1 Oral (I) de Math´ ematiques se d´ eroulant ` a l’ENS Paris-Saclay

(1)

Pr´eparation `a l’oral : partie I

Analyse

Table des mati` eres

1 Oral (I) de Mathématiques se déroulant à l’ENS Paris-Saclay 1 2 Oral (II) de Mathématiques se déroulant à l’école des Arts et Métiers 8

Les sujets d’interrogations orales qui suivent portent sur le programme d’analyse des deux années de préparation PTSI/PT. Avant de s’entraˆıner, il est conseillé de réviser les cours des chapitres 1−2−3−9−10−14−15 étudiés cette année. Quelques conseils pour les oraux :

1. Présenter brièvement le type d’exercice sur lequel on travaille pour identifier et mobiliser les connaissances en jeu, entamer le dialogue avec le jury (très apprécié).

2. Inutile d’écrire de longues phrases et encore moins de recopier l’énoncé ; les justifications et commentaires doivent être donnés au moment où l’on est interrogé ;

3. Lorsqu’une indication est donnée pour aider le candidat, l’écouter et réagir à celle-ci ; la passivité ou l’obstination dans une voie infructueuse sont fortement déconseillées.

1 Oral (I) de Math´ ematiques se d´ eroulant ` a l’ENS Paris-Saclay

Exercice 1 (2017, une question manquante) 1. Rappeler le th´eor`eme de Rolle.

2. Soit netm deux entiers naturels,f de classe Cⁿ.

Prouver que sif⁽ⁿ⁾akracines distinctes,k≤m, alorsf a au plusn+mracines distinctes.

3. Soit P un polynˆome de degr´e detα∈R^∗. Prouver que d

dx(P(x)e^αx) =R(x)e^αx, oùR(x) est un polynôme dont on précisera le degré.

4. Soitβ∈Rtel queβ6=α. Soitf(x) =P(x)e^αx+Q(x)e^βx, oùP etQsont deux polynômes de degré inférieur ou égal à d. Prouver que f a au plus 2d+ 1 racines.

(2)

Exercice 2 (2015)

Soit I =]0, a] etf une application v´erifiantf(I)⊂I et

∃A >0, ∃α >1, f(x) =

0 x−Ax^α+o(x^α) On d´efinit la suite (un) par u0 =aet∀n∈N,un+1 =f(un).

1. Montrer que la suite (un) est bien d´efinie.

2. On admet que limu_n= 0. Déterminer un équivalent deu^1−α_n+1−u^1−α_n . En déduire un équivalent deun.

3. Application : f(x) = sin(x).

Cours : Critère de d’Alembert, exemple de série où le rapport tend vers 1.

Exercice 3 (2016)

Pour n∈N, on d´efinitf_n par∀x≥0,f_n(x) = ln(1 + 3x+xⁿ).

1. Montrer qu’il existe un uniquea_n tel quef_n(a_n) = 1. Prouver que a_n∈[0,1].

2. Donner les trois premiers termes de la suite (a_n).

3. Comparer fn+1(x) et fn(x). ´Etudier la monotonie de (an).

4. On suppose que liman= 1. Justifier qu’`a partir d’un certain rang, an≥2/3.

Que peut-on en d´eduire ? Trouver la limite de la suite (a_n).

Cours : Que dire d’un endomorphisme associ´e `a une matrice deO(2) ?

Donner la série génératrice d’une variable aléatoire à valeurs dansN, lien avec l’espérance.

Exercice 4 (2018)

1. Limite de la suite d´efinie par x₀=|z₀|,x₁=|z₁|etx_n+2= 1

3(x_n+1+x_n).

2. Montrer que la suite d´efinie par y₀ =a≥1,y₁ =b≥1 et y_n+2 =√

y_n+1+√

y_n existe, a tous ses termes supérieurs à 1, converge et déterminer sa limite.

3. On posez_n= 1 2

√y_n−1. Montrer que pour toutn,z_n+2≤ z_n+1+z_n

3 .

4. En d´eduir la convergence et la limite de (zn), puis celle de (yn).

Cours : Énoncé du théorème spectral ; inégalité de Bienaymé-Tchebychev ; point régulier d’une surface d’équation f(x, y, z) = 0.

Exercice 5 (2017)

1. ´Etudier la convergence des s´eries de t.g. :un= (2n)!

(n!)² etun= n!

1×3× · · · ×(2n+ 1). 2. Pour n≥2, on pose :Un= 1

n etVn= 1 n(ln(n))². Calculer Un+1

U_n et Vn+1

V_n . Que dire de la convergence des s´eriesX

Un etX Vn?

Cours : Définir un hyperplan ; donner la formule des probabilités totales ; définir une intégrale

(3)

Exercice 6 (2019, Mines-T´el´ecom) Soit u_n=

Z 1 0

1 1 +tⁿdt.

1. V´erifie queu_n= 1− Z ₁

0

tⁿ

1 +tⁿdt. En d´eduire la limite de la suite (u_n).

2. V´erifier que : Z 1

0

tⁿ

1 +tⁿdt= ln(2)

n −

Z 1 0

ln(1 +tⁿ) n dt.

3. En d´eduire queun= 1−ln(2) n +o

1 n

. Cours : Soit p_n=a2ⁿ

n! etX une variable aléatoire donnant le nombre d’enfants dans une famille modélisée par P(X = n) = p_n. Calculer a, reconnaˆıtre la loi de X et interpréter la valeur de E(X).

Exercice 7 (2017, Mines-T´el´ecom, une question manquante) Soit I_n=

Z π/2 0

cosⁿ(t)dt.

