Les candidats sont pri´es de mentionner de fa¸con apparente sur la premi`ere page de la copie : MATH´EMATIQUES 1-Fili`ere MP

A 2003 Math MP 1

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS´´ EES.

ECOLES NATIONALES SUP´´ ERIEURES DE L’A´ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,

DE TECHNIQUES AVANC´EES, DES T´EL´ECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-´ETIENNE, DES MINES

DE NANCY,

DES T´EL´ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.

ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`´ ere TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003 EPREUVE DE MATH´´ EMATIQUES

PREMI`ERE ´EPREUVE Fili`ere MP

(Dur´ee de l’´epreuve : 3 heures)

(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis `a la disposition des concours :

Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pri´es de mentionner de fa¸con apparente sur la premi`ere page de la copie :

MATH´EMATIQUES 1-Fili`ere MP.

Cet ´enonc´e comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.

Premi`ere partie

Le but de cette premi`ere partie est d’´etablir des r´esultats qui seront utiles dans la seconde partie.

Etant donn´´ e un entiernstrictement positif (n≥1),soientS_netI_n les deux r´eels d´efinis par les relations ci-dessous :

S_n=

n−1

i=0



ⁿ⁻¹

j=0

1 i+j+ 1



 ; I_n = _n

0

dx _n

0

dy x+y+ 1.

Int´egraleI_n.

1. Calculer, pour toute valeur de l’entier strictement positifn, l’int´egraleI_n. 2. D´eterminer les constantes A, B,C et D figurant dans le d´eveloppement limit´e de la fonctionn−→I_n `a l’infini qui s’´ecrit sous la forme suivante :

I_n=A n+B lnn+C+D n +o

1 n

. SommeS_n :

3. ´Etablir un encadrement du r´eelS_n `a l’aide deI_n.

4. En d´eduire que la sommeS_n est ´equivalente `a l’infini `a 2n ln 2.

SoitJ_n l’int´egrale suivante :

J_n = ₁

0 n−1

k=0

x^k ₂

dx.

Int´egraleJ_n :

5. D´eterminer la relation qui lie l’int´egraleJ_nau r´eelS_n. En d´eduire, lorsque l’entierncroˆıt ind´efiniment, un ´equivalent deJ_n `a l’infini.

Seconde partie

SoitEun espace pr´ehilbertien r´eel ; soit (x, y)−→(x|y) le produit scalaire de cet espace. La norme d’un vecteurxdeE, d´eduite de ce produit scalaire est not´eex.

Etant donn´´ e un r´eelµsup´erieur ou ´egal `a 1 (µ≥1), une suite denvecteurs d’un espace euclidienE_n, de dimension finien,x₁, x₂, ..., x_nest diteµ-presque orthogonale (en abr´eg´eµ-p.o.) si et seulement si :

i. les vecteursx₁, x₂, ..., x_n sont de norme unit´e,

ii. pour toute suite finie de n r´eels a₁, a₂, ..., a_n la norme du vecteur _n

i=1a_i x_i v´erifie la double in´egalit´e suivante : 1

µ n i=1

(a_i)²≤

n i=1

a_i x_i

2

≤µ n i=1

(a_i)².

Plus g´en´eralement : une suite d´enombrable (x_k)_k∈N de vecteurs unitaires d’un espace pr´ehilbertien r´eel est dite presque orthogonale (p. o.), si et seule- ment s’il existe un r´eel µ ≥1 tel que, pour tout entier n strictement positif, pour toute suite extraite x_k1, x_k2, ..., x_kn de la suite (x_k)_k∈N et pour toute suite finie denr´eels a₁, a₂, ..., a_n,la norme du vecteur_n

i=1a_i x_ki v´erifie la relation suivante :

1 µ

n i=1

(a_i)²≤

n i=1

a_i x_ki

2

≤µ n i=1

(a_i)².

Remarque : la suite des indicesk₁, k₂, ..., k_nde la suite extraitex_k1, x_k2, ..., x_kn, est une suite monotone strictement croissantek₁< k₂< ... < k_n.

Premi`eres propri´et´es :

SoitE_n un espace euclidien de dimensionn.

6. D´emontrer que, pour qu’une suite de n vecteurs x₁, x₂, ..., x_n soit une base orthonorm´ee deE_n, il faut et il suffit qu’elle soit une suite 1-presque orthogonale.

7. D´emontrer que, si une suite de n vecteurs x₁, x₂, ..., x_n de E_n est µ-presque orthogonale, la suite est libre.

Un exemple :

Soit E l’espace vectoriel des fonctions r´eelles d´efinies et continues sur le segment [0, 1] ; le produit scalaire de deux fonctionsf et gdeE est d´efini par la relation suivante :

(f |g) = ₁

0 f(x) g(x) dx.

Soit (P_n)_n∈Nla suite des fonctions deE d´efinies par la relation suivante : P_n(x) =√

2n+ 1xⁿ.

