A RETENIR TERMINALE S

A RETENIR TERMINALE S

Ce document est destiné à "résumer" le cours de terminale. Il ne prétend pas contenir tout ce que vous devez savoir pour réussir l épreuve.

Il est conçu pour que vous puissiez l utiliser seul. Les formulations ne sont pas toujours rigoureuses et sont parfois "traduites" pour être plus facilement compréhensibles par tous.

Elles ne peuvent pas être reprises en devoirs. (elles sont alors entre guillemets)

Bien entendu, ce document complète mais ne remplace pas le document "A retenir de la première S" qui doit être parfaitement connu.

Le document sera complété au fur et à mesure de l année.

A RETENIR TERMINALE S

SUITES

CHAPTITRE 1 : LIMITES DE SUITES.

Vous devez être capable de retrouver les tableaux de limites de somme, produit, quotient (soit par cœur, soit

"intuitivement").

Théorème des gendarmes : Si ( ) ^u

^, ( ) ^v

^et ( ) ^w

sont trois suites telles que v

u

w

à partir

d un certain rang. Si les suites ( ) ^v

^et ( ) ^w

convergent vers la même limite L, alors ( ) ^u

converge vers L.

( ) ^u

^et ( ) ^v

sont deux suites. Si à partir d un certain rang n

, u

v

et si lim

n

u

, alors lim

n

v

( ) ^u

^et ( ) ^v

sont deux suites. Si à partir d un certain rang n

, u

v

et si lim

n

v

, alors lim

n

u

Soit q un réel. Si q 1, alors lim

n

q

Si − 1 q 1, alors lim

n

q

= 0;

Si q 1,alors q

n a pas de limite.

Lorsqu on arrive à une forme indéterminée on transforme l expression.

Méthode : si l expression comporte des racines, on peut multiplier et diviser par la quantité conjuguée.

Exemple : la quantité conjuguée de x 2 x est x 2 x .

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Apprendre la rédaction par cœur :

Initialisation : on remplace n par la 1ère valeur de n (0 ou 1 en général dans la propriété : 0 si l énoncé demande "pour tout n de " ; 1 si l énoncé de mande : "pour tout n non nul" ...) et on vérifie que la propriété est vraie

Attention : si c est une égalité ou une inégalité, on calcule séparément les deux membres puis on vérifie la propriété.

Hérédite : soit p tel que ..."on recopie la propriété à prouver en remplaçant les n par des p."

montrons que ... "on recopie la propriété à prouver en remplaçant les n par des p + 1"

Conclusion : "on recopie l énoncé"

CHAPTITRE 5 : SUITES BORNEES.

Une suite ( ) ^u

est dite majorée lorsqu’il existe un réel M tel que, pour tout n de , u

 M.

Une suite ( ) ^u

est dite minorée lorsqu’il existe un réel m tel que, pour tout n de ( ) ^u

, u

m.

Une suite ( ) ^u

est dite bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée Une suite décroissante et minorée converge.

Une suite croissante et majorée converge.

Une suite croissante et non majorée a pour limite + 

Une suite décroissante et non minorée a pour limite – 

Soit une suite ( ) ^u

définie par la donnée de u

et la relation de récurrence u

f ( ) ^u

. Si les deux conditions suivantes sont réunies :

 on sait que la suite ( ) ^u

converge vers un réel l

 la fonction f est continue en l Alors f(l)=l.

Méthode : pour déterminer la limite d une suite définie par récurrence par u

= f ( ) ^u

^:

 Souvent, dans l exercice, on a démontré (par récurrence en général) que la suite était majorée (ou minorée) puis qu elle était croissante (ou décroissante).

 On en conclut que la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée) et donc qu elle converge.

 On appelle L sa limite.

 On écrit que la suite converge et que la fonction f est continue et donc que f( L) L.

 On résout l équation f (L) L

 On en déduit la valeur de la limite L : s il y a 2 solutions à l équation, par exemple 2 et 5 et que la suite est majorée par 3, on en déduit que la limite est 2.