1. Calculer : lim

n→+∞cos 1

√3

n

et lim

n→+∞

Z √₃¹ n

0

cosⁿ(t)dt. En d´eduire lim

n→+∞I_n. 2. Soit la série de terme général un avec un= (−1)ⁿ

Z π/2 0

tcosⁿ(t)dt.

Montrer que cette s´erie converge et calculer sa somme (s’int´eresser aux sommes partielles).

Cours : Soit A∈ M_n(R) telle queA²+A+In= 0n etλ une valeur propre deA. Montrer que λ²+λ+ 1 = 0, quenest pair, que Tr(A) =n/2 et que det(A) = 1.

Exercice 8 (2018)

Soit (un) une suite r´eelle positive telle que la s´erie X

un diverge.

1. Donner la nature de la s´erie de t.g. u_n 1 +nun

si : a)un= 1

n; b) un= 1 si il existe m∈N tel quen= 2^m−1 et un= 0 sinon.

Pour la suite, on suppose que∀n∈N,un>0.

2. ´Etudier la convergence de la s´erieX u_n 1 +n²un

3. Montrer que :X un

1 +un

CV =⇒limun= 0.

4. Montrer que : limun= 0 =⇒X un

1 +u_n DV. Que peut-on en d´eduire ? Cours : La matriceA=





1 1 1 1 1 1 1 1 1



est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.

 1 +a 1 1 

(4)

Exercice 9 (2018)

On se donne u0 >0 et ∀n∈N,un+1=u²_n+un. 1. Montrer que pour toutx >0, ln(1 +x)≤x.

2. Montrer que si (x_n) et (y_n) sont deux suites r´eelles,e^xⁿ ∼e^yⁿ ssi lim(x_n−y_n) = 0.

Sixn∼yn a-t-one^xⁿ ∼e^yⁿ?

3. Montrer que (un) est croissante `a valeurs positives. Montrer que (un) diverge.

4. On posev_n= 2⁻ⁿln(u_n). ´Etudier la convergence de la s´erie X

(v_n+1−v_n).

Cours : Définir une somme géométrique, calculer

n

X

k=0

cos(kx).

Exercice 10 (2019)

On donne u₀ >0 et u_n+1=u_n+ 1 un

pour toutn∈N.

1. ´Etudier la monotonie et la limite de (un). La s´erie X 1 un

converge-t-elle ?

2. On admet que si (an) et (bn) sont deux suites `a termes positifs telles que an ∼ bn et Xbn diverge alors

n

X

k=0

ak∼

n

X

k=0

bk. (a) Calculer lim

n→+∞(u²_n+1−u²_n). En déduire un équivalent de u_n. (b) Trouver un équivalent deHn= 1 +1

2+· · ·+ 1

n. En d´eduire un ´equivalent de

n

X

k=0

1 u²_k. Cours : Définition et propriété de l’orthogonal d’un sous espace vectoriel.

A-t-on toujours E=F+F^⊥. Cette somme est-elle directe ?

Exercice 11 (2017)

On considère la série entière de la variable réelleX x⁴ⁿ

(4n)! etf sa fonction somme.

1. Calculer le rayon de convergence de cette serie enti`ere.

2. Trouver une équation différentielle linéaire a coefficients constants (E) vérifiée parf. 3. Mettre sous forme matricielle Y⁰ =AY l’équation différentielle à coefficients constants

y⁽⁴⁾=ay⁽³⁾+by⁰⁰+cy⁰+dy.

4. En déduire que l’ensemble des solutions de (E) est un e.v. de dimension à préciser.

5. Montrer que les solutions des ´equationsy⁰⁰ =y ety⁰⁰=−y sont solutions de (E).

6. En déduire les solutions de (E), puis exprimer f à l’aide des fonctions élémentaires.

(5)

Exercice 12 (2017, Mines-Télécom) Soit la série entière X

n+p p

xⁿ. On noteS sa fonction somme.

1. Trouver son rayon de convergence R.

2. Pour x=R, la s´erie est-elle convergente ?

3. Montrer queS est d´erivable sur ]−R, R[ et que (1−x)S⁰(x) = (p+ 1)S(x).

Cours : Définition de deux matrices semblables. Que dire de la trace et du polynôme carac- téristique de deux matrices semblables ? Deux matrices ayant même trace et même polynôme caractéristique sont-elles semblables ?

Exercice 13 (2015)

On pose, ∀x∈]−1,+∞[,f(x) = Z +∞

1

e^−t x+tdt.

1. Montrer quef est bien d´efinie sur ]−1,+∞[.

2. Montrer quef est de classeC¹ sur ]−1,+∞[.

3. Donner une équation différentielle vérifiée parf. 4. Montrer quef est développable en série entière.

Pr´eciser ce d´eveloppement et son rayon de convergence.

Cours : Donner la définition d’une matrice orthogonale, en donner au moins deux caractérisa- tions, en donner les valeurs possibles pour le déterminant (preuve). Donner la définition d’une valeur propre et d’un espace propre d’une matrice carrée, cas des matrices orthogonales (preuve).

Faire le lien avec les isom´etries, donner des exemples d’isom´etries deR² et de R³.

Exercice 14 (2015)

1. Montrer queI_k(p) = Z +∞

0

t^pe^−ktdt converge si (k, p)∈N^∗×N.

2. Trouver une relation entre I_k(p) et I_k(p+ 1). En d´eduireI_k(p) en fonction dek etp.

3. Soit (n, p)∈(N^∗)². Montrer que :∀t6= 0, t^p e^t−1 =

n

X

k=1

t^pe^−kt+ e^−nt e^t−1t^p. 4. Montrer que :∀x >0, e^x−1> x.

5. Montrer que Z +∞

0

e^−nt

e^t−1t^pdtconverge et trouver sa limite lorsque ntend vers +∞.

