EXERCICES SUR LE DEUXIEME DEGRE

(1)

SUR LE DEUXIEME DEGRE

G.EGUETHER

7 septembre 2017

(2)

(3)

1 Equations´ 1

1.1 Equations simples´ . . . 1

1.2 Existence et signe des racines . . . 10

1.3 Relations entre les racines . . . 14

1.4 Expressions sym´etriques des racines . . . 23

1.5 Syst`emes d’´equations . . . 30

1.6 Position d’un nombre par rapport aux racines . . . 43

1.7 Exercices g´en´eraux . . . 49

2 Equations se ramenant au deuxi`´ eme degré 67 2.1 Factorisation et réduction au même dénominateur . . . 67

2.2 Equations avec valeurs absolues . . . .´ 71

2.3 Equations bicarr´ees . . . .´ 75

2.4 Equations homog`enes´ . . . 79

2.5 Autres changements de variable . . . 83

2.6 Equations avec radicaux . . . .´ 86

3 Etude de signe - In´´ equations 103 3.1 Etude de signe . . . 103´

3.2 In´equations . . . 104

3.3 Syst`emes d’in´equations . . . 110

3.4 Inéquations se ramenant au deuxième degré . . . 113

4 Divers 123 4.1 Extrema . . . 123

4.2 Extrema et g´eom´etrie . . . 125

4.3 Autres problèmes issus de la géométrie . . . 132

i

(4)

Avertissement

On trouvera dans ce qui suit de nombreux exercices sur les équations et inéquations du deuxième degré

`

a coefficients réels.Les solutions (ou racines) d’une équation, seront toujours cherchées dans Ret, par exemple, on dira qu’une équation n’a pas de racine, lorsqu’elle n’a pas de racine réelle.

Notations

Dans les exercices suivants, la variable sera notéex. Par ailleursmoupetc. . . désignent des paramètres réels.

D’une manière systématique, lors de l’étude d’une équation du deuxième degré ax²+bx+c= 0

on notera

f(x) =ax²+bx+c . Pour le trinôme précédent, on notera le discriminant

∆ =b²−4ac . Si ∆ est positif les racines de l’´equation sont alors

−b−√

∆

2a et −b+√

∆

2a .

On notera aussi, lorsqueb= 2b^′, le discriminant r´eduit

∆^′ =b^′²−ac , Si ∆^′ est positif les racines de l’´equation sont alors

−b^′−√

∆^′

a et −b^′+√

∆^′

a .

Lorsqu’elles existent les racines seront not´ees x1 etx2, et l’on posera S=x1+x2 =−b

a et P =x1x2 = c a.

En général, on noteraS l’ensemble des solutions d’une équation ou inéquation de la variablex, etM lorsque la variable est le paramètre m.

Les coefficients binomiaux sont not´es n

k

= n!

k!(n−k)!.

Remarque : on ne détaillera pas toujours le calcul des racines d’une équation du deuxième degré.

(5)

Equations ´

1.1 Equations simples ´

(1) R´esoudre l’´equation

7(x−1)²+ 4(x−1) = 0.

En factorisant, l’´equation s’´ecrit

(x−1)

7(x−1) + 4

= 0, c’est-`a-dire

(x−1)(7x−3) = 0, d’o`u

S =

1 , 3 7

(6x−5)²−4(x+ 3)² = 0.

En utilisant une identité remarquable, l’équation s’écrit

(6x−5) + 2(x+ 3) (6x−5)−2(x+ 3)

(8x+ 1)(4x−11) = 0,

(6)

d’o`u

S =

−1 8 , 11

4

(4x−2)²−3(x+ 7)² = 0.

En utilisant une identité remarquable, l’équation s’écrit (4x−2) +√

3(x+ 7) (4x−2)−√

3(x+ 7)

(4 +√

3)x−2 + 7√

3 (4−√

3)x−2−7√ 3

= 0, d’o`u les racines

2−7√ 3 4 +√

3 et 2 + 7√ 3 4−√

3 . En rendant les d´enominateurs entiers, on obtient

2−7√ 3 4 +√

3 = (2−7√

3)(4−√ 3) (4 +√

3)(4−√

3) = 29−30√ 3

13 ,

et

2 + 7√ 3 4−√

3 = (2 + 7√

3)(4 +√ 3) (4−√

3)(4 +√

3) = 29 + 30√ 3

13 ,

d’o`u

S =

(29−30√ 3

13 , 29 + 30√ 3 13

)

3x²+ 7x−10 = 0.

On calcule

∆ =b²−4ac= 49 + 120 = 169 = 13²,

(7)

d’o`u les racines −7±13

6 et, en simplifiant, S =

1, −10 3

2x²−5x+ 2 = 0.

On calcule

∆ =b²−4ac= 25−16 = 9 = 3², d’o`u les racines 5±3

4 et, en simplifiant,

S =

2 , 1 2

x²−17x+ 52 = 0.

On calcule

∆ =b²−4ac= 289−208 = 81 = 9², d’o`u les racines 17±9

2 et, en simplifiant,

S ={4 , 13}

3x²−15x+ 4 = 0.

(8)

On calcule

∆ =b²−4ac= 225−48 = 177, d’o`u

S =

(15 +√ 177

6 , 15−√ 177 6

)

3x²+ 15x+ 1 = 0.

On calcule

∆ =b²−4ac= 225−12 = 213, d’o`u

S =

(−15 +√ 213

6 , −15−√ 213 6

)

4x²−17x+ 2 = 0.

On calcule

∆ =b²−4ac= 289−32 = 257, d’o`u

S =

(17 +√ 257

8 , 17−√ 257 8

)

11x²+ 133x−5 = 0.

(9)

On calcule

∆ =b²−4ac= 17689 + 220 = 17909, d’o`u

S =

(−133 +√ 17909

22 , −133−√

17909 22

)

4x²−17x−3 = 0.

On calcule

∆ =b²−4ac= 289 + 48 = 337, d’o`u

S =

(17 +√ 337

8 , 17−√ 337 8

)

6x²−12x+ 3 = 0.

