2) FORMES MULTILINEAIRES ALTERNEES.

DETERMINANTS

1. INTRODUCTION.

Le point de départ de notre étude est le suivant :

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n rapporté à une base B et S=(v1,…., vn) un système de n vecteurs de E définis par leurs composantes dans la base B . On a déjà étudié des techniques de détermination du rang par des manipulations sur la matrice représentant S dans B .

En particulier la méthode du pivot de Gauss nous ramène à une matrice triangulaire équivalente, de rang n si et seulement si aucun des coefficients diagonaux n’est nul.

Il est alors naturel de se demander s’il est possible de construire en marge de cette démarche une expression synthétique portant sur les composantes initiales des vecteurs de S et dont l’analyse permettrait de déterminer simplement si S est à son tour une base de E.

(On peut penser au produit des éléments de la diagonale de la matrice triangulaire obtenue) Bien sûr on aimerait que l’expression en question ne dépende que des composantes initiales des vecteurs de S, et non pas de la suite de manipulations exécutée.

On va voir que la réponse est positive même s’il faudra nuancer le qualificatif ‘simple’

concernant les calculs à effectuer. Par contre le champ d’application de ces ‘déterminants’

dépassera très vite l’objectif premier , on les mettra à profit pour l’inversion des matrices, la résolution des systèmes linéaires, la théorie de la diagonalisation, dans les situations de la géométrie Euclidienne généralisée (orientation de l’espace, classification des isométries).

Il s’agit donc d’un outil extrêmement riche mais dont la définition est un peu délicate à mettre en place. En effet si sur le plan théorique on ne fait que reprendre et améliorer d’une certaine manière les idées de la méthode de Gauss, sur le plan pratique on est confronté à des

problèmes de notations quelquefois assez lourdes à gérer.

Aussi nous commencerons dans cette introduction à examiner la situation sur des espaces de petite dimension.

_ Pour n=1 le problème est vite réglé.

Soit B =(e1) base d’une droite vectorielle E. Le système S réduit au seul vecteur v1=xe1 est libre si et seulement si v1 est non nul c’est à dire si x ≠0.

On appelle alors déterminant de S dans la base B la quantité detB (v1)=x.

_ Pour n=2.

Considérons un système S=(v1, v2) de deux vecteurs de E exprimés dans la base B =(e1, e2) suivant : v₁=xe₁+ye₂ et v₂=x’e₁+y’e₂.

a) Si x est non nul, la séquence ₁ 1 _{1 2 2 1} C x C C xC

C ← ← − ′ transforme la matrice

représentant S dans B en la forme triangulaire _⎟^⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ′− ′ x

y x y x x y

0 1

.

S sera alors libre si et seulement si la quantité xy’-x’y est non nulle.

b) Si x est nul et x’ différent de 0, un raisonnement symétrique en échangeant les deux vecteurs donne : S libre ⇔ x’y-xy’ ≠0 ⇔xy’-x’y ≠0

c) Enfin si (x, x’)=(0, 0) , les deux vecteurs de S sont multiples du même vecteur e2 et constituent donc un système lié. Remarquons que dans ce cas xy’-x’y=0.

On définira donc naturellement ici le déterminant de S dans la base B comme l’élément de K noté et représenté par : detB(S)=xy’-x’y=

y y

x x

′

′

Ce qui précède établit l’équivalence entre la dépendance linéaire de S et l’annulation de son déterminant.

_ Pour n=3.

Soit B =(e1, e2, e3) base de E et S=(v1, v2, v3) système dont la matrice représentative dans B

est A= .

_ Si x non nul on effectue les manipulations sur colonnes suivantes :

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

′′

′

′′

′

′′

′

z z z

y y y

x x x

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

− ′′

′′

− ′

′

− ′′

′′

− ′

′

=

− ′′

′ ←

−

←

←

x z x z x x

z x z x x z

x y x y x x

y x y x x y x x

A C

x C C C x C C xC C

0 0

1 en rmant transfo 1

1 3 3 1 2 2 1 1

Cette matrice est donc de rang 3 si et seulement si ses deux dernières colonnes forment un système libre, ou encore, vu l’étude précédente appliquée dans le plan engendré par (e₂, e₃ ), si le déterminant D=

z x z x z x z x

y x y x y x y x

− ′′

′′

− ′

′

− ′′

′′

− ′

′ est non nul.

_ Si x est nul mais qu’une des deux composantes x’ ou x’’ est différente de 0, un raisonnement analogue en permutant v₁ et v₂ ou v₁ et v₃ aboutit à la même caractérisation de l’indépendance du système.

_ Enfin si x=x’=x’’=0, les trois vecteurs de S sont combinaisons du même système (e2, e3 ) donc forment un système lié par application du théorème fondamental de la dimension.

Remarquons que dans ce cas l’expression D ci dessus est nulle.

On définira donc ici le déterminant de S dans la base B comme la quantité D apparaissant dans cette étude. Après calculs et regroupements adéquats on peut donner de D les

expressions suivantes :

D= y y

x zx z z

x yx z z

y xy

′′

′

′′

+ ′

′′

′

′′

− ′

′′

′

′′

′ . (Développement dit suivant la première colonne)

D=xy′z′′+yz′x′′+zx′y′′−yx′z′′−xz′y′′−zy′x′′

Règle dite de Sarus que l’on retient en comptant positivement les produits des termes des diagonales descendantes et négativement les produits des termes des diagonales ascendantes

dans la matrice de Sarus :

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

′′

′

y y y

x x x

z z z

y y y

x x x

2) FORMES MULTILINEAIRES ALTERNEES.

