1 Oral (I) de Math´ ematiques se d´ eroulant ` a l’ENS Paris-Saclay

Pr´eparation `a l’oral : partie V

Sujets tomb´ es cette ann´ ee

Table des mati` eres

1 Oral (I) de Math´ematiques se d´eroulant `a l’ENS Paris-Saclay 1 2 Oral (II) de Math´ematiques se d´eroulant `a l’´ecole des Arts et M´etiers 3

Les sujets d’interrogations orales qui suivent portent sur le programme des deux ann´ees de pr´eparation PTSI/PT. Quelques conseils pour les oraux :

1. Pr´esenter bri`evement le type d’exercice sur lequel on travaille pour identifier et mobiliser les connaissances en jeu, entamer le dialogue avec le jury (tr`es appr´eci´e).

2. Inutile d’´ecrire de longues phrases et encore moins de recopier l’´enonc´e ; les justifications et commentaires doivent ˆetre donn´es au moment o`u l’on est interrog´e ;

3. Lorsqu’une indication est donn´ee pour aider le candidat, l’´ecouter et r´eagir `a celle-ci ; la passivit´e ou l’obstination dans une voie infructueuse sont fortement d´econseill´ees.

1 Oral (I) de Math´ ematiques se d´ eroulant ` a l’ENS Paris-Saclay

Exercice 1 (2021, Mines T´el´ecom) 1. Soit r1 etr2 deux r´eflexions deR³.

(a) Donner les ´el´ements propres der₁. Sa matrice associ´ee est-elle diagonalisable ? On noteP₁ etP₂ les espaces propres der₁ etr₂ (resp.) associ´es `a la valeur propre 1.

(b) Que peut-on dire der =r1◦r2?

(c) Soitα l’angle entreP₁ etP₂. Montrer quer est une rotation d’angle 2α.

2. Soit f :x7−→ cos x^1/3 x^2/3 .

(a) ´Etudier l’int´egrabilit´e def sur ]0,1[ puis sur ]0,+∞[.

(b) f admet-elle des primitives ? Les donner.

(c) Donner alors la nature de Z +∞

1

f(x)dx.

(d) Soitn∈Net x∈[n, n+ 1]. Montrer que|f(x)−f(n)| ≤h 1

n^4/3 + 1

3 2n^5/3

i

· |x−n|.

Exercice 2 (2021, trois questions manquantes) Soit f(x) =

Z π/2 0

(sin(t))^xdt.

1. Montrer que f est d´efinie sur R+, donner la valeur de f(0), puis montrer que f est d´ecroissante et positive.

2. Montrer que (x+ 2)f(x+ 2) = (x+ 1)f(x).

3. On poseGn= (n+ 2)f(n+ 2)−(n+ 1)f(n), n∈N. ´Etudier la suite (Gn).

Cours : Quelles sont les caract´eristiques g´eom´etriques des endomorphismes deO(3) ?

Exercice 3 (2021, Mines T´el´ecom)

1. Des cˆable ´electrique ont chacun la probabilit´e de transf´erer le bit qu’ils re¸coivent. SoitX_n la variable al´eatoire qui correspond au bit dun−i`eme cˆable.Calculer, pour (i, j)∈ {0,1}², P(Xn+1 =j|X_n=i).

(a) Trouver P(X_n+1= 1) en fonction dep, P(X_n= 1) et P(X_n= 0).

(b) SoitV_n=

P(Xn= 1) P(X_n= 0)

. Trouver une relation entre V_n+1 etV_n. (c) ExprimerVn en fonction dep,netV0.

2. Soit un espace euclidienE tel que dim(E) =netB une BON de E.

(a) On noteX etY les matrices colonnes des coordonn´ees des vecteurs xety dans B. Donner l’expression matricielle du produit scalaire dex ety.

(b) Soitf ∈L(E) de matrice Adans B etf^∗ de matrice A^T dans B. Montrer que (f(x)|y) = (x|f^∗(y)).

(c) D´efinir un projecteur orthogonal p de E.

(d) Montrer que (p(x)|y) = (p(x)|p(y)).

Exercice 4 (2021, tronqu´e)

1. Soit F : [0,1]−→R continue sur [0,1] etC¹ sur ]0,1[.

(a) Prouver que l’int´egrale Z 1

0

tF(t)F⁰(t)dt converge.