On calcule

∆^′=b^′²−ac= 36−18 = 18, d’o`u les racines 6±√

18

6 et, en simplifiant par 3, S =

(2 +√ 2

2 , 2−√ 2 2

)

(3x−1)(4x+ 7) + 2 = 0.

(10)

On d´eveloppe tout d’abord, ce qui donne l’´equation

12x²+ 17x−5 = 0. On calcule

∆ =b²−4ac= 289 + 240 = 529 = 23², d’o`u les racines −17±23

1 4 , −5

3

(2x−1)²+ (6x+ 1)²−8 = 0.

On développe tout d’abord, ce qui donne, après simplification par 2, l’équation 20x²+ 4x−3 = 0.

On calcule

∆^′ =b^′²−ac= 4 + 60 = 64 = 8², d’o`u les racines −2±8

3 10 , −1

2

(1 +√

2)x²−2(1−√

2)x+ 1−3√ 2 = 0.

On calcule

∆^′=b^′²−ac = (1−√

2)²−(1 +√

2)(1−3√ 2)

= (3−2√

2)−(−5−2√ 2)

= 8 = (2√ 2)²,

(11)

d’o`u les racines 1− 2±2 2 1 +√

2 . Une des racines vaut 1, pour l’autre, en rendant le d´enominateur entier,

1−3√ 2 1 +√

2 = (1−3√ 2)(√

2−1) (1 +√

2)(√

2−1) =−7 + 4√ 2. d’o`u

S =

1 ,−7 + 4√ 2

x²−(3 + 2√

5)x+ 7 + 3√ 5 = 0.

On calcule

∆ =b²−4ac = (3 + 2√

5)²−4(7 + 3√ 5)

= (29 + 12√

5)−(28 + 12√ 5)

= 1, d’o`u les racines 3 + 2√

5±1

2 +√

5,1 +√ 5

x²−2(m+ 2)x+m²+ 4m−5 = 0.

On calcule

∆^′ =b^′²−ac= (m+ 2)²−(m²+ 4m−5) = 9 = 3². d’o`u les racines (m+ 2)±3,et finalement

S ={m+ 5, m−1}

(12)

x²−2mx+m²−4 = 0.

On calcule

∆^′=b^′²−ac=m²−(m²−4) = 4 = 2². d’o`u les racines

S ={m+ 2, m−2}

x²−2(m−1)x+m²−2m−35 = 0.

On calcule

∆^′=b^′²−ac= (m−1)²−(m²−2m−35) = 36 = 6². d’o`u les racines m−1±6,et finalement

S ={m+ 5, m−7}

(m+ 2)²x²−(3m−2)(m+ 2)x+ 2m²+m−15 = 0.

Sim=−2, l’´equation devient

−9 = 0 et n’a pas de solution.

(13)

Dans le cas contraire, on calcule

∆ =b²−4ac = (3m−2)²(m+ 2)²−4(m+ 2)²(2m²+m−15)

= (m+ 2)²

(9m²−12m+ 4)−4(2m²+m−15)

= (m+ 2)²(m²−16m+ 64)

= (m+ 2)²(m−8)² . d’o`u les racines (3m−2)(m+ 2)±(m+ 2)(m−8)

2(m+ 2)² et, en simplifiant par 2(m+ 2), S =

2m−5

m+ 2 , m+ 3 m+ 2

p!(n−p)!x²+n!x+ [(n−1)!]²

(p−1)!(n−p−1)! = 0, o`u netp sont des nombres entiers tels que 1≤p≤n.

En divisant par p!(n−p)!, l’´equation peut s’´ecrire x²+

n p

x+

n−1 p

n−1 p−1

= 0. ou encore, en raison des formules sur les coefficients binomiaux,

x²+

n−1 p

+

n−1 p−1

x+

n−1 p

n−1 p−1

= 0. On a donc

S =

n−1 p

,

n−1 p−1

(mx+ 2)² = (x−m)².

(14)

L’équation équivaut à

(mx+ 2)²−(x−m)² = 0, puis, en utilisant une identit´e remarquable, `a

(m+ 1)x+ 2−m

(m−1)x+ 2 +m

= 0.

sim6=±1 S =

m−2

m+ 1 , m+ 2 1−m

sim = 1 S =

−1 2

sim =−1 S = 1

2

1.2 Existence et signe des racines

(23) Pour quelles valeurs dem l’´equation

(m−1)x²+ (m−5)x+m−4 = 0 admet-elle deux racines distinctes non nulles de signes contraires ?

C’est le cas si et seulement si le produit P est strictement n´egatif. On a P = m−4

m−1,

qui est du signe de (m−1)(m−4). Cette expression est n´egative entre les racines 1 et 4, donc M =M_P = ] 1, 4 [

(m−1)x²−2(m+ 2)x+m−4 = 0 admet-elle deux racines distinctes strictement positives ?

(15)

C’est le cas si et seulement si les trois nombres ∆^′,S etP sont strictement positifs. On a

∆^′ = (m+ 2)²−(m−1)(m−4) = 9m , puis

S = 2m+ 2

m−1 et P = m−4 m−1.

Les ensembles sur lesquels ces expressions sont strictement positives sont respectivement M_∆_′ = ] 0,∞[ , M_S = ]−∞,−2 [∪] 1, ∞[ , M_P = ]−∞,1 [∪] 4, ∞[.

Alors l’ensemble des valeurs demcherch´ees est l’intersection de ces trois ensembles. C’est un ensemble de nombres positifs, et l’on constate que la partie positive de M_P est incluse dans les deux autres, donc

M = ] 4, ∞[

(m+ 2)x²−(m+ 4)x−m+ 2 = 0 admet-elle deux racines distinctes strictement positives ?

C’est le cas si et seulement si les trois nombres ∆,S etP sont strictement positifs. On a

∆ = (m+ 4)²+ 4(m+ 2)(m−2) = 5m²+ 8m=m(5m+ 8), puis

S= m+ 4

m+ 2 et P = 2−m m+ 2.