A) Vers une généralisation.

Il est facile de déceler des propriétés algébriques communes aux trois déterminants que nous avons défini précédemment.

_ Il s’agît d’applications f allant de Eⁿ vers K. (A tout système S de n vecteurs de E on associe un scalaire f(S) )

_ Ces applications agissent de manière linéaire sur chacun des vecteurs composant le système S, les n-1 autres vecteurs étant fixés. (Propriété dite de multilinéarité)

Par exemple pour le déterminant d’ordre 3 considéré comme fonction de v₁ seul, les vecteurs v2 et v3 étant figés, on obtient une application K-linéaire de E vers K dont la matrice dans le couple de base (B , {1K }) est

(

y′z′′−z′y′′ x′′z′−x′z′′ x′y′′−x′′y′

)

_ Pour n ≥2 , l’échange de deux vecteurs du système S transforme l’image f(S) en l’opposé de sa valeur. (Propriété dite d’alternance : v_i ↔v_j conduit pour i ≠ jà f(S)←−f(S))

La vérification est également immédiate sur les formules établies plus haut.

Ces traits communs nous suggèrent la définition générale suivante, pour n ≥2 :

Définition : Si E est un K espace de dimension n , on appelle forme n-linéaire alternée sur E toute application f de Eⁿ vers le corps K satisfaisant aux propriétés décrites précédemment de linéarité par rapport à chacune des n variables constituant le système S et d’alternance.

B)Premières remarques.

Si f est n linéaire, alors f sera alternée si et seulement si f s’annule sur tout système S dont deux des composantes vectorielles sont identiques.

Rappelons que les corps considérés sont supposés de caractéristique nulle, donc qu’en particulier : 1K ≠ -1K . (2.1k ≠0K)

_ Supposons f alternée et considérons un système S=(v₁,…, v_n) tel que v_i=v_j pour un couple d’indices distincts.

La permutation de ces deux vecteurs au sein de S laisse donc S invariant, mais d’après l’alternance doit changer f(S) en son opposé.

On a donc nécessairement f(S)=- f(S) d’où l’on tire 2f(S)=0K , c’est à dire (1K+1K) f(S)=0K. On en déduit alors f(S)=0K vu l’hypothèse 2.1K ≠0K.

_ Réciproquement si f(S) s’annule dès que 2 vecteurs de S sont égaux, considérons deux indices distincts i <j et à partir d’un élément quelconque S de Eⁿ définissons les 4 systèmes déduits chacun de S par les manipulations suivantes :

S(i, j) obtenu par v_i ←v_i +v_j v_j ←v_i +v_j S_i obtenu par

S

i

j v

v ←

j obtenu par S’ obtenu par

En faisant jouer la linéarité par rapport à chacune des deux variables d’indice i et j, on écrit la décomposition : f(S

j

i v

v ←

j

i v

v ↔

(i, j))= f(Si)+ f(S)+ f(S’)+ f(Sj).

Or f s’annule par hypothèse sur les systèmes S(i, j), Si et Sj admettant chacun deux composantes identiques.

Il reste donc l’égalité f(S’)=- f(S) exprimant l’alternance de f dans l’échange des composantes d’ordre i et j.

2) Une forme n-linéaire alternée s’annule nécessairement sur tout système lié.

En effet si S est lié, un des vecteurs de S pourra s’écrire comme combinaison linéaire des autres. Si on en déduit par linéarité de f par rapport à la variable d’ordre i et en utilisant les notations précédentes, la relation : f(S)=

∑

≠

α

=

i j

j j

i v

v

∑

≠

α

i j

j jf(S )=0

(f s’annule sur chacun des Sj dont les composantes d’ordre i et j égalent vj)

On a donc bien là une piste pour la caractérisation qui nous préoccupe : une forme n-linéaire alternée f permet de conclure la liberté d’un système S dont l’image f(S) est non nulle.

Subsistent deux interrogations essentielles :

_ Qu’en est-il de la réciproque : ( S libre ⇒ f(S)≠0 ) ?

_ Comment définir de telles formes sur un espace de dimension finie quelconque n et quel est l’éventail des constructions possibles.

Les réponses vont nous être données par le théorème fondamental suivant, véritable clef de tout le chapitre.

C) Théorème d’existence des déterminants.

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et B une base d’un K-espace vectoriel E de dimension n Il existe une et une seule forme n-linéaire alternée f sur E prenant la valeur 1K sur la base B . et toutes les autres formes n- linéaires alternées sur E sont des multiples de celles ci par un élément de K.

( L’application f sera appelée déterminant dans la base B et notée detB ) Nous allons procéder par récurrence forte sur l’entier n.

_ Examinons le cas initial n=2. Avec les notations précédentes, si f est bi-linéaire alternée on pourra écrire : f(xe₁+ ye₂,x′e₁+ y′e₂)= xx′f(e₁,e₁)+xy′f(e₁,e₂)+ yx′f(e₂,e₁)+ yy′f(e₂,e₂) Soit, en utilisant l’alternance : f(S)=(xy′−x′y)f(e₁,e₂)

On voit donc que f est nécessairement multiple du déterminant d’ordre 2 défini dans le paragraphe d’introduction et dont les caractères de multi-linéarité et d’alternance se vérifient immédiatement.

La condition f(B )=1K donne effectivement pour f(S) la valeur xy’-x’y, ce qui assure la cohérence de l’appellation déterminant pour cette valeur 2.