Méthodes : pour montrer qu une suite est majorée (ou minorée) par un réel k :

 Méthode 1 : on étudie le signe de u

k (s il est positif, la suite est minorée par k, s il est négatif, la suite est majorée par k). (Méthode à utiliser plutôt si la suite est définie de façon explicite).

 Méthode 2 : on utilise une démonstration par récurrence en montrant que, pour tout n de , u

k (ou k). Si la suite est définie par u

f ( ) ^u

, on peut utiliser dans l hérédité les variations de f (si f est croissante, on peut "ajouter des f à tous les membres de l inégalité sans changer le sens", si elle est décroissante, elle change le sens de l inégalité.).

VARIATION DE SUITES.

Méthodes : pour déterminer le sens de variation d une suite définie par u

f ( ) ^u

^:

 on calcule les premiers termes de la suite pour faire une conjecture

 Méthode 1 : on étudie le signe de u

u

(s il est positif, la suite est croissante, s il est négatif, la suite est décroissante)

 Méthode 2 : on utilise une démonstration par récurrence en montrant que, pour tout n de , u

u

(ou si la suite semble décroissante). Dans l hérédité, on utilise le sens de variation de la fonction f : si f est croissante, on peut "ajouter des f à tous les membres de l inégalité sans changer le sens", si elle est

décroissante, elle change le sens de l inégalité.

Méthodes : pour déterminer le sens de variation d une suite définie par u

f( n) :

 on calcule les premiers termes de la suite pour faire une conjecture

 Méthode 1 : on étudie le signe de u

u

(s il est positif, la suite est croissante, s il est négatif, la suite est décroissante)

 Méthode 2 : on cherche le variation de la fonction f. Si elle est croissante, la suite est croissante ; si elle est décroissante, la suite est décroissante.

SUITES ET ALGORITHME

Les algorithmes vus en classe sont à connaître (calcul de termes dans les deux modes de définition d une

suite, recherche d un seuil avec une boucle tant que).

A RETENIR TERMINALE S

FONCTIONS

CHAPTITRE 2 : LIMITES DE FONCTIONS.

Méthode : Pour déterminer la limite en + ou d un polynôme ou d une fonction rationnelle, on garde les termes de plus grand exposant au numérateur et au dénominateur et on simplifie au maximum.

Lorsque lim

x a

f(x) = + ou lim

x a

f(x) = , on dit que la droite d équation x=a est asymptote à la courbe de f.

Lorsque lim

x

f(x ) L (resp lim

x

f ( x) L ), on dit que la droite d équation y L est asymptote à la courbe de f en + (resp en )

a et L représentent deux réels ou + ou et f, g et h sont trois fonctions.

Si, pour tout réel x proche de a : g( x) f (x) h (x ) et lim

x a

g( x) lim

x a

h( x) L ; alors lim

x a

f( x) L.

Si, pour tout réel x proche de a : g( x) f (x) et lim

x a

g( x) + ; alors lim

x a

f (x) + . Si, pour tout réel x proche de a : f( x) h (x) et lim

x a

h (x ) ; alors lim

x a

f (x) Méthode : pour étudier la limite d un quotient en a où a est une valeur interdite :

 on cherche la limite en a du numérateur en remplaçant x par a dans le numérateur.

 si cette limite est 0 : on arrive à une forme indéterminée "

 

  0

0 " et on essaie de transformer l écriture de f( x).

 sinon on fait le tableau de signes du numérateur pour déterminer si sa limite est 0 ^- ou 0 ⁺ puis on conclut avec les tableaux de limites : la limite est + ou et on utilise la règle des signes. Il est souvent utile de séparer limite à droite (x a ⁺ ) et limite à gauche ( x a ).

Attention : on n écrit JAMAIS 0

0 ou des calculs avec !!!

CHAPTITRE 4 : CONTINUITE DERIVABILITE.