Les ensembles sur lesquels ces expressions sont strictement positives sont respectivement M_∆= ]−∞,−8/5 [∪] 0,∞[ , M_S = ]−∞,−4 [∪]−2,∞[ , M_P = ]−2,2 [ .

Alors l’ensemble des valeurs de m cherchées est l’intersection de ces trois ensembles que l’on peut déterminer facilement en rayant sur la droite réelle les parties qui ne sont pas conservées.

| | | | |

−4 −2

−8 5

0 2

/ / / / /

| | | | |

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

Il reste

M = ]−2,−8/5 [∪] 0,2 [

(16)

(m−4)x²+ (m+ 2)x−m= 0 admet-elle deux racines distinctes strictement positives ?

C’est le cas si et seulement si les trois nombres ∆,S etP sont strictement positifs. On a

∆ = (m+ 2)²+ 4m(m−4) = 5m²−12m+ 4 = (m−2)(5m−2), puis

S =−m+ 2

m−4 et P =− m m−4.

Les ensembles sur lesquels ces expressions sont strictement positives sont respectivement M_∆= ]−∞,2/5 [∪] 2, ∞[ , M_S= ]−2,4 [ , M_P = ] 0,4 [ .

Alors l’ensemble des valeurs demcherchées est l’intersection de ces trois ensembles. On procède comme dans l’exercice prćédant.

| | | | |

−2 0 2

5

2 4

/ / / / / | | | | |

| | | | | \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \

Il reste

M = ] 0,2/5 [∪] 2,4 [

x²−(4m+ 6)x+ 6m²+ 7m+ 2 = 0 admet-elle deux racines distinctes strictement positives ?

C’est le cas si et seulement si les trois nombres ∆^′,S etP sont strictement positifs. On a

∆^′= (2m+ 3)²−(6m²+ 7m+ 2) =−2m²+ 5m+ 7 = (m+ 1)(−2m+ 7),

(17)

puis

S= 2(2m+ 3) , P = 6m²+ 7m+ 2 = (3m+ 2)(2m+ 1).

Les ensembles sur lesquels ces expressions sont strictement positives sont respectivement M_∆_′ = ]−1,7/2 [ , M_S = ]−3/2,∞[ , M_P = ]−∞,−2/3 [∪]−1/2,∞[.

Alors l’ensemble des valeurs demcherchées est l’intersection de ces trois ensembles. On prosède comme dans les exercices prćédants.

| | | | |

−3 2

−1

−2

3 −1

2

7 2

/ / / / / / / / / /

/ / / / /

| | | | | \ \ \ \ \

Il reste

M = ]−1,−2/3 [∪]−1/2,7/2 [

(28) Les racines x1 etx2 d’une équation du deuxième degré vérifient le système x1+x2−2x1x2 = 0

mx1x2−(x1+x2) = 2m+ 1 .

Former une telle ´equation et trouver pour quelles valeurs dem elle a deux racines positives.

En additionnant membre `a membre, on obtient

(m−2)x1x2= 2m+ 1. La valeur m= 2 est exclue. On a alors

x1x2= 2m+ 1

m−2 et x1+x2 = 22m+ 1 m−2 , d’o`u, par exemple, l’´equation

(m−2)x²−2(2m+ 1)x+ 2m+ 1 = 0

Son discriminant r´eduit vaut

∆^′= (2m+ 1)²−(m−2)(2m+ 1) = (2m+ 1)(m+ 3). Le discriminant est positif en dehors de l’intervalle ]−3,−1/2 [ .

(18)

D’autre partS etP sont de mˆeme signe et sont positifs en dehors de l’intervalle ]−1/2,2 [ . Au final on exlut ]−3,2 [ et l’ensemble cherch´e est donc

M = ]−∞,−3 ]∪] 2, +∞[

(29) Etudier l’existence et le signe des racines de l’´equation mx²−2mx+m−8 = 0 .

En déhors du cas m = 0, où l’équation devient −8 = 0 et n’a pas de solution, on étudie le signe de

∆^′,S etP. On a

∆^′ =m²−m(m−8) = 8m , S= 2 , P = m−8 m . L’´equation n’a pas de solutions si m≤0.

Lorsque m appartient à l’intervalle ] 0,8 [ le produit est négatif, donc il y a deux racines de signes opposés.

Lorsque m= 8, une racine est nulle et l’autre vaut 2.

Lorsque m appartient `a l’intervalle ] 8,∞[ , la somme et le produit sont positifs, donc il y a deux racines positives.

1.3 Relations entre les racines

x²−mx−m²−5 = 0 admet-elle deux racines v´erifiant la relation

(1) 4

x1x2

= 1 x1

+ 1 x2 −1

2 ?

(19)

Comme le produit des racines −m²−5 est strictement négatif, l’équation a toujours deux racines non nulles. L’équation (1) s’écrit encore

4 x1x2

= x1+x2

x1x2 −1 2, c’est-`a-dire

4 P = S

P −1 2, ou encore

4 =S−P

2 =m+m²+ 5

2 .

Alorsm est racine de l’´equation

m²+ 2m−3 = 0, donc

M ={1 , −3}

mx²−2(m+ 1)x+m−4 = 0 admet-elle deux racines v´erifiant la relation

(1) (4x1+ 1)(4x2+ 1) = 18 ?

Tout d’abord

∆^′= (m+ 1)²−m(m−4) = 6m+ 1 doit ˆetre positif, doncm≥ −1/6.

L’´equation (1) s’´ecrit

16x1x2+ 4(x1+x2) + 1 = 18, c’est-`a-dire

16P+ 4S−17 = 0, ou encore

16m−4

m + 8m+ 1

m −17 = 0. Alorsm est racine de l’´equation

7m−56 = 0, donc

M ={8}

(20)

x²−2mx+m+ 2 = 0 admet-elle deux racines v´erifiant la relation

(1) 4(x²1+x²2) = 19 ?