_ Pour n=3 la tri-linéarité et l’alternance de f permet de même de réduire le calcul de f(S) à:

f(S)= f(xe₁+ye₂+ze₃, x’e₁+y’e₂+z’e_3, x’’e₁+y’’e₂+z’’e₃)=xy’z’’f(e₁, e₂, e₃)+xz’y’’f(e₁, e₃, e₂) + yx’z’’f(e2, e1, e3)+yz’x’’f(e2, e3, e1)+zx’y’’f(e3, e1, e2)+zy’x’’f(e3, e2, e1).

Soit en utilisant à nouveau l’alternance pour retrouver dans chaque cas l’image de la base ordonnée initialement :

f(S)=[xy’z’’+yz’x’’+zx’y’’-yx’z’’-xz’y’’-zy’x’’ ] f(e₁, e₂, e₃)

Ici aussi on retrouve les multiples des déterminants d’ordre 3 définis dans l’introduction et précisément le déterminant dans la base B si on impose la condition f(B )=1K.

_ Etude de l’hérédité de la propriété étudiée.

Soit n un entier supérieur ou égal à 3. Nous ferons l’hypothèse que le théorème est valable pour tout entier inférieur ou égal à n et nous allons essayer d’en déduire l’extension de ce résultat au rang n+1. Pour faciliter la rédaction introduisons les notations suivantes : _ B =(e₁,….., e_n, e_n+1) la base de E en question dans le théorème.

_ Pour chaque indice i de {1, 2, ……, n+1} :

E_i désigne la somme directe des droites vectorielles engendrées par les vecteurs de B distincts de ei aE_i =⊕_k≠iVec_K(e_k). Bi est la base de Ei obtenue en supprimant ei de B , les autres vecteurs de B restant dans l’ordre initial.

qi est la projection vectorielle sur Ei parallèlement à la droite engendrée par ei. _ Pour chaque couple (i, j) d’indices distincts de {1, 2,…., n, n+1} :

E_{(i, j)} est la somme vectorielle des droites engendrées par les vecteurs de B_i distincts de e_j B _{(i, j)} est la base de E_{(i, j)} obtenue en éliminant le vecteur e_j de la base B_i , les autres vecteurs de Bi restant dans l’ordre initial.

Enfin x_{(i, j)} est le terme générique de la matrice A représentant le système S=(v₁,…,v_n, v_n+1) dans la base B . ∀j∈{1,…, n+1} vj=x(1, j)e1+x(2, j)e2+……+x(n+1, j)en+1

Analyse . Si f est une forme répondant aux exigences du théorème, on doit avoir nécessairement, en faisant jouer la linéarité par rapport à la première variable, la décomposition : f(S)=

Ecrivons ensuite v

∑

⁺

=

= +

1

1

1 2

) 1 ,

( ( , ,...., )

n i

i

n i

i f e v v

x

2=x_{(i, 2)}e_i+q_i (v₂). En utilisant la linéarité par rapport à la deuxième variable on peut écrire f(e_i,v₂,...,v_n+1)= x_(i,2)f(e_i,e_i,v₃,...,v_n+1)+ f(e_i,q_i(v₂),v₃,...,v_n+1).

Or le premier terme de cette somme est nul en tant qu’image par f d’un système où deux vecteurs sont identiques. Si on répète l’opération pour chacune des autres variables de S soit v₃,.., v_n+1 , on obtient : f(S) =

Considérons alors pour chaque indice i l’application f

∑

⁺

=

= +

1

1

1 3

2 )

1 ,

( ( , ( ), ( ),...., ( ))

n i

i

n i i

i i

i f e q v q v q v

x

i de E_iⁿ vers K définie par la formule : fi (w1, w2,…,wn)=f(ei ,w1,w2,…,wn).

_ On voit immédiatement que la multi-linéarité de f entraîne la linéarité de f_i par rapport à chacune de ses n variables.

_ Il est aussi clair que f_i s’annule sur tout système dont deux des vecteurs sont identiques, ceci d’après l’alternance de f.

D’après l’hypothèse de récurrence, f_i est donc multiple du déterminant dans la base B_i que nous noterons de manière abrégée deti , en tant que forme n-linéaire alternée sur l’espace Ei de dimension n. La constante multiplicative n’est autre que le scalaire αi =f(e_i ,B_i ) d’après la spécification deti (Bi )=1K

Examinons cette constante. Il s’agît de l’image par f d’un système formé par les vecteurs de la base initiale B , listés en désordre par rapport à l’agencement initial, sauf bien sûr pour i=1.

αi =f(ei ,Bi )=f(ei , e1,…,ei-1, ei+1,…,en+1)

Pour retrouver l’ordre initial, il suffit d’échanger successivement le vecteur décalé en tête ei

avec chacun des i-1 vecteurs le suivant, soient e1, e2,…., ei-1.

A chacune de ces transpositions élémentaires, la valeur de f est changée en son opposée, toujours d’après l’alternance de f. On obtient donc à terme : αi =(-1)^{i –1}f(B )

Ainsi une forme n+1 linéaire alternée f sur E de dimension n+1 est nécessairement définie par une formule du type :

avec α=f(e

( )

_⎥^α

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

∑

^{= +}

= − +

+ ) ( 1) det ( ), ( ),..., ( ) .

,...., (

1

1

1 3

2 1

) 1 , ( 1

1

n i

i

n i i

i i i i

n x q v q v q v

v v f

1,….,e_n+1).et det_i désignant rappelons le, le déterminant dans la base B_i de E_i.