6. En d´eduire que Z +∞

0

t^p

e^t−1dt converge et exprimer sa valeur en fonction de la somme d’une s´erie.

7. On donne

+∞

X

n=1

1 n² = π²

6 . Application pourp= 1.

(6)

Exercice 15 (2015)

Pour α, β >0, on pose fα(x) = Z +∞

0

t^α−1

t+βe^−xtdt.

1. Montrer quefα est d´efinie surR^∗+.

2. Montrer quefα estC¹ sur R^∗+ et calculer sa d´eriv´ee.

3. ´Etudier ses variations et ses limites aux bornes.

4. Est-elle C^∞?

Cours : Donner une CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable. Donner plusieurs application de la diagonalisation.

Exercice 16 (2015)

On note Dl’ensemble des fonctions continues sur Ret telles que ∀p∈N, lim

x→±∞x^pf(x) = 0.

1. Pour f ∈D, donner le domaine de d´efinition deF d´efinie parF(t) = Z +∞

−∞

e^itxf(x)dx.

2. Montrer queF estC¹ sur ce domaine et calculer F⁰(x).

3. Montrer queF estC^∞ sur ce domaine et calculerF^(k)(x), k∈N.

Cours : Formule du binˆome pour deux r´eels, cardinal de P(E) pour E de cardinal n (preuve succinte), montrer qu’il y a autant de parties de E de cardinal pair que de cardinal impair.

Exercice 17 (2015) On pose, ∀x∈R^∗+,f(x) =

Z +∞

0

e^−t x+tdt.

1. Montrer quef est d´erivable sur R^∗₊ et calculerf⁰(x).

2. D´eterminer les limites de f en +∞ et en 0⁺. 3. Trouver un ´equivalent de f en 0⁺.

Cours : Définition, espérance et variance d’une loi géométrique. Caractérisation d’une loi sans mémoire.

Exercice 18 (2019, trois questions manquantes) Soit f(x) =

Z π/2 0

(sin(t))^xdt.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition def et montrer que f est monotone.

2. Montrer quef(x) = x+ 2

x+ 1f(x+ 2).

Cours : D´efinition d’une matrice trigonalisable, en donner une caract´erisation. que dire des matrices complexes ?

(7)

Exercice 19 (2019, Mines-Télécom, une question manquante) Soit g l’application définie pour tout x≥0 par : g(x) =

Z +∞

0

1−e^−xt² t² dt.

1. V´erifier queg est bien d´efinie.

2. Soit b >0. Montrer queg est continue sur [0, b].

3. Soit a >0. Montrer que gest de classe C¹ sur [a,+∞[ et exprimer sa d´eriv´ee.

4. On admet que Z +∞

0

e^−u²du=√

π/2. En d´eduireg(x).

Cours : D´ecrire les transformation de C dans C qui `a tout point M d’affixe z associe le point M⁰ d’affixez⁰= (1−i)z+ i.

Exercice 20 (2015)

1. Montrer que l’application d´efinie par f(x, y) =x⁴+y⁴−2(x−y)² n’est pas bon´ee.

2. D´eterminer ses points critiques et leur nature si c’est possible.

3. Montrer que (0,0) est un point col (c`ad ni maximum local, ni minimum local).

4. Calculer m= inf{f(x, y), (x, y)∈R²}.

Cours : Énoncer et démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Exercice 21 (2019, une question manquante) 1. Simplifier l’expression 2 max(a, b)− |a−b|.

2. Soit f, g deux applications continues. Montrer que h= max(f, g) est continue.

3. Soit K d´efinie sur [0,1]² par K(x, y) =x(1−y) si x≥y et K(x, y) =y(1−x) six < y.

Montrer queK est continue.

4. Soit E={f ∈ C²([0,1],R), f(0) =f(1) = 0}et Φ d´efinie par Φ(f) =f⁰⁰. Montrer que Φ est un isomorphisme de E dansC⁰([0,1],R).

Cours : Inégalité de Bienaymé-Tchebichev, preuve.

Exercice 22 (2017, deux questions manquantes)

Soit f(x, y) =x⁴+y⁴−2x²+x+y−3 et ϕ(x) = 4x³−4x+ 1.

1. Montrer queϕadmet trois racines r´eellesx1, x2, x3v´erifiant :x1<− 1

√3 < x2< 1

√3 < x3. 2. Trouver les points critiques de f.

3. ´Etudier la nature des points critiques de f.

Cours : Inégalité de Bessel, définition d’une base orthonormale, décompostion d’un vecteur dans une base orthonormale, égalité de Pythagore.

(8)

Exercice 23 (2017, Mines-T´el´ecom) Soit f(x, y) =y³+ 3yx²−12x−15y.

1. D´eterminer les points critiques def. 2. Rechercher ses extremums locaux.

3. Justifier que la surface S d’équation z=f(x, y) est régulière.

4. Donner une ´equation du plan tangent au point (x₀, y₀, f(x₀;y₀)) et sa position par rapport

`

a la surface S (localement).

Cours : Inégalité de Cauchy-Schwarz avec preuve et cas d’égalité. L’écrire dans C([a, b],R).

Exercice 24 (2018, une question manquante)

1. Prouver que x7−→ln(x),x7−→xln(x) et x7−→(ln(x))² sont int´egrables sur ]0,1].

2. D´eterminer le domaine de d´efinition def : (a, b)7−→

Z 1 0

(ln(t)−a−bt)²dt.

3. Calculer f(a, b) et montrer quef admet un extremum local.

Cours : Définir un s.e.v. stable par un endomorphisme ; définir une matrice trigonalisable, dé- terminant et trace d’une telle matrice ; théorème du transfert, lien entre espérance et série gé- nératrice d’une variable aléatoire à valeur dansN.