Graphiquement, la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par le fait que la courbe représentative de f sur I peut être tracée sans lever le crayon.

Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]; alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b); il existe au moins un réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k.

Autrement dit, l’équation f(x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle [a ; b].

Théorème : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I; admettant aux bornes de I des limites et réell es ou i nfi ni es. Alors pour tout réel k compris entre et ; il existe un unique réel c appartenant à I tel que f(c) = k.

Autrement dit, l’équation f(x) = k admet exactement une solution dans l’intervalle I.

Méthode : pour déterminer le nombre de solutions d une équation du type f (x ) k :

 on cherche l ensemble de définition de f, on détermine f ( x), on cherche le signe de f (x) et on construit le tableau de variation de f.

 on cherche les limites de f et on les fait apparaître dans le tableau de variation.

 on fait un schéma au brouillon pour déterminer graphiquement sur quels intervalles l équation a une solution.

 on traite séparément chaque intervalle.

► pour les intervalles sur lesquels l équation n a pas de solution, on le justifie en parlant de maximum ou de minimum de f sur l intervalle.

► pour les intervalles sur lesquels l équation a une solution, on le justifie à l aide du théorème ci- dessus : on précise que f est continue, strictement croissante ou décroissante et on donne les valeurs ou limites de f (x) aux bornes de l intervalle.

 on conclut en donnant le nombre total de solutions de l équation.

Pour déterminer une valeur approchée de ces solutions, on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice ou l algorithme de dichotomie.

Méthode : Souvent, dans les exercices "plus ouverts", on demande de donner le nombre de solutions d une équation qu on peut ramener à h (x ) 0, ou le nombre de points d intersection des courbes de deux fonctions f et g (on pose ar h( x) f(x ) g( x)). On peut alors construire le tableau de variation de la fonction h

(éventuellement en fonction d un paramètre) et utiliser le TVI.

Bien entendu, toutes les formules de dérivées vues en première sont à connaître.

( u ) u

2 u ( ) u

nu u

 

  1

u

n u u

CHAPTITRE 8 : FONCTION EXPONENTIELLE.

exp(1) = e

On peut noter e

pour exp(x ) (se lit "exponentielle x")

La fonction x e ^x est dérivable sur et sa dérivée est elle-même.

e ⁰ = 1 et pour tout réel x; e ^x > 0.

Pour tous réels a et b et pour tout entier n : e ^{a + b} = e ^a  e ^b e ^{ a} = 

e ^a e ^{a  b} = e ^a

e ^b (e ^a ) ⁿ = e ^na Tableau de variation et courbe de la fonction exponentielle :

x  0+

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

f ’(x)

f(x) +

1 0

e

a

a b e

a b e

1 a 0

Pour tout n de ; lim

x

e ^x

x ⁿ = + et lim

x

x ⁿ e ^x = 0 . En particulier, lim

x

e

x =+ et lim

x

xe ^x =0.

Si u est une fonction dérivable sur I, alors e

est dérivable sur I et (e ^u )’ = u’  e ^u .

CHAPTITRE 10 : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.

Pour tout réel x strictement positif, ln(x) est l’unique réel tel que e ^ln(x) x. On a aussi ln ( ) ^e

^x.

Tableau de variation et courbe de la fonction ln :

La fonction ln est dérivable sur +* et sa dérivée est la fonction inverse.

x 0 1+

-2 -1 0 1 2

0 1 2 3 4 5

Les courbes des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d équation y x.

f(x) +

0

ln( a) ln( b ) a b ln( a) ln( b) a b ln( a) 0 a 1

Pour tous réels a et b de _ ^ et pour tout n de , on a :

 ln(ab) = ln(a) + ln(b) .  ln( 

a ) =  ln(a).  ln(a ⁿ ) = n  ln(a).

 ln( a

b ) = ln(a)  ln(b).  ln( a) = 

 ln(a).