Synthèse. Reste à vérifier que l’application f définie comme précédemment avec α=1K est bien effectivement n+1 linéaire alternée. Elle sera alors le déterminant d’ordre n+1 dans la base B de E dont toutes les formes n+1 linéaires alternées sur E sont effectivement multiples.

a) La multilinéarité est facile à prouver.

_ Pour l’établir par rapport à la première variable v1, il suffit de remarquer que si v2,…,vn+1

sont fixés, les quantités βi=(-1)^{i –1}deti (qi (v2),…, qi (vn+1)) sont constantes et donc que l’application v₁ a f(v₁,….v_n+1) est une forme linéaire sur E dont la matrice dans le jeu de bases (B , (1_K)) n’est autre que la ligne L=

(

β1 β2 . . . β_n β_n+1

)

_ Pour la linéarité par rapport à la variable d’ordre j ≠1, remarquons que qi étant linéaire (projecteur de l’espace E) et deti étant linéaire par rapport à la variable d’indice j-1, l’application vja βi=(-1)^{i –1}deti (qi (v2),…,qi(vj ),…, qi (vn+1)) sera linéaire pour chaque i d’après le théorème de composition.

Les composantes x(i, 1) étant ici constantes car v1 fixé, l’application vja f(v1,..,vj ,..,vn+1) est bien linéaire comme combinaisons de formes linéaires sur E.

b) Pour l’alternance.

La multilinéarité étant établie, on sait qu’il suffit de montrer l’annulation de f sur tout système comportant deux vecteurs identiques.

_ Cela est évident si ces deux vecteurs sont d’indice distinct de 1, car dans ce cas chacun des βi sera nul par alternance de deti .

_ Si un des deux indices en question est 1, en utilisant le résultat précédent on pourra toujours se ramener au cas où le second indice est 2. Reste donc à montrer que f s’annule si v1=v2. Pour cela développons chacun des βi comme nous l’avons fait initialement sur f dans l’analyse précédente en faisant jouer la linéarité par rapport à chacune des variables et l’alternance.

Il vient, en utilisant les notations précisées tout au début :

βi=

_∑ ( )

≠ +

− − i j

n i j i

j j i j

i x det e ,q q(v ),...,q q(v ) )

1

( ¹ _{( ,2)} o ₃ o ₁

Or pour chaque couple (i, j) avec i≠j, l’application γ(i, j) définie sur E(i, j)n-1

par la formule : )

,..., ,

( det ) ,...., ( )

,...,

(w₃ w_n+1 aγ_(i,j) w₃ w_n+1 = _i e_j w₃ w_n+1 est de manière évidente une forme n-1 linéaire alternée.

(Les propriétés de la forme n linéaire alternée deti se répercutent immédiatement sur γ(i, j).) γ(i, j) est donc par hypothèse de récurrence un multiple du déterminant dans la base B(i, j).,

le coefficient multiplicatif n’étant autre que deti (ej , B(i, j)).

Etudions ce scalaire suivant les positions relatives de i et j.

_ Si j >i det_i (e_j , B_{(i, j)})=det_i(e_j,e₁,...,e_i−1,...,e_j−1,e_j+1,....,e_n+1)

Il s’agît donc de l’image par le déterminant dans la base B_i d’un système de vecteurs qui n’est autre que ceux de cette même base B_i mais listés en désordre par rapport à la situation initiale.

Pour retrouver cet ordre originel il suffit d’échanger successivement le vecteur en tête ej avec chacun des j-2 vecteurs e1,…,ej-1 précédant ej+1.

Vu l’alternance de deti on obtient donc à terme l’expression : deti (ej , B(i,j))=(-1)^j-2. _ Si j <i deti (ej , B(i, j))=

Ici j-1 transpositions élémentaires seront nécessaires pour amener e )

,...

, ,..

,..

, (

det_i e_j e₁ e_j−1 e_i−1 e_i+1 e_n+1

j à sa bonne place dans la base Bi . On aura alors deti (ej , B(i,j))=(-1)^j-1. Ainsi l’expression de f(S) peut se décomposer :

Puisque par hypothèse v

∑ ∑

∑ ∑

^{= +}

= <

− + −

=

= >

−

−

+ = − − + ¹ − −

1

1 ) 2 , ( 1 ) 1 , ( 1

1

2 )

2 , ( 1 ) 1 , ( 1

2

1, ,..., ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

(

n i

i j i

j j

i i n

i

i j i

j j

i i

n x x x x

v v v f

1=v₂ , l’expression précédente peut s’écrire S₁+S₂ avec :

S1 la somme des (−1)^i+j−1x_(i,1)x_(j,1) correspondant aux couples de T1={(i, j) tels que i<j}

S₂ la somme des (−1)^i+jx_(i,1)x_(j,1) correspondant aux couples de T2={(i, j) tels que i >j } T1 étant en bijection avec T2 par la correspondance (i, j) a(j, i) , il est facile d’en déduire l’égalité S₂=-S₁

Ainsi on a bien vérifié que f s’annule sur S pour lequel les deux premiers vecteurs coïncident, ce qui achève la démonstration.

D) Conséquences.

1) Application à l’étude de l’indépendance d’un système.

Comme première conséquence de ce théorème nous pouvons maintenant énoncer la caractérisation complète de l’indépendance linéaire pour un système de n vecteurs.

Si S est un système de n vecteurs au sein d’un K-espace E de dimension n et si B désigne une base quelconque de E, on a toujours l’équivalence : S libre ⇔ detB(S) ≠0

_ On savait déjà que le déterminant dans B s’annule sur tout système lié et donc que S est libre si son déterminant dans B est non nul.

