rôle des diagonales Extension
Bonus
Sit 4
Partages
Sit 5
Les quarts
Sit 6
Pierre- Léon Anne 1806-1850
http://www.pandd.demon.nl/vierh/newtonlijn.htm Newton-lijn dans un quadrilatère complet
Bonus
Trianes dans un triangle
Sit 7
Les trianes dans un triangle
Hugo Steinhaus
Amusements :
Finding conjectures using geometer's sketchpad by S. Fallstom et M. Walter Mathematics teaching 221 March 2011
Spinning Pegs and Varignon's Friends by Chris Pritchard Mathematics in school March 2012
Fibonacci Pegs and an Angel Theorem by Chris Pritchard Mathematics in school Nov 2012