Pour tout n de ; lim

x

ln (x)

x = 0et lim

h 0

ln(1 h)

h 1

Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur I, alors ln( u) est dérivable sur I et (ln(u ))′ = u′

u .

CHAPTITRE 11 : INTEGRATION.

Définition : : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle intégrale de a à b de f. la somme des aires algébriques (positive si f poisitive, négative si f négative) des domaines définis par les intervalles où la fonction f garde un signe constant. Cette intégrale se note

( ) d

a

f x x



f est une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur I dont la dérivée F ' est égale à f.

Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a b ]. La fonction F définie sur [a b ] par : F( x)  

a

x

f( t)dt est un e primit ive de f sur [ a b ].

Si F est une primitive de f sur I, alors toutes le primitives de f sur I sont de la forme F C où C et un réel.

Le tableau des primitives est dans le cours.

Méthode : pour déterminer une primitive d une fonction f :

 on repère à quelle ligne du tableau "ressemble" la fonction f.

 on repère la fonction u et on calcule sa dérivée u .

 on "fait apparaître" la formule du tableau en multipliant et divisant si nécessaire f par un coefficient réel.

 on "garde" le coefficient et on applique la formule du tableau

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I. Alors, pour toute primitive F de f, on a :  

a

b

f(x )dx

 

  F (x )

a b

F (b ) F(a ).

Méthode : pour calculer l intégrale d une fonction f entre deux réels a et b :

 on cherche une primitive F de la fonction f.

 on "remplace x par b puis par a dans F( x) et on soustrait."

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I ; soient a ; b et c trois réels de I et soient  et  deux réels. Alors :

( ) d

a

f x x 

  

a

c fxdx +  

c

b fxdx et

 ^{( ) ( ) d} 

a

 f x   g x x 

 ^ _ ^{ } _a ^b fxdx + 

 

 a

b gxdx

  Si a  b et f  0 sur [ a b ], alors ( ) d

b

a

f x x

 ^{ 0}

Si a  b et f  0 sur [ a b ], alors ( ) d

b

a

f x x

 ^{ 0}

Si f( x)  g (x) sur [ a b ], alors

 

 a

b fxdx 

 

 a

b gxdx

  Si m  f(x)  M sur [ a b ], alors m(b  a) 

( ) d

a

f x x

  M(b  a) Soit a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur [a ; b].

On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a ; b] le réel  = ¹

( ) d

a

f x x

b  a  ^.

A RETENIR TERMINALE S NOMBRES COMPLEXES

Dans cette partie, a et b sont des réels et le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; u v ).

CHAPTITRE 3 : NOTION DE NOMBRE COMPLEXE.

i² 1.

Un nombre complexe s écrit sous la forme z a ib avec a et b réels. a est la partie réelle, b est la partie imaginaire. "On ne met pas le i dans la partie imaginaire."

On calcule avec les complexes comme avec les réels (développer, factoriser...)

Conjugué : le conjugué de z a i b est z a i b ("on change les signes de tous les i").

z z 2Re ( z) est réel

z z 2iIm (z ) est imaginaire pur z z a² b² est réel

Méthode : Pour écrire sous forme algébrique un quotient, on multiplie et on divise par le conjugué du dénominateur.

Méthode : Pour résoudre une équation où apparaissent des z et des z , il est souvent utile de poser z x i y, de simplifier les deux membres de l équation et d identifier partie réelle et partie imaginaire ("ce qui n a pas de i est égal de chaque côté et ce qui a des i est égal de chaque côté")

Méthode : Pour résoudre une équation où apparaissent des z, on "passe les z du même côté et on met z en facteur"

Méthode : Pour résoudre une équation du type az ² bz c 0 :

 si a ,b et c sont des réels, on calcule = b² 4 ac

Si  = 0 : l équation a une solution réelle double égale à – b 2a Si  > 0 : l équation a deux solutions réelles distinctes : – b + 

2a et b 2a Si  < 0 : l équation a deux solutions complexes conjuguées : – b + i – 

2a et – b – i –  2a

 si a ,b et c ne sont pas des réels, on essaie de factoriser et d utiliser le théorème : A B = 0 ssi A = 0 ou B = 0.

