Les candidats sont pri´es de mentionner de fa¸con apparente sur la premi`ere page de la copie : MATH´EMATIQUES 2-Fili`ere MP

A 2003 Math MP 2

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS´´ EES.

ECOLES NATIONALES SUP´´ ERIEURES DE L’A´ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,

DE TECHNIQUES AVANC´EES, DES T´EL´ECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-´ETIENNE, DES MINES

DE NANCY,

DES T´EL´ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.

ECOLE POLYTECHNIQUE (Fili`´ ere TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003 EPREUVE DE MATH´´ EMATIQUES

DEUXI`EME ´EPREUVE Fili`ere MP

(Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures)

(L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis `a la disposition des concours :

Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pri´es de mentionner de fa¸con apparente sur la premi`ere page de la copie :

MATH´EMATIQUES 2-Fili`ere MP.

Cet ´enonc´e comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´e `a prendre.

L’objet du probl`eme est l’´etude de m´ethodes analytiques (m´ethodes du gra- dient, du Lagrangien) pour r´esoudre l’´equation lin´eaireA.x =b o`u A est une matrice sym´etrique positive, inversible,bun vecteur donn´e deRⁿetxun vecteur inconnu deRⁿ ou d’un sous-espace vectorielF deRⁿ.

Dans tout le probl`eme, l’entiernest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 (n≥2) ; la base canonique deRⁿ est not´eee₁, e₂, ..., e_n ; le produit scalaire de deux vecteursxety deRⁿ est not´e (x|y). La norme d’un vecteurxest not´ee x.

Les matrices consid´er´ees sont r´eelles ; l’espace vectoriel des matrices carr´ees r´eelles d’ordre n est not´e M_n(R). Il est admis que l’application qui, `a une matriceM deM_n(R), associe la borne sup´erieureN(M) des normes des images parM des vecteurs unitaires deRⁿ est une norme :

N(M) = sup

x=1M.x.

Une matrice sym´etriqueAest dite positive lorsque, pour tout vecteurxde Rⁿ, le produit scalaire des vecteursA.xetxest positif ou nul (A.x|x)≥0.

Premi`ere partie

Le but de cette partie est la r´esolution de l’´equation A.x=b o`u A est une matrice carr´ee d’ordre n sym´etrique positive et inversible, b un vecteur donn´e deRⁿ etxun vecteur inconnu.

R´esultats pr´eliminaires :

SoitM une matrice carr´ee sym´etrique d’ordren.

1. D´emontrer qu’il existe un plus grand r´eelpet un plus petit r´eelqtels que, pour tout vecteur x deRⁿ, le produit scalaire (M.x|x) v´erifie l’encadrement suivant :

p x²≤(M.x|x)≤q x².

Pr´eciser ces deux r´eels pet q en fonction des valeurs propres de la matrice M.

2. Montrer que, pour que cette matriceM soit inversible et positive, il faut et il suffit que toutes ses valeurs propres soient strictement positives.

3. D´emontrer que la normeN(M) d’une matrice M sym´etrique est ´egale `a la plus grande valeur absolue des valeurs propres λ_i (1≤i≤n) de la matrice M :

N(M) = sup

1≤i≤n|λ_i|.

Etant donn´´ es la matrice carr´ee, d’ordren,sym´etrique positiveAet le vecteur b, soitαun r´eel strictement positif strictement major´e par 2/λ_n(0< α <2/λ_n) o`uλ_n est la plus grande valeur propre de la matriceA ; soit

x^k

k∈N la suite d´efinie par un premier vecteurx⁰choisi arbitrairement dansRⁿet par la relation de r´ecurrence suivante : pour tout entier naturel k,

x^k+1=x^k+α

b−A.x^k . Etude de la suite´

x^k

k∈N : 4. D´emontrer que la suite

x^k

k∈N est une suite convergente de limite le vecteur zde l’espaceRⁿ,solution de l’´equationA.x=b.

Soitf la fonction r´eelle, d´efinie dansRⁿ, par la relation : f(x) = 1

2(A.x|x)−(b|x).

Minimum def :

5. Calcul pr´eparatoire : d´emontrer que l’expression f(x+u)−f(x) se calcule en fonction des expressions (A.u|u),(A.x|u) et (b|u).

6. D´emontrer que la fonctionf : x−→f(x) admet des d´eriv´ees partielles

∂x∂fk (1≤k≤n) :

x−→ ∂f

∂x_k(x).

Etant donn´´ e un vecteurx deRⁿ,soit g(x) le vecteur de Rⁿ dont les coor- donn´ees, dans la base canonique de Rⁿ, sont ´egales aux valeurs des d´eriv´ees partielles de la fonctionf en ce point x:

g(x) =

n

k=1

∂f

∂x_k(x) e_k.