2 Oral (II) de Math´ ematiques se d´ eroulant ` a l’´ ecole des Arts et M´ etiers

Exercice 1 (2013)

Soit f la fonction d´efinie par f(x) =x+x²−x³.

1. D´eterminer le plus grand intervalleI contenant 0 sur lequel f est bijective.

2. On appelle g la fonction réciproque de f sur cet intervalle. Montrer que g admet un développement limité à l’ordre 4 en 0 et le déterminer.

Exercice 2 (2018, 2017)

Pour n≥3, on consid`ere la fonction f_n d´efinie sur [1,+∞[ parf_n(x) =xⁿ−x−n.

1. Prouver que f_n admet un z´ero unique not´ex_n.

2. Pour a >1, prouver quefn(a)>0 pournsuffisamment grand.

En d´eduire que la suite (x_n) converge et d´eterminer sa limite`.

3. On note x_n=`+ε_n. Donner un ´equivalent deε_n lorsquentend vers +∞.

(9)

Exercice 3 (2016)

Soit la fonction fn:x7−→xⁿ−cos(x),n∈N.

1. Montrer que l’´equation f_n(x) = 0 admet une unique solution dans [0,1].

On noteraxn cette solution.

2. ´Etudier la monotonie de la suite (xn).

3. En d´eduire sa convergence et sa limite.

4. Donner une suite explicite vn telle que xn−vn=o(n⁻¹).

Exercice 4 (2015) Soit f(x) = xlnx

1 +x, consid´er´ee sur [1,+∞[.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un unique r´eelan tel quef(an) =n.

2. ´Etudier les variations de la suite (an).

3. Montrer que (an) n’est pas born´ee.

4. Donner un ´equivalentbn de an. 5. Donner un ´equivalent dean - bn.

Exercice 5 Soit n∈N.

1. Montrer qu’il existe un uniqueu_n>0 tel que u_n+ lnu_n=n.

2. Donner un d´eveloppement asymptotique deun quand ntend vers l’infini.

Exercice 6 (2013)

On pose :∀n∈N, un+1 = un+vn

2 et 2

vn+1

= 1 un

+ 1 vn

, avec 0< v0 < u0. 1. ´Etudier la nature de ces deux suites.

2. D´eterminer leur limite (on pourra ´etudier la suite (u_nv_n)n∈N.

Exercice 7 (2015)

Pour n≥3, on consid`ere la fonction fn:x7−→xⁿ−nx+ 1.

1. Montrer qu’il existe un uniquexn appartenant `a ]0,1[ tel que fn(xn) = 0.

2. Soit a∈]0,1[, montrer qu’il existe un rang `a partir duquelxn∈]0, a[.

3. En d´eduire la limite dexn quandntend vers l’infini.

4. Trouver un ´equivalent de xn.

(10)

Exercice 8 (2015, 2011)

Soit f de classeC¹ surR, telle que (f◦f)(x) = x 2 + 1.

1. Soit la suite (un)n≥0 v´erifiant u0=aet pour toutn,un+1= 1

2un+ 1.

Etudier la convergence de la suite (u´ _n)n≥0. 2. Prouver que, pour toutx∈R,f⁰(x) =f⁰

1 2x+ 1

. En d´eduire quef⁰(a) ne d´epend pas de a.

3. Exprimer f(x).

Exercice 9 (2018, 2016, 2015)

Soit x ety deux r´eels. On se donne les deux suites an= cos(2ⁿx) et bn= cos(2ⁿy).

On suppose que, pour tout nnon nul,a_n> b_n (H).

1. Exprimer an+1 en fonction dean etbn+1 en fonction de bn. En d´eduire que, pour toutnnon nul, on a a_n>|b_n|.

2. Factoriser a_n+1 - a_n. En d´eduire que la suite (a_n) est d´ecroissante.

3. Montrer que (a_n) converge. Que cela implique-t-il pourx? 4. Donner les couples (x, y) compatibles avec l’hypoth`ese (H).

Exercice 10 (2013)

On pose, pour tout n∈N,un= 1! + 2! +. . .+n!

(n+ 1)! . 1. ´Etudier la monotonie de la suite (u_n).

2. Montrer que : u_n+1 un

= 1

n+ 2

1 + 1 un

.

3. Montrer que l’hypothèseu_n−→àvec `6= 0 aboutit à une contradiction. Conclure.

Exercice 11 (2018, deux questions manquantes) Soit f(x, y) =

+∞

X

n=0

xⁿ 1 +y²ⁿ.

1. Sur quel ensemble la quantit´ef(x,0) est-elle d´efinie ? Simplifier son expression.

2. Soit Ω le domaine de d´efinition def. (a) Donner Ω.

(b) Repr´esenter Ω.

(c) Ω est-il un ouvert deR²?

(11)

Exercice 12 Pour tout entiern≥2,un= lnn

n² etvn= Z n

n−1

lnt

t dt−lnn n . 1. ´Etudier la convergence de la s´erieX

un. 2. Donner un ´equivalent de son reste d’ordren.

3. Montrer queX

vn converge.

Exercice 13 (2016)

1. ´Etudier la convergence de la s´erieX 1

1 + (nx)², o`ux∈R^∗. 2. On poseh(x) =

+∞

X

k=0

1

1 + (kx)²,x∈R^∗. (a) Montrer queh est paire.

(b) ´Etudier ses variations.

(c) Donner la limite deh en +∞.

(d) En utilisant la comparaison série-intégrale, déterminer un équivalent de h(x) en 0⁺.

Exercice 14 Soit (un) d´efinie par u0 >0 et un+1=e^−u²ⁿ pour toutn.