Exem ple : z² 5 a pour solutions i 5 et i 5 . Représentation géométrique :

L image du nombre complexe z a ib est le point M de coordonnées (a b ). z est l affixe du point M.

L affixe du vecteur de coordonnées ( a b ) est le nombre complexe z a i b.

Le vecteur AB a pour affixe z

z

. Le milieu I de [AB ] a pour affixe z

z

z

2

CHAPTITRE 13 : FORME TRIGONOMETRIQUE ET EXPONENTIELLE.

Pour tout nombre complexe z a ib non nul, on a : Le module de z est r | | z a² b ² . C est la distance OM.

Un argument de z est = arg (z) ( u OM ) . Il est défini à 2k près.

On a sin( ) a

| | z et cos( ) b

| | z On pose e

cos( ) isin( ).

On a alors z r (cos( ) isin( )) : c est la forme trigonométrique de z.

z re

: c est la forme exponentielle de z.

On utilise les mêmes règles de calcul qu avec la fonction exponentielle.

Méthode : pour écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique ou exponentielle :

 on calcule | | z .

 on calcule cos( ) et sin( )

 on cherche une mesure de à l aide des valeurs remarquables et du cercle trigonométrique

 on conclut

Pour tout complexe z : z  z = z ²

arg( z) = arg(z) +  (2) arg ( ) ^z =  arg(z) (2) arg( z) =   arg(z) (2) Interprétation géométrique :

A et B sont deux points d abscisses respectives z

et z

.

Alors AB | ^z

^z

| ^et ( u AB ) arg ( ^z

^z

)

A RETENIR TERMINALE S TRIGONOMETRIE

Pour tout réel x, cos( x) cos( x). On dit que la fonction cosinus est paire.

Interprétation graphique : la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l axe des ordonnées.

Pour tout réel x, sin( x) On dit que la fonction sinus est impaire

Interprétation graphique : La courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l origine.

Pour tout réel x, cos( x 2 ) cos( x) et sin( x 2 ) sin(x ). On dit que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2 ou 2 -périodiques.

Représentation graphique de la fonction sinus :

Représentation graphique de la fonction cosinus :

Méthode : Pour déterminer une limite avec des sinus ou des cosinus :

En + ou : on peut utiliser les théorèmes de comparaison en partant de 1 sin(...) 1 ou 1 cos(...) 1.

En un réel : on essaie de se ramener à la formule lim

h 0

sin( h)

h 1 en prenant soin de faire apparaître sin(X) X avec "le même X au numérateur et au dénominateur" et de vérifier que lim X = 1.

Si u est une fonction dérivable sur I, alors cos(u) et sin( u) sont dérivables sur I et on a : (cos(u))’ = u’  sin(u) et (sin(u)) = u cos(u)

Méthode : Pour résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique : On utilise le cercle trigonométrique et les valeurs remarquables apprises en première.

Attention : pour une valeur du sinus ou du cosinus, deux points conviennent sur le cercle.

A RETENIR TERMINALE S PROBABILITES

CHAPTITRE 6 : PROBABILITES CONDITIONNELLES.

La probabilité de A sachant B, notée P

(A) est le nombre P (A B)

P(B) C’est une probabilité conditionnelle Formule des probabilités totales: Si l univers d une expérience aléatoire est la réunion d événements A

; A

; ... A

d événements deux à deux incompatibles, on dite que A

; A

; ... A

forment une partition de

.

