Les Vecteurs
I.Vecteurs coplanaires
Soit~u,~v, w~ 3 vecteurs et A un point de l’espace.
Les points B,C,D sont tels queÝABÑ~u,ÝACÑ~v,ÝADÑw.~
Les vecteurs~u,~v,w~ sont ditscoplanaires si les points A,B,C,D sont coplanaires.
Trois vecteurs~u,~v,w~ de l’espace sont coplanaires, si et seulement si, il existe un couple (a,b) de nombres r´eels tel que :
soit~u= a~v + bw~
soit~v = a~u+ bw~
soitw~ = a~u+ b~v
II. Base de l’espace
On appellebasede l’espace tout triplet (~i,~j,~k) de vecteurs non coplanaires
III. Rep`ere cart´esien de l’espace
Tout quadruplet (O,~i,~j,~k), o`u O est un point de l’espace et (~i,~j,~k) une base, est unrep`erede l’espace.
1) Coordonn´ees d’un point
x = abscisse, y =ordonn´ee, z =cˆote
2) Coordonn´ees d’un vecteur
ÝAB
ÑÝÑ
AB a pour coordonn´ees pxBxA;yByA;zBzAq
3) Coordonn´ees du milieu I d’un segment [AB]
I a pour coordonn´ees
xB xA
2 ;yB yA
2 ;zB zA 2
IV. Distance de deux points
La distance des points A et B est le nombre r´eel positif :
a
pxBxAq2 pyByAq2 pzBzAq2
Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 1
V. Condition d’orthogonalit´e de deux vecteurs
Les vecteursÝÑVpX, Y, ZqetÝÑV1pX1, Y1, Z1qsont orthogonaux si et seulement si : XX1 Y Y1 ZZ10
Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 2