1. On suppose que (un) converge.

Montrer qu’il existe une unique valeur positive `telle limun=` et 0< ` <1.

2. En ´etudiant (an)n o`uan=un−`, montrer que (un) converge effectivement vers`.

3. ´Etudier la convergence de X a_n.

Exercice 15 (2010)

Etudier la convergence de la suite (u´ _n)n≥1 d´efinie par u_n=

n

X

k=1

k^−2/3

!

−3n^1/3.

Exercice 16 (2017, 2016)

Soit (u_n) et (v_n) deux suites d´efinies par :

un+1 = max(vn, un−vn) et vn+1= min(vn, un−vn), avec 0< v0 < u0. 1. Calculer u_n+1+v_n+1.

2. Montrer que (u_n) et (v_n) sont d´ecroissantes.

3. Montrer que (v_n) tend vers 0.

4. En utilisant (unvn)n∈ , montrer que X

v²_nconverge et calculer sa somme.

(12)

Exercice 17 (2018, 2017) SoitX

un une s´erie `a termes positifs, convergente. On posevn=

+∞

X

k=n+1

uk.

1. Montrer que

n

X

k=1

ku_k=

n−1

X

k=0

v_k−nv_n. 2. Montrer queX

nunetX

vnsont de mˆeme nature, de sommes ´egales si elles convergent.

Exercice 18 (2019)

On considère la suite (un)n∈Ndéfinie par u0∈]0,1[ et∀n∈N, un+1 =un−u²_n. 1. Étudier la convergence de cette suite et trouver sa limite.

2. Étudier la convergence de la sérieX u²_n. 3. Montrer que les séries X

ln un+1

u_n

etX

unsont de mˆeme nature.

En d´eduire la nature de X u_n.

Exercice 19 (2014)

On consid`ere la suite (u_n)n∈Nd´efinie par u₀∈]0, π[ et∀n∈N, u_n+1= sin(u_n).

1. Montrer qu’elle est convergente et d´eterminer sa limite.

2. Montrer queX ln

u_n+1 un

diverge.

3. En d´eduire la nature de X

u²_npuis de X un.

Exercice 20 (2009)

On donne u0 =u1 = 1 et, pour tout n∈N,un+2 =un+1+ 2un+ (−1)ⁿ. 1. Montrer que, pour tout n∈N, on a|u_n| ≤2ⁿ⁺¹−1.

2. Qu’en déduire pour le rayon de convergence R de la série entièreX u_nzⁿ? 3. Donner une expression de sa sommeS(z) pour|z|< R.

4. En d´eduire une expression de un.

Exercice 21 (2016)

∀n∈N, (n+ 3)u_n+3= (n+ 2)u_n+2+u_n, u₀ = 1, u₁=u₂ = 0. On posef(x) =

+∞

X

n=0

u_nxⁿ.

1. Montrer que la suite (u_n) est born´ee. Que dire du rayon de convergenceR de X u_nxⁿ? 2. D´eterminer (a, b, c, d, e)∈R⁵tel que∀x∈]−R, R[, (ax²+bx+c)f(x) + (dx+e)f⁰(x) = 0.

(13)

Exercice 22 (2008)

Soit (a_n)n∈N d´efinie par a₀ 6= 0, a₁6= 0 et, pour tout n≥2,a_n= an−1+an−2

2 .

1. Montrer que la suite (an)n∈Nest born´ee.

2. Que dire du rayon de convergenceR de X anzⁿ? 3. Montrer quef d´efinie sur ]−R, R[ parf(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿest une fraction rationnelle.

4. En d´eduire une expression de a_n en fonction de n,a₀ eta₁, puis calculerR.

Exercice 23 (2017) Soit S_n=

n

X

k=0

sh (k).

1. Calculer S_n.

2. Donner le rayon de convergence et la somme deX S_nxⁿ. 3. Reprendre la question pr´ec´edente en rempla¸cant sh par sin.

Exercice 24 (2011)

On considère la série entièreX

n≥1

n⁽⁻¹⁾ⁿxⁿ. 1. D´eterminer son rayon de convergence.

2. Exprimer sa fonction somme `a l’aide de fonctions usuelles sur l’intervalle de convergence.

Exercice 25 (2019)

Soit k∈N. On considère la série entière : X

n≥0

n^k n!xⁿ.

1. Donner le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere.

2. Donner la somme de cette s´erie enti`ere lorsquek= 0,1,2.

3. D´emontrer que pour toutk∈N,

+∞

X

n=0

n^k

n!xⁿ=Pk(x)e^x, où Pk est un polynôme. Quel est son degré ?

Exercice 26 (2017)

Soit aetb deux r´eels non nuls et distincts. On pose : f(x) = 1

(1−ax)(1−bx).

1. Montrer par deux méthodes quef est développable en série entière. Trouver le rayon de convergence du développement de f et son coefficient d’ordre n, noté c_n.

(14)

Exercice 27 (2013)

Soit f la fonction d´efinie sur R^+∗ parf(t) = 1

t −arctan1 t. 1. D´eterminer un ´equivalent def en +∞.

2. Prouver que l’int´egrale I = Z +∞

1

f(t)dtest convergente.

3. Calculer I.

Exercice 28 (2017, une question manquante) Soit fn d´efinie surR⁺ parfn(x) =

Z x n

e

√tdt.

1. Montrer qu’il existe une unique solution à l’équation fn(x) = 1. On la noteun. 2. Étudier la monotonie de la suite (u_n) et montrer que cette suite tend vers +∞.

3. Montrer que :e⁻^√^uⁿ ≤u_n−n.

Exercice 29 (2017) Soit f :x7−→

Z x

−∞

dt 1 +t+t².