8. D´emontrer que, bien que la suite des fonctions P_n de norme unit´e soit libre, la suite (P_n)_n∈Nn’est pas presque orthogonale.

Soit (V₁, V₂, ..., V_n) une suite libre de n vecteurs ind´ependants unitaires d’un espace euclidien E_n de dimension n. Soit M la matrice carr´ee d’ordre n dont les ´el´ementsm_{i j} sont ´egaux aux produits scalaires des vecteursV_i etV_j.

M = (m_{i j}) ; m_{i j} = (V_i|V_j).

Etant donn´´ ee une suite denr´eelsa₁, a₂, ..., a_n,soitAle vecteur deRⁿ de coordonn´eesa₁, a₂, ..., a_n et W le vecteur ´egal `a la combinaison lin´eaire des vecteurs V₁, V₂, ..., V_n avec les coefficients a₁, a₂, ..., a_n :

A=





 a₁ a₂ ...

a_n





 ; W = n i=1

a_i V_i.

La suite de vecteurs(V₁, V₂, ..., V_n)estµ-presque orthogonale : 9. D´emontrer l’existence d’une matrice carr´eeP orthogonale et d’une ma- trice diagonale D dont tous les ´el´ements de la diagonale sont diff´erents de 0, telles que :

M =^tP.D.P.

10. ´Etablir la relation qui lie la norme du vecteur W au r´eel^tA.M.A; ^tA d´esigne la matrice transpos´ee de la matrice colonneA.

11. En d´eduire que les ´el´ements de la matriceD sont strictement positifs, puis en d´eduire un encadrement de la norme du vecteurW `a l’aide des valeurs propres de la matrice M et de la norme du vecteur B ´egal `a l’image par la matriceP du vecteurA(B=P.A).

12. En d´eduire que la suite (V₁, V₂, ..., V_n) est µ-presque orthogonale ; pr´eciser des valeurs possibles pour le r´eelµ.

Soit maintenant (V_n)_n≥1 une suite d´enombrable de vecteurs unitaires d’un espace pr´ehilbertien r´eelE.

Une condition suffisante :

13. D´emontrer que, s’il existe un r´eel α,strictement sup´erieur `a 3 (α >3), tel que le produit scalaire de deux vecteursV<sub>p</sub>etV<sub>q</sub>soit major´e en valeur absolue par le r´eelα<sup>−|p−q|</sup>, c’est-`a-dire :

|(V_p|V_q)| ≤ 1 α^|p−q|, la suite (V_n)_n≥1est presque orthogonale.

Deux questions pr´eliminaires :

14. Soit f la fonction d´efinie dans le quart de plan [1,∞[×[1,∞[ par la relation suivante :

f(x, y) =

√2y+ 1√ 2xy+ 1 y+xy+ 1 .

SoitGla fonction, d´efinie sur la demi-droite [1,∞[, par la relation suivante :

G(x) = lim

y−→∞f(x, y).

Etudier les variations des six fonctions d´´ efinies sur la demi-droite ferm´ee [1,∞[ par les relations suivantes :

x −→ f(x, 1) ; y−→f(1, y) ; G : x−→ lim

y−→∞f(x, y) ;

y −→ lim

x−→∞f(x, y) ; f_y: x−→f(x, y) ; f_x: y−→f(x, y).

15. Soitγ un r´eel strictement compris entre 0 et 1 (0< γ <1). D´emontrer l’existence d’une fonctionϕ_γ,d´efinie sur la demi-droite ferm´ee [1,∞[,telle que, pour tout r´eely de la demi-droite [1,∞[,la relation ci-dessous soit v´erifi´ee :

f(ϕ_γ(y), y) =γ.

D´emontrer l’existence d’un r´eel β tel que la fonction G, d´efinie ci-dessus, prenne la valeurγ en ce point :G(β) =γ.D´emontrer que ce r´eelβ est stricte- ment sup´erieur `a 1 et est un minorant de l’image parϕ_γde la demi-droite ferm´ee [1,∞[.

Soit (P_ki) une suite extraite de la suite des polynˆomes consid´er´es `a la question 8. L’application i −→k_i est une suite strictement croissante. Pour simplifier les notations, soitQ_i le polynˆomeP_ki :

Q_i=P_ki. Etude de la suite´ (Q_i)_i≥0 :

16. On choisit une suite (k_i)_i≥0 telle que la suite (Q_i)_i≥0 soit presque or- thogonale.

D´emontrer que le r´eelµentrant dans la d´efinition de la presque orthogonalit´e est strictement sup´erieur `a 1 (µ >1).

D´emontrer qu’il existe un r´eelβ, strictement sup´erieur `a 1 (β >1),tel que, pour tout indicei, les indicesk_i etk_i+1 soient li´es par la relation suivante :

k_i+1 ≥β k_i. FIN DU PROBL`EME