Pour tout événement B, on a alors

P(B ) P ( ^A

B ) P ( ^A

B ) ... P ( ^A

B ) P

(B) P ( ) ^A

P

(B) P ( ) ^A

... P

(B) P ( ) ^A

Lien avec l arbre :

P

(B) B A B

A

P( A) P

( ) B B A B

P ( ) A P

(B) B A B

A

P

( ) ^{B B A B}

niveau 1 niveau 2

Probabilités Probabilités conditionnelles Méthode : Pour résoudre un exercice de probabilité.

 On commence toujours par traduire l énoncé au brouillon : avec des probabilités et avec un arbre.

 On traduit de même chaque question.

 Lorsque la première question est "donner la probabilité conditionnelle ...", la réponse est généralement dans l énoncé.

 Pour déterminer la probabilité d un événement : on utilise l arbre ou la formule des probabilités totales.

Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.

Les événements A et B sont indépendants ssi P (A B) P (A ) P( B) ssi P(A) = P B (A).

ssi P(B) = P A (B)

Propriété : Si les événements A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants.

CHAPTITRE 12 : LOIS CONTINUES.

Une fonction f définie sur un intervalle I est une densité de probabilité sur I si : f est continue et positive sur I et l aire sous la courbe de f est égale à 1.

Une variable aléatoire X suit la loi de densité f si pour tout intervalle J contenu dans I, on a : P( XϵJ ) = aire du domaine défini par { ^{M( x y )} xϵJ et 0 y f( x) }

Alors P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)  

a

b

f (x)dx et P(X a) 0 Loi uniforme sur un intervalle [a b ]. :

Elle correspond à l expérience aléatoire consistant à choisir un réel au hasard dans l intervalle [a b ].

Elle a pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a b] par f (x) 1

b a .

Soit X la variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ a b]. Alors pour tous réels et de [a b ] avec

: P( X )

b a et E( X) a b 2 Loi exponentielle de paramètre > 0.

Ella a pour densité de probabilité la fonction f définie sur [0 ; + [ par f (x) e

.

Soit X la variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre . Alors pour tous réels et de +

avec : P ( X )   e

dx

 

 

e

e e et E( X) 1

Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre , alors X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c est-à-dire : pour tous réels t et h strictement positifs, on a

P

( X t h ) P (X h). C'est-à-dire que la probabilité de durer encore une durée h ne dépend pas de l âge t.

CHAPTITRE 14 : LOIS NORMALES.

Loi normale centrée réduite :

Une variable aléatoire Z suit la loi normale standard (0 1) lorsque sa densité de probabilité est la fonction définie sur IR par : (x) = 1

2 e

x²

2

. Alors P( a Z b )  

a

b

(t )dt .

On ne sait pas calculer l’intégrale car on ne connaît pas de primitive de φ donc on utilise la calculatrice ou une table.

On a E (Z) 0 et ( Z) 1.

La courbe de est une courbe en cloche centrée en 0.

On a :

u 0,05 1,96 u _0,01 2,58

P ( Z[ 1,96 1,96] ) 0,95 P ( Z[ 2,58 2,58] ) 0,99 Loi normale N ( ; ²) :

Définition :  désigne un réel et  un réel strictement positif.

La variable X suit la loi normale de paramètres  et ², notée N ( ; ²),lorsque la variable aléatoire centrée réduite X - 

 suit la loi N (0 ; 1).

On a alors E (X ) et (X)

Attention : c est ² qui apparaît dans le nom de la loi : Si X suit la loi (1 4), alors (X) 4 2.

Soit X une variable aléatoire suivant la loi N ( ; ²).

On a : P(Xϵ[ - ; + ]) 0,68 P(Xϵ[ -2 ; +2 ]) 0,95 P(Xϵ[ -3 ; +3 ]) 0,99

Méthode : Pour déterminer une probabilité avec une loi normale.

La calculatrice ne permet que de calculer P (a X b ) avec a et b réels.

 On trace à main levée la courbe de la fonction de densité (centrée en ).

 On hachure le domaine sous la courbe dont l aire est la probabilité cherchée.

 On utilise le fait que l aire des domaines à droite et à gauche de la droite d équation x est 0,5 pour se ramener à une probabilité que la calculatrice peut donner.

