Bases pour l’´etude de fonctions

Bases pour l’´etude de fonctions

1 Trinˆ ome du second degr´ e

Pour r´esoudre une ´equation du type ax²+bx+c= 0 avec a6= 0, on peut calculer le discriminant

∆ =b²−4ac Il y a alors trois cas `a distinguer :

– si ∆>0, l’´equation admet 2 solutions r´eelles distinctes : x1 = −b+√

∆

2a , x2 = −b−√

∆ 2a ; – si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution

x0 =− b 2a; – Si ∆<0, l’´equation n’a pas de solutions r´eelles.

La courbe repr´esentative de x 7→ ax²+bx+c est une parabole, point´ee vers le bas si a > 0 et vers le haut si a <0. En faisant un dessin (ou en se rappelant du r´esultat), on peut retrouver le signe de l’expressionax²+bx+c en fonction de x.

2 Limites

On calcule les limites d’une fonction aux bornes de son ensemble de d´efinition. Donc ´eventuellement – en +∞ et−∞;

– au voisinage d’une valeur interdite (isol´ee) ;

Pour calculer une limite, on utilise les r`egles usuelles sur les limites en n’oubliant pas les formes ind´etermin´ees

– ∞ × ∞ – ^∞_∞ – 0× ∞.

3 D´ erivation

Soit f :I →R. La fonctionf est dite d´erivable en asi la limite

x→alim

f(x)−f(a) x−a

existe. On la note alorsf⁰(a). Graphiquement, f⁰(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse ade la courbe repr´esentative de f (faire un dessin). L’´equation de cette tangente est alors

y=f⁰(a)(x−a) +f(a).

D´eriv´ees usuelles

f(x) f⁰(x)

a 0

x 1

x² 2x xⁿ nxⁿ⁻¹

1

x −_x¹₂

1

xⁿ −_xn+1ⁿ

√x ₂^√1_x

R`egles de calcul

(f+g)⁰ =f⁰+g⁰ (λf)⁰ =λf⁰

(f g)⁰ =f⁰g+g⁰f f

g 0

= f⁰g−g⁰f g²

(fⁿ)⁰ =nf⁰fⁿ⁻¹(valable d`es que n6=−1).

4 Fonctions compos´ ees

D´efinition On consid`ere deux fonctionsf et g d´efinies surR. La fonction compos´ee gof est d´efinie par

x7→f(x)7→g(f(x)) = (gof)(x).

Pour tout x∈R, (gof)(x) =g(f(x)).

Formule de d´erivation : sih(x) =gof(x) alors

h⁰(x) =f⁰(x).g⁰(f(x)).

Exemple : h(x) =√ x²+ 1.

5 Fonctions r´ eciproques

Th´eor`eme Une fonction d´erivable et strictement monotone sur un intervalle I r´ealise une bijection d´efinie par

f : I → f(I) x 7→ y=f(x) Elle admet alors une application r´eciproque not´ee f⁻¹ d´efinie par

f⁻¹ : f(I) → I

y 7→ x=f⁻¹(y) Propri´et´e Pour toutx∈I, f⁻¹of(x) =x.

Pour tout x∈f(I), f of⁻¹(x) =x.

Exemples : La fonction racine carr´ee. La fonction r´eciproque de l’inverse.

Formule de d´erivation pour l’application r´eciproque (f⁻¹)⁰(y) = 1

f⁰(f⁻¹(y))