Tout d’abord

∆^′ =m²−m−2 = (m+ 1)(m−2), est positif dans l’ensemble

M_∆_′ = ]−∞,−1 ] ∪ [ 2,∞[. L’´equation (1) s’´ecrit

4

(x1+x2)²−2x1x2

4(S²−2P) = 19, ou encore

16m²−8(m+ 2) = 19, et finalement

16m²−8m−35 = 0. Le discriminant r´eduit de cette ´equation vaut

δ^′ = 16 + 16×35 = 16×36 = 4²6² = 24². Les racines sont alors 4±24

16 c’est-`a-dire 7/4 et −5/4. Seule la seconde est dansM_∆_′, donc M =

−5 4

(33) Pour quelles valeurs dem l’´equation m−1

m x²−2(m−1)x+m= 0 admet-elle deux racines v´erifiant la relation

(1) (x1−x2)² = 6 ?

(21)

Tout d’abord

∆^′= (m−1)²−(m−1) = (m−1)(m−2), est positif dans l’ensemble

M_∆_′ = ]−∞,1 ] ∪ [ 2, ∞[. L’´equation (1) s’´ecrit

(x1+x2)²−4x1x2= 6, c’est-`a-dire

S²−4P = 6, ou encore

4m²−4 m²

m−1 = 6, et finalement

4m³−8m²−6m+ 6 = 0.

On s’aper¸coit que−1 est racine. On peut donc mettre (m+ 1) en facteur dans membre de gauche et l’on obtient

(m+ 1)(4m²−12m+ 6) = 0.

On cherche les racines de 2m²−6m+ 3. Le discriminant r´eduit de ce trinˆome vaut δ^′ = 3, et l’on a comme racines 3±√

3

2 . On v´erifie facilement que

−1< 3−√ 3

2 <1<2< 3 +√ 3

2 ,

et toutes les racines conviennent, donc

M = (

−1 , 3−√ 3

2 , 3 +√ 3 2

)

(34) Etablir une relation ind´ependante de m qui lie les racines de l’´equation mx²−2(m−2)x+m−3 = 0.

On a

S = 2m−2

m = 2− 4

m et P = m−3

m = 1− 3 m.

(22)

Alors, en ´eliminant 1/m, on obtient S 4 −P

3 = 1 2 −1

3 = 1 6. Finalement

3S−4P = 2, ce qui donne la relation

3(x1+x2)−4x1x2 = 2

(35) Etablir une relation ind´ependante de m qui lie les racines de l’´equation x²−(2m²−2m+ 1)x−(2m−1)²= 0.

1) Existe-t-il une valeur de mtelle qu’une des racines soit égale à −2 ? à −1 ? 2) Existe-t-il une valeur de mtelle que les racines soient égales ? soient opposés ?

On a

S= 2m²−2m+ 1 et P =−(2m−1)² =−4m²+ 4m−1, et en ´eliminantm,

2S+P = 1, c’est-`a-dire

2(x1+x2) +x1x2 = 1, ou encore

(x1+ 2)(x2+ 2) = 5

1) Il résulte de la relation précédente que l’on ne peut avoir une racine égale à −2. Par contre si x1 =−1, alorsx2= 3, donc

−3 =P =−(2m−1)², c’est-`a-dire

2m−1 =±√ 3. Finalement

M =

(1−√ 3

2 , 1 +√ 3 2

)

(23)

2) Six1 =x2, alors

P =x²1=−(2m−1)².

Ceci n’est possible que six1 =x2= 0 doncS =P = 0, et l’équation 2S+P = 1 n’est pas vérifiée.

Six1 =−x2, alors

(x1+ 2)(x2+ 2) = 4−x²1 = 5, ce qui est impossible ´egalement.

(36) 1) Trouver une condition n´ecessaire portant sur P pour que les racines de l’´equation x²−Sx+P = 0

v´erifient la relation

x²1+x²2 = 1.

2) Trouver deux nombres dont la somme des carrés et la somme des inverses soient égales à 1.

1) Il faut d´ej`a que ∆ =S²−4P soit positif ou nul. Ensuite

x²1+x²2 = (x1+x2)²−2x1x2=S²−2P = 1. On en d´eduit

∆ = 1−2P ≥0. On trouve donc la condition n´ecessaire

P ≤1/2

2) Le syst`eme







x²1+x²2 = 1 1

x1

+ 1 x2

= 1 ,

devient







S²−2P = 1 S

P = 1 ,

et conduit `a l’´equation

P²−2P −1 = 0,

(24)

dont les racines sont 1 + 2 et 1− 2. Seule la seconde racine v´erifie la condition P ≤ 1/2. Alors, puisque S=P, les nombres x1 etx2 sont les racines de l’´equation

x²−(1−√

2)x+ 1−√ 2 = 0. On a

∆ =S²−4P = 1−2P = 1−2(1−√

2) = 2√ 2−1. Les nombres cherch´es sont donc

1−√ 2 +p

2√ 2−1

2 et 1−√

2−p 2√

2−1 2

(37) D´eterminer mpour que les racines de l’´equation

x²−(2m+ 1)x+ 3m+ 3 = 0 v´erifient la relation

2x1+ 3x2 = 18.

On a en particulier le syst`eme

x1+x2 = 2m+ 1 2x1+ 3x2 = 18 , qui a comme solution

x1= 6m−15 et x2 = 16−4m . Alors

P = 3m+ 3 = (6m−15)(16−4m), ce qui équivaut, après division par 3, à

8m²−51m+ 81 = 0. On a

δ= 51²−32×81 = 9, d’o`u les racines m= 51±3

16 , c’est-`a-dire

m= 3 et m= 27 8 . D’autre part le discriminant

∆ = (2m+ 1)²−12(m+ 1) = 4m²−8m−11

(25)

a pour racine positive 2 +√ 15

2 , et l’on v´erifie que 2 +√

15

2 ≤3≤ 27 8 . Le deux racines conviennent, donc

M =

3, 27 8

(2m−5)x²−2mx+m= 0 v´erifient la relation

x1 = 2x2.