7. Exprimer ce vecteurg(x) au moyen de la matriceAet des vecteursxet b.

Etant donn´´ es deux vecteursxetudeRⁿ, soitI(x, u) l’expression suivante : I(x, u) =f(x+u)−f(x)−(g(x)|u).

8. D´emontrer que, pour tout vecteur x donn´e, il existe deux constantes positives ou nulles r et s telles que, pour tout vecteur u, I(x, u) v´erifie la relation suivante :

r u²≤I(x, u)≤s u².

9. D´emontrer que, pour que la fonctionf admette enzun minimum, il faut et il suffit que le vecteurz v´erifie la relationA.z=b.

Recherche du minimum def :

Soitαun r´eel compris strictement entre 0 et 2/λ_n (0< α <2/λ_n).

10. ´Etant donn´e un vecteur x de Rⁿ, d´eterminer le signe de l’expression suivante

f(x−α g(x))−f(x).

11. Proposer, `a partir de ce r´esultat, une m´ethode pour construire une suite de vecteurs

y^k

k∈Nqui converge vers le vecteurzen lequel la fonctionf atteint son minimum ; la justification de la convergence n’est pas demand´ee.

Seconde partie

Le but de cette partie est de rechercher un vecteurxappartenant `a un sous- espace vectoriel F de R<sup>n</sup> qui v´erifie l’´equationA.x = b o`u A est une matrice carr´ee d’ordrensym´etrique positive et inversible. Le sous-espace vectorielF de Rⁿ est suppos´e ˆetre le noyau d’une matriceB appartenant `aM_n(R) ; ce noyau est suppos´e diff´erent de tout l’espaceRⁿ (kerB=Rⁿ).

L’´equivalence, ´etablie dans la premi`ere partie, entre d’une part r´esoudre l’´equation A.x =b et d’autre part chercher le vecteurz rendant minimum la fonctionf d´efinie surRⁿ par la relation suivante

f(x) = 1

2(A.x|x)−(b|x), conduit `a se poser le probl`eme suivant :

SoitB une matrice appartenant `a M<sub>n</sub>(R) dont le noyau F est diff´erent de R<sup>n</sup> ; rechercher un vecteurxappartenant `a F rendant minimum la restriction de la fonction f au sous-espace vectorielF.

Existence du minimum de la fonctionf dansF :

12. D´emontrer que la fonctionf poss`ede la propri´et´e suivante : pour tout r´eelc,il existe un r´eelρ,tel que, pour tout vecteurxdeF de norme sup´erieure ou ´egale `a ρ(x ≥ρ), le r´eelf(x) est sup´erieur ou ´egal `ac (f(x)≥c).

13. En d´eduire que, siyest un point deF, il existe un r´eelrtel que pour tout vecteur xdeF de norme sup´erieure ou ´egale `a r(x ≥r), f(x) est sup´erieur ou ´egal `a f(y).

14. D´emontrer `a l’aide du r´esultat pr´ec´edent qu’il existe au moins un vecteur xdu sous-espace vectorielF en lequel la restriction de la fonctionf `a ce sous- espaceF atteint un minimum.

15. D´emontrer qu’il existe un seul vecteurxen lequel la fonctionf atteint son minimum dansF, en admettant que la fonctionf est convexe ; c’est-`a-dire : pour tout couple (x, y)∈R<sup>n</sup>×R<sup>n</sup> de vecteurs et tout r´eel λappartenant `a l’intervalle ouvert ]0, 1[,les valeurs prises par la fonctionf v´erifient la relation suivante :

f(λ x+ (1−λ) y)≤λ f(x) + (1−λ) f(y),

o`u l’in´egalit´e est stricte si et seulement si les vecteursxet y sont diff´erents.

Propri´et´es du pointx:

16. D´emontrer que, pour qu’un vecteurydeF rende minimum la restriction de la fonctionfau sous-espace vectorielF, il faut et il suffit que le vecteurAy−b soit orthogonal `a ce sous-espaceF deRⁿ.

17. D´emontrer que la valeur prise par la fonctionf au pointx,en lequel elle atteint son minimum dansF, est donn´ee par la relation suivante :

f(x) =−1

2(Ax|x) =−1 2(b|x).

Le LagrangienL:

SoitLla fonction d´efinie sur l’espace produitRⁿ×Rⁿpar la relation suivante :

L(x, y) =f(x) + (y|Bx).

Un point (x^∗, y^∗) de l’espace produitRⁿ×Rⁿest dit point selle de la fonction L, s’il poss`ede la propri´et´e suivante : quel que soit le point (x, y) de l’espace produitRⁿ×Rⁿ,les valeurs prises par la fonctionLaux points (x^∗, y),(x^∗, y^∗) et (x, y^∗) v´erifient la double in´egalit´e suivante :

L(x^∗, y)≤L(x^∗, y^∗)≤L(x, y^∗).