1. Montrer quef est d´efinie surR.

2. Montrer quef estC¹ sur Ret calculerf⁰(x).

3. Factoriser P = 1−X³ dansR[X].

4. Montrer quef est développable en série entière et donner son DSE.

Exercice 30 (2015) Soit I_n=

Z +∞

0

1 (1 +t³)ⁿdt.

1. Pour quelles valeurs de nl’int´egrale est-elle convergente ? 2. D´eterminer la limite de In quandntend vers l’infini.

3. ´Ecrire une relation entre I_n,netI₁. 4. Que vaut I1?

Exercice 31 (2016) On posef(x) =

Z +∞

0

e^−xt

√1 +tdt.

1. Donner le domaine de d´efinition def. 2. Trouver f⁰(x).

3. Montrer quef est solution d’une ´equation diff´erentielle et la donner.

4. Prouver que : f(x) = e^x

√

Z +∞e^−u

√ du.

(15)

Exercice 32 (2018) Soit I =

Z π/2 0

ln(sint)dt,J = Z π/2

0

ln(cost)dt etK= Z +∞

0

lnx 1 +x²dx.

1. Montrer queI etK convergent.

2. `A l’aide du changement de variablex= 1

t, montrer que K est nulle.

3. En d´eduire que l’int´egrale Z π/2

0

ln(tant)dt est convergente et nulle.

4. En d´eduire queI =J puis d´eterminer la valeur deI.

Exercice 33 (2008) On posea_n=

Z π/4 0

(tant)ⁿdt, pour n≥0.

1. Montrer que la suite (a_n) est convergente. Calculer a_n+2+a_npuis la limite de (a_n).

2. Trouver un ´equivalent de a_n `a l’aide du changement de variable u= tantet d’une IPP.

3. Déterminer le rayon de convergence deX anxⁿ. 4. Déterminer trois réelsa,betc tels que 1

(1 +u²)(1−xu) = a+bu

1 +u² + c 1−xu. 5. Calculer la somme partielle

N

X

n=0

anxⁿ. En d´eduire la valeur de f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ.

Exercice 34 Soit f :x7−→

Z 2x x

dt t−lnt.

1. Montrer quef est de classeC¹ surR^+∗, calculerf⁰ et ´etudier les variations def. 2. Montrer que lim

x→+∞

Z 2x x

1

t−lnt−1 t

dt= 0. En d´eduire lim

+∞f. 3. Montrer que

Z 1 0

dt

t−lnt converge. En d´eduire la limite def en 0.

Exercice 35 (2015, tronqu´e) Pour tout r´eelx, on poseS(x) =

Z +∞

0

sin(xt)e^−t²dtetC(x) = Z +∞

0

tcos(xt)e^−t²dt.

1. Montrer que les fonctions S etC sont bien définies et continues surR. 2. Montrer queS est dérivable et exprimerS⁰(x) à l’aide deC(x).

3. Montrer queC(x) = 1 2 −x

2S(x).

Z x ₂

(16)

Exercice 36 (2011) On posef(x) =

Z 1 0

(1−t)t^x lnt dt.

1. Donner le domaine de d´efinition def. Montrer quef admet une limite en +∞.

2. Montrer quef est de classeC¹.Calculer f⁰(x).

3. Donner une expression de f(x) `a l’aide des fonctions usuelles.

4. On poseg(x) = Z +∞

1

(1−t)t^x

lnt dt. Donner le domaine de d´efinition deg.

Exercice 37 (2017)

1. ´Etudier la convergence de I = Z +∞

0

x−arctanx x(1 +x²) arctanxdx.

2. D´eterminer (a, b, c)∈R³ tel que : 1

x(1 +x²) = a

x+ bx+c

1 +x². Calculer I.

Exercice 38 (2016)

1. Montrer que :∀x >0, arctanx+ arctan1 x = π

2.

2. En d´eduire la limite quandx tend vers l’infini de x

arctan(x) −2x π . 3. Calculer la limite de

Z _2π

π

x

arctan(nx)dx quandn tend vers l’infini.

1. Donner la nature des int´egrales suivantes : I₁= Z ^π

4

0

−ln(tant)dt, I₂ = Z 1

0

− lnt 1 +t²dt, I3 =

Z 1 0

arctanx

x dx, I4 = Z ^π

4

0

x

cosxsinxdx.

2. Montrer queI₁=I₂=I₃=I₄.

3. Déterminer l’ensemble de définition de la fonctionF définie parF(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)² . Exprimer F(x) `a l’aide des fonctions usuelles et d’une int´egrale.

Exercice 40 (2017) Soit f :x7−→

Z π 0

ln(1−2xcost+x²)dt.

1. Montrer quef est continue surR\ {−1,1}.

2. Comparer f(x) et f(−x), puis f(x) et f 1

x

.

3. Étudier la dérivabilité def sur ]0,1[ et exprimer f⁰(x).

(17)

Exercice 41 (2016 et 2011)

Soit (In)n∈N d´efinie par : ∀n∈N, In(λ) = Z π

0

cosnt

1−2λcost+λ²dt.

1. D´eterminer le domaine de d´efinition deIn.

2. Calculer (1 +λ²)I0−2λI1. En d´eduireI1 en fonction de I0 (sans calculer I0).

3. Connaissant In+1 etIn−1, en d´eduireIn. 4. D´eterminerInen fonction de n.

Exercice 42 (2016) On pose :un=

Z 1 0

ln(1 +t)n

dt.

1. Montrer que (un) est monotone.

2. Montrer que (un) converge et donner sa limite.

3. ´Etablir une relation entre un+1 etun.

4. Montrer que : (n+ 1)un≤2(ln 2)ⁿ⁺¹≤(n+ 2)un. 5. En d´eduire un ´equivalent deun.

6. La série de terme général u_n

(ln 2)ⁿ converge-t-elle ?