_ Réciproquement, supposons S libre, donc base de E car son cardinal coïncide avec la dimension de cet espace.

Le déterminant dans S est alors une forme n-linéaire alternée sur E qui est donc multiple du déterminant dans B par un scalaire α d’après le théorème fondamental.

(α n’étant autre que le déterminant de B dans S)

En particulier on peut écrire 1K=detS(S)=αdetB (S) et par suite le déterminant dans B de S est non nul.

2) Formule du changement de base. Notation quotient.

Si B₁ et B₂ sont deux bases du K-espace E, le théorème fondamental montre que le déterminant dans B2 est égal au produit du déterminant dans B1 par le scalaire α qui n’est autre que le déterminant de B1 dans B2.

(C’est le schéma que l’on a appliqué ci dessus au couple (B ,S) ).

Cette formule de passage est plus commode à écrire et à mémoriser si on utilise la notation dite ‘quotient’ dans laquelle on écrira ^det

( )

^S_B pour désigner le déterminant de S dans B.

On rencontre aussi la version ) (

) (

B D

S D .

La proportionnalité se traduit alors par la relation : Pour tout système S de n vecteurs de E ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞= ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞× ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞

2 1 1

2

det det

det B

B SB

SB ou par

) (

) ( ) (

) ( ) (

) (

2 1 1

2 D B

B D B D

S D B

D S

D = ×

On en déduit en particulier en prenant S=B2 que les déterminants ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

1

det 2

B

B et ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

2

det 1

B B sont inverses l’un de l’autre.

3) Inversibilité d’une matrice carrée.

Si A est un élément de Mn(K), son rang est celui du système S de ses n vecteurs colonnes considérés comme vecteurs de E=Kⁿ décomposés dans la base canonique B de cet espace.

D’après le théorème fondamental on peut donc dire que A est de rang n, ou encore est inversible, si et seulement si le déterminant de S dans B est non nul.

Ce déterminant sera appelé naturellement déterminant de la matrice A et est noté det(A).

L’intervention de cette notation permet de formuler de façon plus pratique la relation de définition par récurrence des déterminants généraux.

En effet le déterminant d’ordre n noté dans la démonstration :^deti

(

qi⁽v2^),qi⁽v3^),....,qi⁽vn+1⁾

)

n’est autre que le déterminant de la matrice carrée Ai obtenue à partir de A en supprimant la première colonne et la ligne d’indice i.

La construction se résume alors à :

∑

^{= +}

=

− −

= ¹

1

) 1 , (

1 det( )

) 1 ( )

det(

n i

i

i i

i x A

A

Formule dite du développement suivant la première colonne de A.

4) Déterminant d’un endomorphisme.

Soit u un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension n et B une base de E.

On vérifie très facilement que l’application de Eⁿ vers K définie par : S=(v1,….,vn) a ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞

B S u( )

det avec u(S)=(u(v1),…., u(vn)) , est une application n-linéaire alternée donc est multiple du déterminant dans la base B. Le coefficient multiplicatif sera le

scalaire ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞ B B u( )

det c’est à dire le déterminant de la matrice A représentant u dans la base B.

Pour tout système S on a donc la relation a (1) ^det⎜⎝⎛^u(S)_B⎟⎠⎞^=det(A).det

( )

^S_B

Examinons l’influence d’un changement de base. Si on repère maintenant l’espace E à l’aide d’une nouvelle base B’, on sait que le déterminant dans B’ d’un système quelconque s’obtient en multipliant le déterminant dans B de ce même système par la constante α=^det

( )

^B_B'

En multipliant par α les deux termes de l’égalité précédente (1) on obtient alors : Pour tout système S de n vecteurs de E : ^det⎜_⎝^⎛u(S)_B'^⎟_⎠^{⎞=det(A).det}

( )

^S_B'

En prenant S=B’ on en déduit que det(A)=det(A’) avec A’ matrice représentant u dans B’.

Le déterminant de la matrice A représentant initialement u n’est donc pas affecté par le changement de base effectué. Il s’agît d’un invariant, au même titre que la trace de la matrice, c’est une constante attachée à l’endomorphisme u et que l’on appellera donc naturellement déterminant de cet endomorphisme. (notation det(u) )

La caractérisation : A matrice carrée inversible ⇔ det(A) ≠0 se traduit alors par : l’endomorphisme u est bijectif ⇔ det(u) ≠0 .

La relation de proportionnalité (1) se transcrit alors simplement : Pour tout élément S de Eⁿ et toute base B de E on a l’égalité ^det⎜_⎝^⎛u(S)_B^⎟_⎠^{⎞=det(u).det}

( )

^S_B

5) Déterminant d’un produit.

D’après ce qui précède, si u et v sont deux endomorphismes de E et B une base de cet espace, on peut écrire :

det(v u)=_o det ( ) det

(

( )

)

det( ).det ( ) _det(v_).det(u₎ B

B v u

B B u v B

B u

v ⎟=

⎠⎞

⎜⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛

⎟=

⎠⎞

⎜⎝

⎛ o

Le déterminant d’un composé est donc le produit des déterminants. det(v u)=det(v).det(u) _o L’application de L_K(E) vers K qui à chaque endomorphisme associe son déterminant est donc un morphisme de la loi vers la loi produit dans K.