(b) Montrer que Z 1

0

tF(t)F⁰(t)dt≥ −1 2

Z 1 0

F²(t)dt.

2. Soit f : [0,1]−→R continue sur [0,1]. Pour x >0, on pose F(x) = 1 x

Z x 0

f(t)t..

Montrer queF se prolonge en une fonction continue sur [0,1].

Cours : D´efinition et caract´erisation d’une isom´etrie ; lien avec une matrice orthogonale ; en

Exercice 5 (2021, Mines T´el´ecom)

1. On pose, ∀x∈]−1,+inf ty[, f(x) = Z +∞

1

e^−t x+tdt.

(a) Montrer quef est bien d´efinie sur ]−1,+∞[.

(b) Montrer quef est C¹ sur ]−1,+∞[.

(c) Trouver une ´equation diff´erentielle v´erifi´ee parf. La r´esoudre.

2. Soit B =

0n A I_n 0_n

. Calculer det(B).

2 Oral (II) de Math´ ematiques se d´ eroulant ` a l’´ ecole des Arts et M´ etiers

Exercice 1 (2021)

Soit le d´eterminant ∆ =

x+λ y+λ · · · y+λ z+λ . .. . .. ...

... . .. . .. y+λ z+λ · · · z+λ x+λ

, o`u (x, y, z, λ)∈R⁴.

1. Montrer que l’on peut mettreD sous la forme D=aλ+b.

2. Calculer Dlorsquey6=z.

3. Calculer Dlorsquey=z.

Exercice 2 (2021)

Soit la matrice A=









1 a b c

0 1 0 0

0 −1 2 0

0 1 0 2









, o`u (a, b, c)∈R³.

1. `A quelle condition sur (a, b, c)∈R³ la matriceA est-elle diagonalisable ?

2. Sous cette condition, d´eterminerαnetβnen fonction den∈Npour queAⁿ=αnI4+βnA.

Exercice 3 (2021)

Soit (E,(·|·)) un espace euclidien de dimension 4 et B= (e₁, e₂, e₃, e₄) une base orthonorm´ee de E. Soit u∈ L(E) de trace nulle etA sa matrice dans la baseB.

1. Montrer que

4

X

k=1

(u(e_k)|e_k) = 0.

En d´eduire qu’il existe (i, j)∈ 1,42

tel que (u(e_i)|e_i)≥0 et (u(e_j)|e_j)≤0.

2. En consid´erant la fonctionf :t7−→(u(tei+ (1−t)ej)|te_i+ (1−t)ej), montrer qu’il existe un vecteur unitaire w tel que (u(w)|w) = 0.

3. En d´eduire l’existence d’une base orthonorm´eeB⁰ telle que le coefficient de la premi`ere ligne et la premi`ere colonne de la matrice de udans cette base soit nul.

4. Prouver enfin qu’il existe une base orthonorm´eeB⁰⁰ telle que les coefficients diagonaux de la matrice deu dans cette base soient tous nuls.

Exercice 4 (2021, une question manquante)

Soit la surface (S) d’´equation cart´esienne (x−2)²+y²+z²= 1.

1. Donner la nature de (S).

2. Soit Aλ = (0,0, λ) et une droiteDparall`ele au plan (xOy) et passant par Aλ.

Si cette droite a un seul point de contact avec (S), montrer qu’elle est tangente `a (S).

3. Soit (Σ) la surface form´ee par les droites pr´ec´edentes en faisant varierλ.

Donner une ´equation de (Σ).

Exercice 5 (2021, reconstitu´e)

1. Calculer le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere Xn<sup>2</sup>+n+ 1 n! t<sup>n</sup>. 2. Calculer, `a l’aide de fonctions usuelles, la sommeS(t) =

+∞

X

n=0

n²+n+ 1 n! tⁿ.

3. On consid`ere une variable al´eatoire `a valeurs dans N de s´erie g´en´eratrice d´efinie par G_X(t) =λS(t).

(a) Trouverλ.

(b) CalculerP(X = 1) etP(X = 2).

(c) Calculer l’esp´erance et la variance deX.

Exercice 6 (2021, deux questions manquantes)

Soit E un R−espace vectoriel de dimension 3 etf un endomorphisme de E v´erifiant det(f) = 0 et Tr(f) = 1.

On suppose, de plus, que Ker(f)⊂Im(f).