On a en particulier le syst`eme







x1+x2 = 2m 2m−5 x1−2x2 = 0

,

qui a comme solution

x1 = 4m

3(2m−5) et x2 = 2m 3(2m−5). Alors

P = m

2m−5 = 8m² 9(2m−5)² , ce qui ´equivaut `a

m 2m−5

8m

9(2m−5) −1

= 0, et finalement `a

m(2m−9) = 0.

La solution m= 0, donne l’´equation x²= 0 qui admet la racine double x1 =x2= 0.

Par ailleurs

∆^′ =m²−m(2m−5) =m(5−m) est positif pourm= 9/2, et cette solution convient ´egalement. Finalement

M =

0, 9 2

(26)

(m−4)x²−2(m−1)x+m+ 2 = 0 v´erifient la relation

(1) x2= 5 + 3x1

On s’aper¸coit que 1 est toujours racine de l’´equation, (donc ∆ est positif). L’autre racine vaut donc P = m+ 2

m−4. Alors ou bien

(x1, x2) =

1,m+ 2 m−4

et l’´equation (1) devient

m+ 2 m−4 = 8, et a pour racine 34/7, ou bien

(x1, x2) =

m+ 2 m−4,1

et l’´equation (1) devient

1 = 5 + 3m+ 2 m−4, et a pour racine 10/7. Finalement

M = 34

7 , 10 7

(40) Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’´equation a³x²+bx+c³ = 0 (a6= 0)

poss`ede deux racines dont l’une est le carr´e de l’autre.

(27)

Si l’on a x1 =x²2, alors

x1x2 =x³2= c³ a³ , et donc

x2 = c a. Ensuite

−b

a³ =x1+x2 =x²2+x2 =c a

² + c

a, c’est-`a-dire

−b=c²a+ca².

R´eciproquement, si cette ´equation est satisfaite, alors les nombresc/a et (c/a)² ont pour somme c

a 2

+ c a =− b

a³ , et pour produit (c/a)³ et sont donc racines de l’´equation

x²+ b

a³ x+c a

³

= 0, c’est-`a-dire de

a³x²+bx+c³ = 0. La condition n´ecessaire et suffisante cherch´ee est donc

b=−ac(a+c)

Remarque : on peut constater que le discriminant est bien positif dans ce cas, en effet

∆ =b²−4a³c³=a²c²(a+c)²−4a³c³ =a²c²

(a+c)²−4ac

=a²c²(a−c)².

1.4 Expressions sym´ etriques des racines

(41) Soit S etP la somme et le produit des racines d’un trinôme du deuxième degré de racines x1 etx2. Ecrire en fonction de S etP les expressionsEk(x1, x2) suivantes.

E1(x1, x2) = (x1−2)(x2−2) En d´eveloppant, on obtient

(x1−2)(x2−2) =x1x2−2(x1+x2) + 4, d’o`u

E1(x1, x2) =P−2S+ 4

(28)

E2(x1, x2) = (x1−2)²+ (x2−2)² En d´eveloppant, on obtient

(x1−2)²+ (x2−2)² =x²1+x²2−4(x1+x2) + 8 =

(x1+x2)²−2x1x2

−4(x1+x2) + 8, d’o`u

E2(x1, x2) =S²−2P−4S+ 8

E3(x1, x2) = (3x1−4x2)(3x2−4x1) En d´eveloppant, on obtient

(3x1−4x2)(3x2−4x1) = 25x1x2−12(x²1+x²2) = 49x1x2−12(x1+x2)², d’o`u

E3(x1, x2) = 49P −12S²

E4(x1, x2) =x³1+x³2

En factorisant, on obtient

x³1+x³2= (x1+x2)(x²1−x1x2+x²2) = (x1+x2)

(x1+x2)²−3x1x2

, d’o`u

E4(x1, x2) =S(S²−3P)

E5(x1, x2) = (x1−2)³+ (x2−2)³ En factorisant, on obtient

(x1−2)³+ (x2−2)³= (x1+x2−4)

(x1−2)²−(x1−2)(x2−2) + (x2−2)² , d’o`u, en utilisant E1 etE2,

(x1−2)³+ (x2−2)³= (S−4)

S²−2P−4S+ 8−(P −2S+ 4) , et finalement

E5(x1, x2) = (S−4)(S²−3P −2S+ 4)

(29)

E6(x1, x2) =x⁴1+x⁴2

On ´ecrit

x⁴1+x⁴2= (x²1+x²2)²−2x²1x²2=

(x1+x2)²−2x1x2²

−2(x1x2)² = (x1+x2)⁴−4(x1+x2)²x1x2+2(x1x2)², d’o`u

E6(x1, x2) =S⁴−4S²P + 2P²

E7(x1, x2) = x1−3

x2−4 +x2−3 x1−4

En réduisant au même dénominateur, on obtient x1−3

x2−4 +x2−3

x1−4 = (x1−3)(x1−4) + (x2−3)(x2−4) (x1−4)(x2−4) , d’o`u

x1−3

x2−4 +x2−3

x1−4 = (x²1+x²2)−7(x1+x2) + 24

x1x2−4(x1+x2) + 16 = (x1+x2)²−2x1x2−7(x1+x2) + 24 x1x2−4(x1+x2) + 16 , et finalement

E7(x1, x2) = S²−2P −7S+ 24 P −4S+ 16

E8(x1, x2) = x1

3−x2

+ x2

3−x1

En réduisant au même dénominateur, on obtient x1

3−x2

+ x2

3−x1

= 3(x1+x2)−(x²₁+x²₂)

(3−x1)(3−x2) = 3(x1+x2)−(x1+x2)²+ 2x1x2

9−3(x1+x2) +x1x2

,

d’o`u

E8(x1, x2) = 3S−S²+ 2P 9−3S+P

E9(x1, x2) = x⁴1−x⁴2

x³₁−x³₂ En factorisant, on obtient

x⁴1−x⁴2

x³₁−x³₂ = (x1−x2)(x1+x2)(x²1+x²2) (x1−x2)(x²₁+x1x2+x²₂) ,

(30)

d’o`u, apr`es simplification,

x⁴1−x⁴2

x³1−x³2

= (x1+x2)

(x1+x2)²−2x1x2

(x1+x1)²−x1x2

,

et finalement

E9(x1, x2) = S(S²−2P) S²−P

(42) 1) Soit f une fraction rationnelle de deux lettres u etv, à coefficients entiers. Vérifier que g eth, définies par

g(u, v) = 1 2

f(u, v) +f(v, u)

et h(u, v) = f(u, v)−f(v, u) u−v sont des fractions rationnelles sym´etriques des deux lettres u etv.