Exercice 43 (2017, oral Mines-T´el´ecom)

Soit l’´equation diff´erentielle (E) : (x²+x)y⁰⁰+ (3x+ 1)y⁰+y= 0.

1. Trouver une solution de (E) développable en série entière, notéef₁. 2. Résoudre (E) sur ]0,1[.

3. Donner la solution g´en´erale de (E) sur ]−1,0[.

4. R´esoudre (E) sur ]−1,1[.

Exercice 44 (2015)

On considère l’équation différentielle (E) : x²y⁰⁰+ 4xy⁰+ (2−x²)y= 1.

1. Prouver que (E) possède une unique solution développable en série entière.

2. Exprimer cette solution `a l’aide des fonctions usuelles.

(18)

Exercice 45 (2017) On posef(x) =g

1 x

e^−1/x

x , pour toutx∈]0,+∞[, o`u g(x) = Z x

3

e^t t dt.

1. Montrer que, pour tout x≥3,g(x) = e^x x −e³

3 +e^x x² −e³

9 + 2 Z x

3

e^t t³dt.

2. Montrer que, pour tout x≥3, e^x

x −e³ 3 +e^x

x² −e³

9 ≤g(x)≤ e^x x −e³

3 + e^x x² −e³

9 +2(x−3)e^x x³ . 3. Montrer quef est prolongeable par continuit´e en 0, en posantf(0) = 1.

4. Montrer quef vérifie l’équation différentielle (E) :x²y⁰+ (1−x)y=−1.

5. Chercher les solutions développables en série entière, remarquer que le rayon de convergence est nul, que f est de classe C^∞ mais n’est pas développable en série entière.

Exercice 46 (2017, pos´e en 2016 aux Mines-Telecom) Soit f continue sur Rv´erifiant : (c) :∀x∈R, f(x) +

Z x 0

(x−t)f(t)dt= 1.

1. Montrer quef est de classeC¹.

2. Exprimer f⁰ puis montrer quef est de classe C².

3. Trouver une équation différentielle linéaire d’ordre 2, notée (E), vérifiée parf. 4. Résoudre (E) puis trouver toutes les solutions de (c).

Soit f une application continue surRv´erifiant :∀x∈R, f(x) =x+1 6

Z x 0

(x−t)³f(t)dt (E).

1. Montrer quef est de classeC⁴ et quef⁽⁴⁾=f.

2. Montrer que l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle y⁽⁴⁾ = y est un espace vectoriel de dimension 4, ayant pour base (cos,sin,ch,sh ).

Exercice 48 (2019)

Soit I un intervalle contenant 0 etg une fonction continue sur I.

1. Montrer queG2 :x7−→

Z x 0

(x−t)g(t)dtest une primitive seconde de gsur I.

2. Pour n≥2, on pose :Gn(x) = 1 (n−1)!

Z x 0

(x−t)ⁿ⁻¹g(t)dt.

En utilisant la formule du binôme de Newton, et à l’aide d’une récurrence, démontrer que G_n est une primitiven-ième de g.

3. Soit f telle que f⁽ⁿ⁾ =g. Exprimer Gn`a l’aide def sans faire intervenir d’int´egrale.

4. Retrouver le résultat de la question 2 à l’aide du résultat de la question précédente, de

(19)

Exercice 49 (2015)

Soit f une fonction continue deR dansR. On pose :∀x∈R, F(x) = Z x

0

e^tf(x+t)dt.

1. Montrer queF est de classeC¹ surRet calculerF⁰(x) pour tout r´eel x.

2. D´eterminer toutes les fonctionsf ∈ C(R,R) telles queF +F⁰ = 0.

Indication : on pourra exprimerf(x) en fonction def x

2ⁿ

.

Exercice 50 (2018, 2017, 2016)

Déterminer toutes les fonctions continues à valeurs dansRvérifiant : Z x

0

(2x−3t)f(t)dt= x² 2 .

Exercice 51 (2015)

Soit l’´equation diff´erentielle (E) : y⁰⁰−2y⁰+y= 1.

1. R´esoudre (E).

2. Soit f une fonction continue sur Rv´erifiant : ∀x∈R, f(x) = 1 + 2 Z x

0

cos(x−t)f(t)dt.

(a) Montrer que la fonctionf est de classe C¹, puis C², puis qu’elle est solution de (E).

(b) Que peut-on conclure ?

Exercice 52 (2019)

Soit l’´equation diff´erentielle (E) :x(x−1)y⁰−y²−y= 0.

1. Chercher les solutions constantes.

2. Effectuer le changement de fonction y= 1/u.

3. Rechercher u(x).

4. En d´eduirey(x). Discuter les intervalles de d´efinition.

Exercice 53 (2013)

Soit l’´equation diff´erentielle (E) :y⁰⁰ = (x²−1)y.

1. Montrer que si y(0) = 0 alors y est impaire et que siy⁰(0) = 0 alors y est paire.

2. Chercher atel quey(x) =e^ax² soit solution de (E).

3. Chercher une équation différentielle vérifiée par u, telle que l’application y définie par y(x) =u(x)e⁻¹²^x² soit solution de (E).

Exprimer toutes les solutions en fonction de A(x) = Z x

e^t²dt.

(20)

Exercice 54 (2013, deux quesrions manquantes) Soit la s´erie enti`ere X

n≥0

(−1)ⁿ

(n!)² xⁿ. On notef(x) sa somme. Soitg(x) =x(f⁰(x))²+ (f(x))². 1. Montrer que f est de classe C^∞ surRet vérifie l’équation différentiellexy⁰⁰+y⁰+y = 0.