1. D´eterminer les dimensions de Ker(f) et Im(f).

Exercice 7 (2021, une question manquante)

1. Soit (u_n)n∈Nune suite `a termes r´eels strictement positifs.

Montrer queX

u_n etX u_n

1 +u_n sont de mˆeme nature.

2. Soit F :x7−→

Z 1 0

ln(1 +xt) t(1 +t) dt.

(a) Montrer queF est C¹ surR+. (b) Montrer queF(x)∼

0 xln(2).

Exercice 8 (2021, une question manquante) Soit C_n=

n−1

Y

k=1

cos kπ

n

.

1. Calculer C3,C4,C6. Que dire quand nest pair ? 2. ´Etude du cas o`un est impair (n= 2p+ 1).

(a) Montrer queC_2p+1 = 1 2^2pe^−ipπ

2p

Y

k=1

e^2p+12ikπ + 1 .

(b) On pose u_k,2p+1 =e^2p+12ikπ + 1. Trouver le polynˆome unitaire Q_k dont les racines sont lesu_k,2p+1,k∈

0,2p

, sans faire apparaˆıtre les u_k,2p+1. (c) Montrer que

2p

Y

k=1

(−u_k,2p+1) =−2. En d´eduire la valeur de C_2p+1.

Exercice 9 (2021)

Soit la courbe C d’´equation 1

4x²+y² = 1 et le point C(−2,0).

1. D´eterminer un param´etrage de C.

2. Soit A etB deux points de C.

D´eterminer les coordonn´ees deA etB pour que l’aire du triangleABC soit maximale.

Exercice 10 (2021) 1. Montrer que :H_n=

n

X

k=1

1

k ∼lnn.

2. On dispose de deux urnes A et B contenant chacune n boules num´erot´ees de 1 `a n. On tire une boule dans A et on note ason num´ero, on tire une boule dans B et on notebson num´ero. SoitEn l’´ev´enement(( adivise b )). Calculer P(E3) et P(E4).

3. Calculer P(E_n).

4. En donner un ´equivalent et la limite lorsquen→+∞.

Exercice 11 (2021)

Soit E un R-espace vectoriel de dimension netf etg deux endomorphismes deE tels que : f +g=id_E et rg(f) + rg(g)≤n.

1. Montrer que Kergest inclus dans Imf puis montrer l’´egalit´e. Que peut-on dire deg◦f? 2. Montrer quef etgsont des projecteurs de E.

Exercice 12 (2021)

Soit n∈ N^∗, M ∈ M_n(R) une matrice antisym´etrique et orthogonale et f_M l’endomorphisme canoniquement associ´e `a M.

1. Calculer M² et en d´eduire quen ne peut pas ˆetre impair.

2. SoitU un vecteur non nul deRⁿ. Prouver queU etM U sont orthogonaux puis d´eterminer l’existence d’un unique plan P_U contenantU et stable parf_M.

3. Sin= 4, montrer qu’il existe une base orthonormale dans laquelle la matrice def_M est









0 −1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0







 .

Exercice 13 (2021)

Soit P la parabole d’´equation y² = 2px. On note T l’ensemble des centres des cercles tangents

`

a P et passant par le point F(p/2,0). Soit A(a, b) un point de P et N la normale en ce point.

On note I le centre du cercle passant par F et tangent `a P en A.

1. Montrer que tous les points de N ont des coordonn´ees de la forme (a−λ.p, b(1 +λ)), λ appartenant `a R. D´eterminer les coordonn´ees deI.

2. ´Etudier la courbe param´etr´ee, lieu des points I.

Exercice 14 (2021)

Soit C(a₀, a₁, a₂, a₃, a₄) =

















a₀ a₁ a₂ a₃ a₄ a4 a0 a1 a2 a3

a3 a4 a0 a1 a2

a₂ a₃ a₄ a₀ a₁ a1 a2 a3 a4 a0

a1 a2 a3 a4 a0















 , K=













0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0













et ω=e^2iπ/5.

1. Montrer queC(a0, a1, a2, a3, a4) =K×C(a4, a0, a1, a2, a3) puis queC(a0, a1, a2, a3, a4) =

4

X

j=0

ajK^j. 2. D´eterminer les valeurs propres deK.

3. Montrer queC(a , a , a , a , a ) est diagonalisable.

Exercice 15 (2021, deux questions manquantes)

Soit X et Y deux variables al´eatoires suivant la mˆeme loi g´eom´etrique de param`etre p. Soit T = min(X, Y),Z =|X−Y|etQ= 1/T.