Exemple 1 :

X suit la loi (2 0,5² ) et on cherche P(2,5 X).

La courbe est centrée en 2.

L écart type est 0,5 et l espérance est 2.

L aire de la partie hachurée est 0,5 et P (2,5 X) est l aire de la partie colorée.

On a donc P (X 2,5) 0,5 P (2 X 2,5) et la calculatrice donne P(2 X 2,5) 0,34 donc P (X 2,5) 0,5 0,34 0,16.

Exemple 2 :

X suit la loi (2 0,5² ) et on cherche P(1 X).

La courbe est centrée en 2.

L écart type est 0,5 et l espérance est 2.

L aire de la partie hachurée est 0,5 et P (1 X ) est l aire de la partie colorée.

On a donc P (X 1) 0,5 P (1 X 2) et la calculatrice donne P(1 X 2) 0,48 donc P (X 2,5) 0,5 0,48 0,98.

Méthode : pour retrouver l écart-type connaissant une probabilité :

 On pose Z X

. Z suit la loi N (0 ; 1).

 On écrit la probabilité donnée en utilisant Z.

 On se ramène à P( Z A ) B , où B est un nombre connu et où A dépend de .

 On utilise la calculatrice (InvN ou FracNormale) pour trouver A.

 On retrouve en résolvant une équation.

Exemple :

X suit une loi normale d espérance 400 telle que P(X 385) 0,96. On cherche l écart-type de X.

 On pose Z X 400 . Z suit la loi N(0 ; 1).

 X 385 X 400 15 X 400 15

Z 15

Ainsi P (X 385) 0,96 P

 

 

Z ¹⁵ 0,96 P

 

 

Z ¹⁵ 1−0,96 1−0,04.

15 1,75 (d après la calculatrice) 8,5681

Fluctuation

Méthode : Pour déterminer si on accepte ou si on refuse une hypothèse sur la proportion d un caractère:

 On suppose que l hypothèse est vraie et que la proportion du caractère est p.

 On vérifie les hypothèses : n 30 ; np 5 et n (1 p ) 5

 On détermine l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% : I

[ ^{p 1,96}

^{p 1,96}

]

 On conclut :

Si f

appartient à l intervalle de fluctuation, on ne peut pas rejeter l hypothèse au seuil de 95%.

Si f

n appartient pas à l intervalle de fluctuation, on rejette l hypothèse au seuil de 95%.

Remarque : le risque de rejeter une population conforme est inférieur à 5%.

CHAPTITRE 16 : ESTIMATION.

Définition : On observe une fréquence f

sur un échantillon de taille n. On appelle un intervalle de confiance p au niveau de confiance de 95% l intervalle

 



  f



1 n f

1 n Méthode : Estimer une proportion inconnue.

Parmi les n individus sondés, la fréquence du caractère observé est f. On cherche à déterminer la proportion p du caractère dans l ensemble de la population.

Avec un risque d erreur de 5%, p appartient à l intervalle

 



  f 1 

n f 1

n . Méthode : Déterminer la taille de l échantillon à choisir.

On veut pouvoir, en appliquant la méthode précédente, déterminer un intervalle d amplitude donnée.

On cherche le plus petit entier n tel que 2

n , c'est-à-dire n

 

  2

.

A RETENIR TERMINALE S

VECTEURS DE L ESPACE

Trois vecteurs u , v et w sont coplanaires si et seulement si on peut déterminer trois réels , et tels que u v w 0 , c'est-à-dire si on peut exprimer un d entre eux en fonctions des trois autres.

Une droite est orthogonale à un plan ssi elle est orthogonale à deux droites non parallèles de ce plan.

Vecteurs et points de l espace.

Si u et v ont pour coordonnées respectives ( x y z) et (x y ' z '), alors u . v xx yy ' zz '.

Méthode : Déterminer si deux vecteurs sont colinéaires.

