Vecteurs et droites I- Quelques rappels

V1 – Vecteurs et droites

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Vecteurs et droites 1

I- Quelques rappels (Polycopié) II- Colinéarité de deux vecteurs Définition :

•

Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel tel que , (c’est-à-dire qu’ils ont la même direction).

•

Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur .

Ex : Les vecteurs

5; 3

^et

15; 9

sont colinéaires car

3 ou

Critère de colinéarité :

Propriété : Soit (O ; _; un repère.

Deux vecteurs ; et

;

sont colinéaires si et seulement si

’ – ’ 0

(Cela traduit la proportionnalité des coordonnées des deux vecteurs.) Démonstration :

1) Considérons

non nuls :

• Supposons que

sont colinéaires.

sont non nuls, il existe un réel k tel que

=k

^{et donc,} ’ ’ .

Donc ’ – ’ – – 0.

• Supposons que ’ – ’ 0.

Puisque est non nul, alors l’une de ses coordonnées est non nulle par exemple . On peut donc écrire x y

y x'

'= . Donc en posant x

x', on a ’ et ’ . Donc

^et

^et sont colinéaires.

2 Si l’un des vecteurs est nul, par exemple

, il est colinéaire à tout vecteur

. On a 0 et donc on a ’ – ’ 0.

Ex : Les vecteurs

$√5 1; 1& et $ 4; √5 ( 1&

sont-ils colinéaires ? Déterminer y de telle sorte que

3;

^et

)

_*

; 2+

soient colinéaires.

III- Equations de droites

1) Vecteur directeur

Définition : Soit D une droite du plan et un vecteur non nul.

est un vecteur directeur de D s’il existe deux points distincts A et B de D tels que ,- .

( et D ont la même direction).

Remarque : une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires.

Propriété : Soit un vecteur directeur d’une droite D.

Le vecteur est un vecteur directeur de D si et seulement si st non nul et colinéaire à .

Démonstration :

est un vecteur directeur de D donc il existe deux points distincts A et B de D tels que

,-

- Si

est un vecteur directeur de D, alors il est non nul et il existe deux points distincts E et F de D tels que

./

. Les points A, B, E et F sont alignés sur D donc les vecteurs

,-

^et

./

sont colinéaires et donc et

sont colinéaires.

- Si

est non nul et colinéaire à

, il existe un point C, distinct de A, tel que

,0

et un réel tel que

^. Alors

,0 ,-

donc A, B et C sont alignés, autrement dit le point C appartient à la droite D. Par suite,

^est un vecteur directeur de la droite D.

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2

Ex :

2) Equations de droites Propriété caractéristique :

•

Toute droite D du plan dans un repère (o ; ; ) admet une équation cartésienne de la 1234 5 + 6 + 7 0 57 (5 ; 6) ≠ (0 ; 0) (Cela signifie que 5 et 6 ne sont pas nuls tous les deux).

•

Le vecteur de coordonnées (−6

; 5) est un vecteur directeur de D.

Démonstration :

Soit ,

( x

_A

; y

_A

)

un point de la droite D et

(α ; β) un vecteur directeur de D.

Un point 9( ; ) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs ,9 )^:;:_=;=^<_<+ et

)

^>_?

+

sont colinéaires, soit :

0 ) (

)

( x − x

_A

− α y − y

_A

=

β

^⇔

β x − α y + α y

_A

− β x

_A

= 0

Cette équation peut s'écrire :

ax + by + c = 0

avec

a = β

et

b = − α

^et

c = α y

A

− β x

A. Les coordonnées de

^sont @2A7 (−6 ; 5).

Remarque : Une droite a une infinité d’équations cartésiennes, il suffit de multiplier chaque membre par n’importe quel réel non nul : 5 + 6 + 7 0.

Ex :

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3

3) Equation réduite d’une droite Propriété :

Dans un repère, toute équation de la forme 5 + 6 + 7 0 57 5 ; 6 8 0 ; 0 est l’équation d’une droite.

Démonstration :

• BC 6 ≠ 0 : 5 ( 6 ( 7 0 équivaut à 6 5 – 7 équivaut à − b a –

b

c (FCGH 6 ≠ 0

On obtient une équation de la forme 4 + F, avec 4 − b

a F − b

c, qui est l’équation réduite

d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.

• BC 6 0 5I23G 5 8 0 : 5 ( 6 ( 7 0 équivaut à 5 + 7 0 équivaut à − a

c (FCGH 5 ≠ 0

On obtient une équation de la forme , avec − a

c , qui est l’équation réduite d’une droite parallèle à

l’axe des ordonnées.

Propriété :

•

Si D : 4 + F , un vecteur directeur de D a pour coordonnées (1 ;

4).

•

Si D : , un vecteur directeur de D a pour coordonnées (0 ;

1)

Démonstration :

• 4 + F ssi 4 – + F 0 Donc 6 −1 et 5 4 et un vecteur directeur a pour coordonnées (1 ; 4

• : équation réduite d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées dont un vecteur directeur est le vecteur unitaire

de coordonnées (0; 1)

Exemple : Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point ,(−3; 2) et de vecteur directeur

(0; 4

dans le repère

(O; ;

^.

est colinéaire à

. Donc l’équation réduite de la droite est de la forme . Or _K −3. Donc une équation de la droite est −3. 2 ( 3 0

IV- Décomposition de vecteurs

Propriété : Soit A, B et C trois points distincts, non alignés du plan.

Pour tout point M du plan,

-

il existe deux réels tels que ,9 ,9 + ,0

-

ce couple de réels ( ;

) est unique.

On dit que (, ; ,- ; ,0 est un repère du plan et le couple _{( ;}

) est le couple de coordonnées du point M

dans ce repère.