2) Exprimerg(u, v) eth(u, v) en fonction de S=u+v etP =uv lorsque f(u, v) =−2u²+ 4u+uv−2v−3. 3) Soit le trinˆome

H(x) =ax²+bx+c ,

avec ∆ =b²−4ac >0. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que la fonction f de la question 2) soit une expression sym´etrique des racinesx1,x2 deH, et calculerf(x1, x2) en fonction de aetc.

1) Il est imm´ediat que

g(u, v) =g(v, u) et h(u, v) =h(v, u). 2) On a

g(u, v) = 1 2

(−2u²+ 4u+uv−2v−3) + (−2v²+ 4v+vu−2u−3)

=−(u²+v²) + (u+v) +uv−3, d’o`u

g(u, v) =−(u+v)²+ 3uv+ (u+v)−3, et

h(u, v) = (−2u²+ 4u+uv−2v−3)−(−2v²+ 4v+vu−2u−3)

u−v = −2(u²−v²) + 6(u−v)

u−v ,

d’o`u, en simplifiant,

h(u, v) = 6−2(u+v).

(31)

Finalement

g(u, v) =−S²+ 3P +S−3 et h(u, v) = 6−2S

3) On veut donc avoir

f(x1, x2) =f(x2, x1). Cette condition ´equivaut `a

(x1−x2)h(x1, x2) = 0, c’est-`a-dire S= 3. Alors

f(x1, x2) =g(x1, x2) =−9 + 3P , d’o`u

f(x1, x2) = 3 c a−9

(43) 1) Soitx1 etx2 les racines du trinôme 3x²−x−7. Former une équation du deuxième degré ayant pour racines x³1 etx³2.

2) Calculer

A= 4x³1−3x1x³2−3x2x³1+ 4x³2.

1) On a donc

S= 1

3 et P =−7 3. En utilisant l’exercice 41, on obtient

x³1+x³2=E4(x1, x2) =S(S²−3P) = 1 3

1 9 + 7

= 64 27, Par ailleurs

x³1x³2 =P³=−343 27 . Une équation vérifiée par x³1 etx³2 est donc

27X²−64X−343 = 0 2) On a

A= 4(x³1+x³2)−3x1x2(x²1+x²2) = 4(x³1+x³2)−3x1x2

(x1+x2)²−2x1x2

, donc

A= 464 27 + 7

1 9 +14

3

= 256

27 +7×43

9 ,

(32)

et l’on trouve

A= 1159 27

(44) 1) Soit x1 etx2 les racines du trinˆome

f(x) =x²+px+q (p²−4q≥0).

Former une équation du deuxième degré ayant pour racines x1+ 1/x1 et x2 + 1/x2 et trouver à quelle condition cette équation a une racine double.

2) On pose

g(x) = x+ 1 x−1.

Former une équation du deuxième degré ayant pour racines g(x1) et g(x2), et montrer que l’on peut obtenir cette équation à partir de l’équation

(1) f(g(x)) = 0.

Expliquer pourquoi.

1) On a

x1+ 1 x1

+x2+ 1 x2

= (x1+x2) +x1+x2

x1x2

=−p−p

q =−p(q+ 1) q ,

et

x1+ 1 x1

x2+ 1 x2

=x1x2+ 1 x1x2

+x1

x2

+x2

x1

=x1x2+ 1 x1x2

+ x²1+x²2

x1x2

.

Donc

x1+ 1 x1

x2+ 1 x2

=q+1

q +p²−2q

q = (q−1)²+p²

q .

Une ´equation ayant pour racines x1+ 1/x1 etx2+ 1/x² est donc qx²+p(q+ 1)x+ (q−1)²+p²= 0 Le discriminant vaut alors

∆ =p²(q+ 1)²−4q

(q−1)²+p²

=p²

(q+ 1)²−4q

−4q(q−1)² = (p²−4q)(q−1)². Cette expression est nulle dans deux cas :

- siq = 1, c’est-à-dire si les racines de H sont inverses l’une de l’autre, - sip²−4q est nul, c’est-à-dire siH a déjà une racine double.

(33)

2) On calcule cette fois

x1+ 1

x1−1 +x2+ 1

x2−1 = 2x1x2−2

x1x2−x1−x2+ 1 = 2q−2 q+p+ 1, ainsi que

x1+ 1 x1−1

x2+ 1

x2−1 = x1x2+x1+x2+ 1

x1x2−x1−x2+ 1 = q−p+ 1 q+p+ 1, Une ´equation ayant pour racines g(x1) et g(x2) est donc

(q+p+ 1)x²−2(q−1)x+ (q−p+ 1) = 0 On retrouve le mˆeme r´esultat en calculant

g(X)²+pg(X) +q =

x+ 1 x−1

²

+px+ 1

x−1+q = 0, car, en multipliant par (x−1)², on obtient

(x+ 1)²+p(x+ 1)(x−1) +q(x−1)² = (1 +p+q)x²+ 2(1−q)x+ 1−p+q= 0. Ceci vient du fait que siX vérifie l’équation (1) alorsx=g(X) vérifie

x²+px+q= 0.

Les racines de (1) sont doncX1 =g⁻¹(x1) etX2=g⁻¹(x2), mais ici, en résolvant l’équationx=g(X), on obtient X=g(x), et, par suite, g=g⁻¹. L’équation (1) a donc pour racines g(x1) et g(x2).