Comme on a vu que u était inversible si et seulement si det(u) ≠0, l’application u adet(u) apparaît comme un morphisme du groupe ( GL

o

K(E), ) vers le groupe multiplicatif (K-{0}, . ) On retrouve ainsi en particulier det(I

o

E)=1K et ∀u∈ GLK(E) :

) det(

) 1 det( ¹

u⁻ = u

6) Inversion d’un automorphisme.

Soit u un automorphisme de E de matrice représentative A dans la base B.

Pour tout vecteur y de E, u^-1(y)=x ⇔ y=u(x)

On va voir que la théorie des déterminants permet d’expliciter facilement les coordonnées de l’antécédent x de y à partir de celles de y.

Posons . Par linéarité de u il vient :

Notons alors S le système image et pour chaque indice i de {1,2,…, n}

désignons par S

∑

⁼

=

= ^{i n}

i i ie x x

1

∑

⁼

=

= ^{i n}

i

i iu e x y

1

) ( .

(

u(e₁),u(e₂),...,u(e_n)

)

(i, y) le système obtenu à partir de S en remplaçant le vecteur u(e_i) par y.

Notons enfin S(i, j) le système obtenu toujours à partir de S en remplaçant u(ei) par u(ej)

D’après la linéarité du déterminant dans B par rapport à la variable d’indice i on peut écrire la

décomposition :

∑

⁼

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ^{j n}

j

j i j

y i

B x S

B S

1

) , ( )

,

( det

det

Or S(i, j) est un système dont les composantes vectorielles d’indice i et j sont identiques, son déterminant dans B sera donc nul pour i ≠j d’après la propriété d’alternance.

Le seul terme non nul de la somme précédente est donc celui d’indice j=i. Remarquons alors que S(i, i) n’est autre que le système initial S dont le déterminant dans B est, par définition, le déterminant de l’automorphisme u.

On en déduit la relation : ∀i∈{1,…, n} :

( )

u B S x

y i

i det

det ^{(, )} ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

Ces formules exprimant les coordonnées de l’antécédent x de y par u sont dites de Cramer.

On peut en donner une expression plus pratique en faisant appel à la matrice A représentant u dans la base B.

En effet le numérateur apparaît alors comme le déterminant de la matrice carrée obtenue à partir de A en remplaçant la colonne d’indice i par la colonne des composantes de y dans B.

Si on note A(i,y) cette matrice, on obtient finalement : ∀i ∈{1,… ,n} :

) det(

) det( _{(, )}

A x_i = A^iy

3) TECHNIQUES DE CALCUL DES DETERMINANTS.

Pour l’instant le seul mode de calcul à notre disposition est la formule dite du développement suivant la première colonne, qui nous a servi à établir le théorème fondamental.

On va voir dans ce paragraphe qu’il existe d’autres techniques d’évaluation, générales comme le développement suivant une colonne ou une ligne quelconque, ou adaptées à des

configurations particulières (matrices triangulaires, ou matrices définies par blocs).

La connaissance de ces méthodes n’est pas indispensable, surtout depuis l’essor des logiciels de calcul formel, mais permet souvent de conduire plus efficacement le développement ou la factorisation des déterminants étudiés.

Elle aide aussi sur le plan théorique à renforcer la compréhension de la transposition des matrices.

Les notations seront celles développées dans la démonstration du théorème fondamental.

S système de n vecteurs v_j de E représenté dans la base B par la matrice A de coefficient générique x(i, j)

A) Développement suivant une colonne quelconque.

Nous écrirons ici simplement det pour parler du déterminant dans la base B.

Soit j∈{2, 3,…, n}. Echangeons successivement le vecteur vj de S avec chacun des j-1 vecteurs le précédant au sein de ce système. On obtient à terme un nouveau système S’ tel que, vu la propriété d’alternance : det(S)=(-1)^j-1det(S’).

Remarquons d’abord que la matrice A’ représentant S’ dans B est obtenue en portant en tête la colonne d’indice j, les autres colonnes restant dans l’ordre initial.

Supprimer la première colonne de A’ revient donc à supprimer la colonne d’indice j de A.

Développons alors le déterminant de S’ suivant la première colonne.

det(S’)= ( 1) det

(

' , avec pour A

1

) , ( 1

i n

i

i

j i

i x A

∑

⁼

=

− −

)

i’ la matrice carrée d’ordre n-1obtenue à partir de A’ en supprimant la première colonne et la ligne d’indice i.

Vu la remarque faite ci dessus, A’_i =A_{(i, j)} avec A_{(i, j)} matrice d’ordre n-1 obtenue à partir de A en supprimant la colonne d’ordre j et la ligne d’indice i.

Comme (-1)^{j –1}.(-1)^{i –1}=(-1)^i+j , on obtient la formule de développement suivant la colonne j :

∑

⁼

=

− +

=

= ^{i n}

i

j i j

i j

i x A

B A S

1

) , ( ) ,

( det( )

) 1 ( ) det(

) det(

B) Développement suivant la première ligne.

Considérons l’application f de Eⁿ vers K qui à tout système S représenté par A dans B fait

correspondre le scalaire

∑

⁼ , avec A

=

− +

= ^{j n}

j

j j

j x A

S f

1

) , 1 ( ) , 1 (

1 det( )

) 1 ( )

( _{(1, j)} désignant comme

précédemment la matrice d’ordre n-1 obtenue en éliminant de A la première ligne et la colonne d’indice j.

Montrons que f est n-linéaire alternée.

_ Linéarité par rapport à la variable d’ordre k.

a Pour j ≠k le coefficient x_{(1, j)} est figé et le déterminant de A_{(1, j)} dépend linéairement du vecteur vk de S .