1. Donner la loi de T. Montrer l’existence de l’esp´erance de 1/T et la calculer.

2. Donner la loi de Z et son esp´erance.

Exercice 16 (2021) Soit M(a, b) =

3a−2b −6a+ 6b+ 3 a−b −2a+ 3b+ 1

.

1. Montrer queM(a, b) est semblable `a

a+ 1 1

0 b

. 2. ´Etudier la diagonalisabilit´e deM(a, b).

3. On suppose que a etb sont deux variables al´eatoires ind´ependantes suivant la mˆeme loi g´eom´etrique de param`etrep. Calculer la probabilit´e pour queM(a, b) soit diagonalisable.

Exercice 17 (2021)

Soitr ∈ L(E) d´efini parr=p+q−q◦po`upetqsont deux projecteurs deE tels quep◦q = 0.

1. Montrer quer est un projecteur.

2. Montrer que Ker(r) = Ker(p) ∩Ker(q).

3. Montrer que Im(r) = Im(p) + Im (q).

Exercice 18 (2021, une question manquante) 1. ´Etudier la convergence de I =

Z +∞

0

dx 1 +x³. 2. Montrer par un changement de variable que I =

Z +∞

0

x 1 +x³dx.

3. Calculer I.

Exercice 19 (2021, une question manquante) Soit f :R−→R⁺, x7−→e^−x2.

1. Montrer que pour tout x∈R,f⁽ⁿ⁾(x) =e^−x2P_n(x) o`uP_n est un polynˆome de R[X] dont on pr´ecisera le degr´e, la parit´e et le coefficient dominant.

2. D´eterminer une relation entre Pn+1, Pn etPn−1.

On pourra s’int´eresser `a l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee parf :f⁰(x) + 2xf(x) = 0.

3. Montrer queP_n⁰ =−2nP_n−1 pour n≥1.

Exercice 20 (2021)

Soit f continue sur Rv´erifiant : (c) :∀x∈R, f(x) + Z x

0

(x−t)f(t)dt= 1.

1. Montrer quef est de classeC¹.

2. Exprimer f⁰ puis montrer quef est de classe C².

3. Trouver une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 2, not´ee (E), v´erifi´ee parf. 4. R´esoudre (E) puis trouver toutes les solutions de (c).

Exercice 21 : (2021) Soit u(n) =√

n+a√

n+ 1 +b√

n+ 2, o`u (a, b)∈R².

1. D´eterminer les valeurs deaetb pour lesquelles la s´erie X

u(n) converge.

2. Pour ces valeurs, calculer

+∞

X

n=0

u(n).

3. Montrer que l’int´egrale Z +∞

0

u(x)dx converge et la calculer.

Exercice 22 (2021)

Soit E=Rn[X] etϕ l’application d´efinie surE parϕ(P) = ((X²+ 1)P)⁰⁰. 1. Montrer queϕest un endomorphisme de E.

2. Donner la matrice de ϕdans la base canonique de E.

3. ϕest-elle bijective ? 4. ϕest-elle diagonalisable ?

5. On note λ0 < λ1 < . . . < λn les valeurs propres de ϕetPi un polynˆome non nul tel que ϕ(P_i) =λ_iP_i. Montrer que deg(P_i) =i.

Exercice 23 (2021, tronqu´e) Pour α >0 et n∈N^∗, on poseu_n=

n^αsin

1 n^α

n²

. 1. ´Etudier la limite de (u_n) suivant les valeurs de α.

2. ´Etudier la nature deX

un suivant les valeurs deα.

Exercice 24 : (2021)

Soit (L_n) de terme g´en´eral L_n=

n

Y

k=1

2 1 +t^1/2k. 1. D´eterminer la limite de sh (x)

x en 0.

2. Quelle est la nature de (Ln) si t= 0 ? Et si t= 1.

3. Pour t >0, montrer que ln 2

1 +t^1/2k

+∞∼ 1

2^k+1 ln(t).

En d´eduire la nature de (Ln) sit >0.

4. Exprimer sh (2a) en fonction de sh (a) et ch (a).

5. Montrer que∀n∈N^∗, ln(t) sh (ln(t)) =

1 2ⁿln(t) sh ₂¹nln(t)

n

Y

k=1

1 ch ₂¹n ln(t). 6. En d´eduire la limite de (L_n).