Propri´et´es du Lagrangien et de ses points selles : 18. ´Etablir l’in´egalit´e suivante :

y∈Rsupⁿ

x∈RinfⁿL(x, y)

≤ inf

x∈Rⁿ

y∈RsupⁿL(x, y)

.

Il est suppos´e dans toute la suite qu’il existe un point selle (x^∗, y^∗) de la fonctionL.

19. D´emontrer que la valeur prise par la fonctionLen un point selle (x^∗, y^∗) v´erifie les ´egalit´es suivantes :

L(x^∗, y^∗) = sup

y∈Rⁿ

x∈RinfⁿL(x, y)

= inf

x∈Rⁿ

y∈RsupⁿL(x, y)

.

20. D´emontrer, pour tout point (x₁, y₁) deRⁿ×Rⁿ,les ´equivalences suiv- antes :

∀y ∈ Rⁿ, L(x₁, y)≤L(x₁, y₁)⇐⇒Bx₁= 0.

∀x ∈ Rⁿ, L(x₁, y₁)≤L(x, y₁)⇐⇒Ax₁+^tBy₁=b.

21. Soientx₁ un vecteur du sous-espace vectorielF ety₁ un vecteur deRⁿ. D´emontrer qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour que le couple (x₁, y₁)

soit un point selle du Lagrangien L est que le vecteur x₁ r´ealise le minimum de la restriction de la fonction f `a F et que les vecteurs x₁ et y₁ v´erifient la relation suivante :

Ax₁+^tBy₁=b.

La suite logique est la recherche d’un point selle du LagrangienL.

Algorithme d’Uzawa: soit toujours (x^∗, y^∗) un point selle, suppos´e ex- ister ; ´etant donn´es un vecteury⁰ arbitraire deRⁿ,une suite (ρ_m)_m∈N de r´eels, qui seront pr´ecis´es plus loin, soient (x^m)_m∈N et (y^m)_m∈N les deux suites de vecteurs d´efinies par les conditions suivantes :

•Pour tout entier naturelm, le vecteurx^mest le vecteur qui rend minimum la fonction x−→L(x, y^m).

• Pour tout entier naturel m, le vecteur y^m+1 est d´efini par la relation suivante :

y^m+1=y^m+ρ_mBx^m.

Existence des deux suites(x^m)_m∈N et(y^m)_m∈N :

22. D´emontrer que les conditions ´enonc´ees permettent de d´eterminer tous les termes de ces deux suites (x^m)_m∈N et (y^m)_m∈N et que les vecteurs de ces suites v´erifient, pour tout entier naturelm, les relations suivantes :

A(x^m−x^∗) +^tB(y^m−y^∗) = 0, y^m+1−y^∗=y^m−y^∗+ρ_m B(x^m−x^∗). o`ux^∗ et y^∗ sont les deux vecteurs d’un point selle deL.

23. En d´eduire l’´egalit´e ci-dessous :

y^m+1−y^∗2=y^m−y^∗2−2ρ_m (A(x^m−x^∗)|(x^m−x^∗))+(ρ_m)² B(x^m−x^∗)². Convergence de la suite num´erique de terme g´en´eral y^m−y^∗2, m∈N:

24. Un r´esultat pr´eliminaire : d´emontrer l’existence d’une matrice carr´ee d’ordrensym´etrique positive inversible, not´eeA^1/2,telle que :

A^1/2₂

=A.

SoitC la matrice d´efinie par la relation suivante : C=A^−1/2.^tB.B.A^−1/2,

o`u la matriceA^−1/2 est la matrice inverse de la matriceA^1/2.

25. D´emontrer que la matriceCest une matrice sym´etrique positive. ´Etablir qu’il existe une constanteν telle que, pour tout vecteurudeRⁿ, l’in´egalit´e ci- dessous soit vraie :

Bu²≤ν (Au|u).

Soientαetβdeux r´eels tels que le segment [α, β] soit contenu dans l’intervalle ouvert ]0, 2/ν[, (0< α < β <2/ν). La suite des r´eelsρ_m est suppos´ee v´erifier pour tout entier naturelml’in´egalit´e suivante :

α≤ρ_m≤β.

26. D´emontrer que la suite de terme g´en´eraly^m−y^∗2, m∈Nest mono- tone d´ecroissante ; utiliser, pour simplifier, la suite (u^m)_m∈N dont le terme g´en´eral est d´efinie par la relation suivante :

u^m=x^m−x^∗.

Convergence de la suite(x^m)_m∈N :

27. En d´eduire la convergence et la limite de la suite (x^m)_m∈N.

FIN DU PROBL`EME