(45) Soit les deux trinˆomes

Q1(x) =x²−S1x+P1 et Q2(x) =x²−S2x+P2

de racines respectives x1, x2 ety1, y2. 1) Exprimer le produit

B= (x1−y1)(x1−y2)(x2−y1)(x2−y2)

en fonction des coefficients des trinômes et en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les trinômes aient une racine commune.

2) Calculer le produit ∆1∆2 des discriminants deQ1 etQ2. Quelle relation suppl´ementaire a-t-on si l’un des trinˆomes a une racine double ?

1) Puisque Q2(x) = (x−y1)(x−y2), on a donc

B =Q2(x1)Q2(x2) = (x²1−S2x1+P2)(x²2−S2x2+P2),

(34)

et, en d´eveloppant, puis en faisant apparaˆıtre les sommes et produits,

B = (x1x2)²−S2(x1x²2+x²1x2) +P2(x²1+x²2)−S2P2(x1+x2) +S2²x1x2+P2²

= (x1x2)²−S2x1x2(x1+x2) +P2

(x1+x2)²−2x1x2

−S2P2(x1+x2) +S2²x1x2+P2²

= P1²−S2P1S1+P2(S1²−2P1)−S2P2S1+S2²P1+P2² . Finalement

B = (P1−P2)²−S1S2(P1+P2) +S1²P2+S2²P1.

La condition B = 0 est une condition n´ecessaire et suffisante pour que les trinˆomes aient une racine commune, ce qui donne

(P1−P2)²−S1S2(P1+P2) +S1²P2+S2²P1 = 0 On en tire en particulier

S²1P2+S2²P1=S1S2(P1+P2)−(P1−P2)². 2) On calcule

∆1∆2 = (S1²−4P1)(S2²−4P2)

= S1²S2²−4(P1S2²+S1²P2) + 16P1P2

= S1²S2²−4

S1S2(P1+P2)−(P1−P2)²

+ 16P1P2

= S1²S2²−4S1S2(P1+P2) + 4(P1+P2)² . Finalement

∆1∆2 =

S1S2−2(P1+P2)²

Une des racines est double si et seulement si le produit précédent est nul, c’est-à-dire S1S2 = 2(P1+P2)

1.5 Syst` emes d’´ equations

(46) Trouver les nombres ayant pour somme S= 12 et pour produit P = 35.

Les nombres sont racines de l’´equation x²−Sx+P = 0, c’est-`a-dire x²−12x+ 35 = 0.

On trouve donc

5 et 7

(35)

(47) Trouver les nombres ayant pour somme S= 8 et pour produitP = 15.

On trouve donc

5 et 3

(48) Trouver les nombres ayant pour somme S= 4 et pour produitP =−1.

Les nombres sont racines de l’´equation x²−Sx+P = 0, c’est-`a-dire x²−4x−1 = 0.

On trouve donc

2 +√

5 et 2−√ 5

(49) Trouver les nombres ayant pour somme S= 12 et pour produit P = 4.

On trouve donc

6 + 4√

2 et 6−4√ 2

(50) Trouver les nombres ayant pour somme S= 2m+ 3 et pour produit P = 2m+ 2.

(36)

Les nombres sont racines de l’´equation x²−Sx+P = 0, c’est-`a-dire x²−(2m+ 3)x+ (2m+ 2) = 0. On a

∆ = (2m+ 3)²−4(2m+ 2) = 4m²+ 4m+ 1 = (2m+ 1)². On trouve donc

1 et 2m+ 2

(51) Trouver les nombres ayant pour somme S= 5(m−1) et pour produit P = 4(m−1)².

Les nombres sont racines de l’´equation x²−Sx+P = 0, c’est-`a-dire x²−5(m−1)x+ 4(m−1)² = 0. On a

∆ = 25(m−1)²−16(m−1)² = 9(m−1)². On trouve donc

m−1 et 4(m−1)

(52) R´esoudre le syst`eme suivant

x−y = 2 xy = 35 .

En posant X =x et Y =−y, on est ramen´e `a chercher deux nombres dont la sommeX+Y vaut 2 et le produitXY vaut−35. Ils sont racines de

X²−2X−35 = 0,

et l’on trouve 7 et −5. L’ensemble des solutions (x, y) du syst`eme de d´epart sera donc S ={(7,5) , (−5,−7)}

(37)

x²+y² = 73 xy = −24 .

En posantX =x² etY =y², on est ramen´e `a chercher deux nombres dont la sommeX+Y vaut 73 et le produitXY vaut 576. Ils sont racines de

X²−73X+ 576 = 0,

et l’on trouve 9 et 64. Les nombres x ety étant de signes opposés, l’ensemble des solutions (x, y) du système de départ sera donc

S ={(3,−8) , (−3,8) ,(8,−3) , (−8,3)}

x²−y² = 5 xy = 6 .

En posantX =x² etY =−y², on est ramen´e `a chercher deux nombres dont la sommeX+Y vaut 5 et le produitXY vaut−36. Ils sont racines de

X²−5X−36 = 0, et l’on trouve 9 et −4. On a donc n´ecessairement

(x²,−y²) = (9,−4).

Les nombres, x et y étant de même signe, l’ensemble des solutions (x, y) du système de départ sera donc

S ={(3,2) , (−3,−2)}

3x−2y = −5 x²−y² = 40 .

(38)

On tirex de la premi`ere ´equation et on remplace dans la seconde. On a x= 2y−5

3 ,

puis

9x²−9y² = (2y−5)²−9y² = 360, c’est-`a-dire

−5y²−20y−335 = 0, ou encore

y²+ 4y+ 67 = 0, qui n’a pas de solution. Donc

S ={∅}

2x−5y = −1 (x+y)² = 9 .

Le système équivaut à

2x−5y = −1 x+y = 3 ou

2x−5y = −1 x+y = −3 .

Ces deux systèmes se résolvent facilement et l’ensemble des solutions (x, y) du système de départ sera alors

S =

(2,1) ,

−16 7 ,−5

7

x+y = 5 x²+y² = 17 .