On cherche si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Méthode : Déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux.

On cherche si leur produit scalaire est nul.

Méthode : Déterminer si trois points définissent un plan.

On vérifie qu ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si deux vecteurs formés avec ces trois points ne sont pas colinéaires.

Droites de l espace.

La droite de vecteur directeur u passant par A ( ^x

^y

^z

) a pour représentation paramétrique le système



  x  x A  ta y  y A  tb

z  z A  tc , t ϵ .

Méthode : Déterminer une représentation paramétrique d une droite.

 On cherche les coordonnées d un vecteur directeur (par exemple AB si la droite est la droite (AB )) et celles d un point.

 On applique la propriété ci-dessus.

Méthode : Déterminer un vecteur directeur et des points d une droite dont on connaît une représentation.

 Pour un vecteur directeur, on "prend les nombres devant le paramètre t".

 Pour des points, on donne des valeurs à t.

Méthode : Déterminer si deux droites sont parallèles.

On cherche si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (coordonnées proportionnelles).

Méthode : Déterminer si deux droites sont orthogonales (sécantes ou non).

On cherche si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (produit scalaire nul).

Méthode : Déterminer l intersection de deux droites.

 On cherche si les droites sont parallèles (méthode ci-dessus)

 Si oui : on cherche si elles sont confondues en choisissant un point d une des deux droites et en cherchant s il appartient à l autre.

Si non : on cherche si elles sont sécantes en résolvant un système formé avec les représentations des deux droites : on a trois équations et 2 inconnues (t et t ) [Attention : bien utiliser deux lettres différente : t et t ] Si le système a une solution, les droites sont sécantes, et donc coplanaires. On cherche les coordonnées de leur point d intersection en remplaçant t dans la représentation paramétrique d une des droites par la valeur trouvée en résolvant le système.

Sinon, elle ne sont pas coplanaires.

Remarque : des droites parallèles ou sécantes sont toujours coplanaires.

Plans de l espace

Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un plan.

On vérifie qu il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Méthode : Déterminer une équation d un plan.

 On cherche un vecteur normal n

 

 

 

  a b c

à ce plan (souvent donné dans l énoncé, sinon voir le cours).; P a pour équation ax b y cz d 0.

 On détermine d en remplaçant x ,y et z par les coordonnées d un point du plan.

 On conclut.

Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan.

Si le plan a pour équation ax by cz d 0, le vecteur n

 

 

 

  a b c

est normal au plan.

Méthode : Déterminer si deux plans sont parallèles.

On cherche si leurs vecteurs normaux sont colinéaires (coordonnées proportionnelles).

Méthode : Déterminer si deux plans sont orthogonaux.

On cherche si les vecteurs normaux sont orthogonaux (produit scalaire nul).

Méthode : Déterminer l intersection de deux plans.

 On cherche si les deux plans sont parallèles. Sinon, leur intersection est une droite à déterminer :

 On écrit un système avec les équations des deux plans.

 On exprime une des inconnues ( x y z) (par exemple x) en fonction des deux autres.

 On écrit un système de représentation paramétrique de la droite d intersection en posant x t (si x est la variable en fonction de laquelle on a exprimé les deux autres).

Droites et plans de l espace

Méthode : Déterminer si une droite et un plan sont parallèles.

On cherche si un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan sont orthogonaux (produit scalaire nul).

Méthode : Déterminer si une droite et un plan sont orthogonaux.

On cherche si un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal au plan sont colinéaires (coordonnées proportionnelles)

Méthode : Déterminer l intersection d une droite et d un plan.

 On cherche si la droite et le plan sont parallèles (méthode ci-dessus)

 Si oui : on cherche si la droite est contenue dans le plan en choisissant un point de la deux droites et en cherchant s il appartient au plan (en remplaçant x ; y et z par les coordonnées du point).

Si non : on cherche le point d intersection en "faisant un système" avec les équations de la droite et celle

du plan.