En effet det(A_{(1, j)})=det(q₁(S_j)) avec pour S_j le système obtenu en supprimant de S le vecteur v_j et q1 la projection définie par : x1e1+….+xnen ax2e2+…+xnen , le déterminant étant évalué dans la base B₁ =(e₂,…,e_n).

a Pour j=k. c’est le déterminant de A(1, k) qui est alors figé, puisque la colonne représentant la composante variable vk a été éliminée. Par contre le coefficient x(1, k) première composante de v_k dans B dépend linéairement de ce vecteur v_k.

_ Alternance.

Supposons que vl=vk pour l <k.

Les matrices A(1, j) ont donc deux colonnes identiques pour j∉{l, k} et sont donc de déterminant nul. Il reste donc f(S)=(-1)^l+1x_{(1, l)}det(A_{(1, l)})+(-1)^k+1x_{(1, k)}det(A_{(1, k)}) Examinons ces deux déterminants résiduels.

Si on note C₁,C₂,...,C_n les colonnes de A privées du coefficient relatif à la première ligne on a : det(A_{(1, l)})=det(C₁,C₂,…,C_l-1,C_l+1,…C_k-1,C_k……....,C_n)

det(A(1, k))=det(C1,C2, ,Cl-1,Cl ,……,Ck-1,Ck+1,….,Cn)

On passe donc puisque C_l=C_k de la première matrice à la seconde en échangeant successivement la colonne Ck avec chacune des k-l-1 colonnes la précédant.

Vu l’alternance, on en conclût : det(A_{(1, k)})=(-1)^k-l-1det(A_{(1, l)}) et par suite f(S)=0 puisque les coefficients x(1, l) et x(1, k) coïncident.

D’après le théorème fondamental il existe donc un scalaire α tel que pour tout système S on ait la relation de proportionnalité : f(S)=αdet(S)=αdet(A).

Or pour S=B on trouve A=I_n et de manière évidente f(B)=1.det(I_n-1)=1

Ainsi α=1 et f coïncide avec le déterminant dans la base B sur tout système S.

On a donc une formule de développement d’une matrice carrée suivant la première ligne analogue à celle du développement suivant la première colonne.

∑

⁼

=

− +

= ^{j n}

j

j j

j x A

A

1

) , 1 ( ) , 1 (

1 det( )

) 1 ( ) det(

(avec A(1, j) déduite de A par suppression de la première ligne et de la colonne d’indice j.) Cette relation va jouer un rôle clef dans le théorème suivant concernant le déterminant d’une matrice transposée.

C) Déterminant d’une transposée.

Théorème : Le déterminant d’une matrice carrée quelconque A est toujours égal à celui de la transposée ^tA

La démonstration s’effectue ici par récurrence sur l’ordre n de la matrice.

_ Pour n ≤3 la vérification est immédiate en examinant les formules explicitant les déterminants correspondants.

_ Supposons la propriété vraie pour un entier n donné et considérons une matrice carrée A d’ordre n+1 de terme générique a(i, j) et sa transposée B=^tA de coefficient général b(i, j)=a(j, i). Evaluons le déterminant de B en développant suivant la première ligne.

Or b

∑

^{= +}

=

− +

= ¹

1

) , 1 ( ) , 1 (

1 det( )

) 1 ( )

det(

n j

j

j j

j b B

B

(1, j)=a_{(j, 1)} et B_{(1, j)} est la matrice obtenue en éliminant de B=^tA la première ligne et la colonne d’ordre j , c’est à dire en fait la transposée de la matrice A(j, 1) obtenue en supprimant de A la première colonne et la ligne d’ordre j.

Par hypothèse de récurrence on peut donc dire que : ∀ j ∈{1,…,n+1} det(B(1, j))=det(A_{(j, 1)})

Ainsi on obtient . Mais ceci n’est autre que la formule du

calcul du déterminant de A suivant la première colonne. On a donc bien établi que le théorème s’étend à l’entier suivant n+1 : det(

∑

^{= +}

=

− +

= ¹

1

) 1 , ( ) 1 , (

1 det( )

) 1 ( )

det(

n j

j

j j

j a A

B

tA)=det(A) pour A carrée quelconque d’ordre n+1.

Ceci achève la démonstration.

Les manipulations de type Gauss sur les colonnes vont donc se traduire par des manipulations analogues sur les lignes avec les mêmes conséquences liées aux caractères de multilinéarité et d’alternance des déterminants. En résumé :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

←

≠ α

−

← α

−

←

←

≠

↔

↔

α

← α

← α

←

det det entraîne

pour ou

C

-det det

entraîne

pour ou

det det

entraîne

ou

i C C L L L i j

j i L

L C

C

L L

C C

j i i j i

j i j i

i i

i i

D) Développement suivant une ligne quelconque.

Vu le résultat sur la transposition, la formule du développement du déterminant suivant une colonne d’indice quelconque se traduit immédiatement, si on l’applique à la transposée d’une matrice donnée A, par une formule analogue dite de développement suivant une ligne :

∀ i ∈{1,…,n}

∑

⁼

=

− +

= ^{j n}

j

j i j

i j

i a A

A

1

) , ( ) ,

( det( )

) 1 ( ) det(

A(i, j) désignant toujours la matrice carrée d’ordre n-1 obtenue à partir de A en supprimant la ligne d’indice i et la colonne d’indice j.

E) Déterminant d’une matrice triangulaire.

Théorème. Le déterminant d’une matrice carrée triangulaire supérieure ou inférieure est égal au produit des éléments de la diagonale principale.