2. Montrer queg est de classe C^∞ surRet admet une limite finie en l’infini.

3. Montrer quef est born´ee sur R⁺ et quef⁰ a pour limite 0 en +∞.

Exercice 55 (2014)

Soit f :R^+∗ −→R^+∗ d´erivable et v´erifiant : ∀x >0, f(x)f⁰ 1

x

=x (?) 1. On pose, pour tout x >0,g(x) =f(x)f

1 x

. Montrer queg est constante.

2. En d´eduire toutes les solutions de (?).

Exercice 56 (2017) Soit F(x) =

Z π 0

cos(xsint)dtetIn= Z π

0

(sint)²ⁿdt.

1. Exprimer I_n en fonction de In−1.

2. Soit ft(x) = cos(xsint). Montrer que ftest développable en série entière.

3. Prouver que : ∀x∈R+, ∀t∈[0, π],

+∞

X

n=N+1

(−1)ⁿx²ⁿsin²ⁿ(t) (2n)!

≤e^x−

2N

X

n=0

xⁿ n!. 4. DévelopperF en série entière.

Exercice 57 (2019, une question manquante) Soit f(x) =

Z +∞

0

e^itxa^−t

√t dt,a >1.

1. Montrer quef est continue surR, puisC¹ sur Ret exprimer sa d´eriv´ee.

2. Montrer quef est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1.

3. La r´esoudre.

Pour tout couple (x, y) de r´eels strictement positifs, f(x, y) = (x+y) 1

x+ 1 y

. 1. Montrer les ´egalit´es :f(x, y) = 2 +x

y + y

x = (x+y)² xy . 2. Montrer quef estC² et d´eterminer ses points critiques.

3. Calculer les d´eriv´ees partielles secondes de f.

(21)

Exercice 59 (2015)

Soit I un intervalle deRcontenant 0. Soit f : (x, t)7−→f(x, t) de classe C¹ surI².

1. En effectuant le changement de variable t = ux, montrer que la fonction g d´efinie par g(x) =

Z x 0

f(x, t)dtest de classe C¹ surI, et v´erifier que :

∀x∈I, g⁰(x) = Z x

0

∂f

∂x(x, t)dt+f(x, x).

2. Appliquer le résultat précédent à f définie par f(x, t) = t^x+1 lnt.

Exercice 60 (2015)

Trouver toutes les fonctions f d´erivables de Rdans Rtelles que :f(x+y) =e^xf(y) +e^yf(x).

Exercice 61 (2016, deux questions manquantes) Soit F(x, y) =

Z y

−x

e^x+tf(2x+t)dto`uf est de classe C¹ sur R. Montrer queF est d´efinie surR² et de classeC² sur R².

Exercice 62 (2018, 2017) Soit g(x, y) =x²(1 +y)³+y².

1. Montrer queg est de classe C² sur R² et admet un point critique.

2. Prouver que g admet un minimum local. Est-ce un minimum global ?

3. Soit f une fonction dérivable sur R, de dérivée ne s’annulant qu’en a, f(a) étant un minimum local. On suppose qu’il existe x > atel quef(x)< f(a).

Montrer qu’il existe b∈]a, x[ tel quef(b) =f(a).

Prouver que le minimum local est en fait un minimum global.

4. Un minimum local, pourf admettant un unique point critique, est-il forc´ement un minimum global dans R²?

Exercice 63 (2012)

1. Étudier la continuité de f définie surR² par f(x, y) =x²ln(x⁴+y²) etf(0,0) = 0.

2. L’applicationf est-elleC¹ sur R²? 3. ´Etudier ses extrema locaux.

(22)

Exercice 64 Soit U ={(x, y)∈R²/x+y >0}etg:R^+∗×R−→U,(t, u)7−→(t+u, t−u).

1. Montrer queg r´ealise une bijection deV =R^+∗×R surU, de classeC¹ surV.

2. Soitf de classeC¹ surU à valeurs dansRetF =f◦g. Déterminer les dérivées partielles de f en fonction de celles de F.

3. On considère l’équation aux dérivées partielles : (E) : 2

x+y

∂f

∂x+ 2 x+y

∂f

∂y + 2

2 +x+yf = (2 +x+y) cosx+y 2 . On supoose que f est solution de (E) de classeC¹ surU à valeurs dansR. Déterminer une équation aux dérivées partielles dontF est solution.

4. D´eterminer les solutions de (E) surV.

Exercice 65 (2018)

Soit la fonction f d´efinie sur R² par :f(x, y) = x²y²(x²−y²)

x²+y² si (x, y)6= (0,0) etf(0,0) = 0.

1. f est-elle continue sur R²?

2. Montrer quef est de classeC¹ surR². 3. Calculer ∂²f

∂x∂y(0,0) et ∂²f

∂y∂x(0,0). Conclure.

Exercice 66 (2011) Soit D= R^+∗2

etϕl’application d´efinie surDparϕ(x, y) = x

y, xy

. 1. Montrer queϕest une bijection de D sur lui-mˆeme.

2. Soit f de classeC² surDtelle que : x²∂²f

∂x² −y²∂²f

∂y² = 0 .

En utilisant le changement de variable d´efini par ϕ, d´eterminerf.

Exercice 67 (2017)

Soit D=R^∗×Retϕl’application deD dansD d´efinie parϕ(x, y) = x,y

x

.

1. Montrer queϕest une bijection deDsurD, de classeC¹ et donner sa fonction r´eciproque.

2. Soit f de classeC¹ surD, v´erifiant :x∂f

∂x+y∂f

∂y = 0. On poseg=f◦ϕ⁻¹. Trouver l’équation vérifiée parg et la résoudre.

3. En d´eduiref.