Vu le théorème sur la transposée il suffit en fait de traiter le cas d’une matrice triangulaire supérieure.

Ici encore une récurrence sur l’ordre n de la matrice donne facilement le résultat.

_ Pour n ≤3 les vérifications sont immédiates sur les formules de calcul.

_ Supposons la propriété vraie pour un entier n et examinons une matrice triangulaire supérieure A d’ordre n+1 de coefficient générique a(i, j).

En développant son déterminant suivant la première colonne, la formule se résume en fait à : det(A)=a_(1,1)det(A_(1,1)) avec pour A_(1,1) la matrice carrée d’ordre n obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne de A.

A(1,1) étant de manière évidente aussi triangulaire supérieure, son déterminant sera par hypothèse de récurrence le produit de ses éléments diagonaux principaux.

Ainsi det(A)=a_(1,1).a_(2,2)…….a_(n+1,n+1)

Le théorème est donc bien encore vérifié pour le rang suivant n+1, ce qui termine la preuve par récurrence.

F) Déterminant d’une matrice définie par blocs.

Toute matrice carrée M d’ordre n+p peut être considérée dans sa représentation sous forme de tableau comme la juxtaposition de quatre sous tableaux appelés blocs définis comme suit : _ A ∈M_n(K) formé des termes m_{(i, j)} tels que i ≤n et j ≤n.

_ B ∈Mp(K) formé des termes m_{(i, j)} tels que n <i ≤n+p et n <j ≤n+p.

_ T ∈ M(p, n)(K) formé des termes m(i, j) tels que n <i ≤n+p et j ≤n.

_ S ∈M(n, p)(K) formé des termes m(i, j) tels que i ≤n et n <j ≤n+p.

On peut écrire en abrégé ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

B T

S M A

Théorème. Si l’un des deux blocs rectangulaires T ou S de la décomposition précédente est nul, alors le déterminant de la matrice composée M est égal au produit des déterminants de ses deux blocs carrés A et B. a det(M)=det(A).det(B)

Ici encore, grâce au résultat sur la transposition il suffit de traiter le cas où T est nul.

La démonstration s’effectue alors facilement par récurrence sur n.

_ Pour n=1, il s’agit simplement de la formule du développement suivant la première colonne.

_ Si le résultat est supposé vrai pour un entier donné n (et sous-entendu pour un entier p quelconque), considérons M d’ordre n+1+p décomposée en blocs comme indiqué plus haut mais avec A carré d’ordre n+1 et T identiquement nul.

En développant det(M) suivant la première colonne on obtient alors avec les notations usuelles :

Or pour chaque indice i la matrice M

∑

⁺

=

=

− +

= ¹

1

) 1 , ( )

1 , (

1 det( )

) 1 ( )

det(

n i

i

i i

i a M

M

(i,1) peut se décomposer en blocs sous la forme :

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

B S

M _i A^{i i}

0

) 1 , ( ) 1 ,

( avec S_i déduit de S par suppression de la ligne d’indice i.

D’après l’hypothèse de récurrence on peut donc écrire det(M_(i,1))=det(A_(i,1)).det(B) et par suite soit encore det(M)=det(A).det(B).

L’hérédité du principe de calcul est donc vérifiée, ce qui achève la preuve par récurrence.

) det(

. ) det(

) 1 ( )

det(

1

1

) 1 , ( ) 1 , (

1a A B

M

n i

i

i i

i ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

∑

^{= +}

= +

Déterminants. Exercices.

1. Exprimer sous forme de produits de facteurs élémentaires les déterminants :

)² 2 ( )² 2 ( )² 2 (

)² 1 ( )² 1 ( )² 1 ( et 2

2

2 2

2 2

+ +

+

+ +

+

−

−

−

−

−

−

c b

a

c b

a

c² b²

a²

b a c c c

b a

c b b

a a

c b a

2. Montrer que les déterminants suivants sont des polynômes de la variable x et déterminer leurs racines :

5 7

2

6 8

3

8 11

3

5 2 1

12 4

3

4 0

2

3 1 1

1 3

1

1 1

3

−

−

−

+ + +

−

−

−

−

−

−

−

−

x x

x x x

x x

x

x x

x

3. Factoriser les déterminants suivants :

1 1 1 ²

1 1

² 1

) sin(

) 2 sin(

) 2 sin(

) sin(

) 2 sin(

) sin(

) 2 cos(

) cos(

1

) 2 cos(

) cos(

1

) 2 cos(

) cos(

1

b a

a c

c b

t x

x

x t

x

x x

t

z z

y y

x x

4. On considère la matrice avec a paramètre réel.

Déterminer les valeurs de a pour lesquelles A est inversible et exprimer dans ce cas A

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

1 1

0 2 4

2 1 3

a A

-1 en utilisant les formules de Cramer.

5. On considère la matrice à coefficients réels

Examiner le produit

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

−

= −

a b c d

b a d c

c d a b

d c b a M

tM.M . Que peut on en déduire au sujet du déterminant de M ?

6. Factoriser le déterminant :

0

²

² 1

² 0

² 1

²

² 0 1

1 1 1 0

c b

c a

b a

7. Montrer que tout endomorphisme f d’un plan vectoriel E satisfait toujours à la relation dite de Cayley-Hamilton : f ²-trace(f).f + det(f).IE=0

8. Calculer le déterminant de la matrice carrée A d’ordre n dont tous les coefficients sont égaux au scalaire a exceptés les termes de la diagonale principale prenant tous la valeur x.