(39)

On se ram`ene au syst`eme

S = 5 S²−2P = 17 . On trouveP = 4, etx ety sont racines de l’´equation

x²−5x+ 4 = 0. L’ensemble des solutions (x, y) du syst`eme de d´epart sera donc

S ={(1,4) , (4,1)}

x−y = 7 x²+y² = 37 .

En posantX =x etY =−y, on se ram`ene au syst`eme X+Y = 7

X²+Y² = 37 , puis `a

S = 7 S²−2P = 37 . On trouveP = 6, etX et Y sont racines de l’´equation

X²−7X+ 6 = 0,

c’est-à-dire 1 et 6. L’ensemble des solutions (x, y) du système de départ sera donc S ={(1,−6) , (6,−1)}

x+y−xy = −1 x²+y² = 13 .

(40)

On se ram`ene au syst`eme

S−P = −1 S²−2P = 13 . On tireP de la premi`ere ´equation et on le remplace dans la seconde,

P =S+ 1, puis

S²−2(S+ 1) = 13, ce qui conduit `a l’´equation

S²−2S−15 = 0, qui a comme racines 5 et−3. On a donc deux possibilit´es.

1) Lorsque (S, P) = (5,6), les nombres xet y sont racines de x²−5x+ 6 = 0, dont les racines sont 3 et 2.

2) Lorsque (S, P) = (−3,−2), les nombres x ety sont racines de x²+ 3x−2 = 0, dont les racines sont −3±√

17

2 . Finalement l’ensemble des solutions (x, y) du syst`eme de d´epart sera S =

(

(2,3) , (3,2) , −3 +√ 17

2 ,−3−√ 17 2

!

, −3−√ 17

2 ,−3 +√ 17 2

!)

x+y = 3 x³+y³+ 3(x+y) = 18 .

En utilisant l’exercice 41, on obtient

x³+y³ =S³−3P S , On se ram`ene donc au syst`eme

S = 3 S³−3P S+ 3S = 18 .

(41)

En rempla¸cant S par 3 dans la seconde ´equation on tire P = 2 etx ety sont racines de l’´equation x²−3x+ 2 = 0,

c’est-à-dire 1 et 2. L’ensemble des solutions (x, y) du système de départ sera donc S ={(1,2) , (2,1)}

x²−2x+y²−y = −1 y²−4x+ 2x² = −1 .

En soustrayant à la seconde équation le double de la première, on trouve

−y²+ 2y= 1, ou encore

y²−2y+ 1 = 0, qui a pour solution y= 1. Alors

x²−2x=−1, ce qui donne aussix= 1.

L’ensemble des solutions (x, y) du syst`eme de d´epart sera donc S ={(1,1)}

x²−2x+y = 2 2x²+x−2y = 6 .

En ´eliminant y entre les deux ´equations, on trouve

4x²−3x−10 = 0,

(42)

qui a deux racines 2 et −5/4. Dans le premier cas on obtient y = 2, et dans le second y = −33/16.

L’ensemble des solutions (x, y) du syst`eme de d´epart sera donc S =

(2,2) ,

−5 4,−33

16







x+y+z = 0 z²+xy+ 5 = 0 xy−2(x+y) = −8

.

En posantS =x+y etP =xy, on se ram`ene au syst`eme







S+z = 0

z²+P+ 5 = 0 P−2S = −8

.

Il ´equivaut `a







S = −z P = −z²−5 P = 2S−8

,

ou encore `a







S = −z P = −z²−5 P = −2z−8

,

et enfin `a







S = −z

P = −z²−5 z²−2z−3 = 0

.

La derni`ere ´equation a pour racines−1 et 3. Alors,

1) si z=−1, on obtient P =−6 etS = 1, doncx ety sont racines de l’´equation x²−x−6 = 0

qui a comme solutions−2 et 3.

2) Siz= 3, on obtint P =−14 et S =−3, donc doncx ety sont racines de l’´equation x²+ 3x−14 = 0

(43)

qui a comme solutions −3± 65

2 .

L’ensemble des solutions (x, y, z) du syst`eme de d´epart sera donc S =

(

(−2,3,−1) , (3,−2,−1) , −3 +√ 65

2 ,−3−√ 65 2 ,3

!

, −3−√ 65

2 ,−3 +√ 65 2 ,3

!)

(64) Trouver deux nombres dont la diff´erence vaut 8 et la somme des carr´es 194.

On a donc le syst`eme

x−y = 8 x²+y² = 194 . En rempla¸cant xpar 8 +y dans la seconde ´equation, on trouve

(y+ 8)²+y²= 194, d’o`u, en simplifiant par 2,

y²+ 8y−65 = 0,

dont les racines sont−13 et 5. Finalement l’ensemble des couples solutions (x, y) est S ={(13,5) , (−5,−13)]

(Voir une autre m´ethode dans l’exercice 58).

x+y = m+ 1 x⁴+y⁴ = m⁴+ 1 .

Une solution évidente du système est {x, y} = {1, m}. Cherchons s’il y en a d’autres. En utilisant l’expression E6(x, y) de l’exercice 41, le système devient

S = m+ 1 S⁴−4S²P+ 2P² = m⁴+ 1 . On tire alorsP comme solution de

2P²−4(m+ 1)²P + (m+ 1)⁴−(m⁴+ 1) = 0,

(44)

et donc, en d´eveloppant par la formule du binˆome, de

2P²−4(m+ 1)²P + (m⁴+ 4m⁴+ 6m²+ 4m+ 1)−(m⁴+ 1) = 0, c’est-`a-dire, apr`es simplification, de

P²−2(m+ 1)²P+m(2m²+ 3m+ 2) = 0.

Commem est une racine de l’équation précédente, l’autre est 2m²+ 3m+ 2. Dans ce casx ety sont racines de

x²−(m+ 1)x+ 2m²+ 3m+ 2 = 0, qui a pour discriminant

(m+ 1)²−4(2m²+ 3m+ 2) =−7m²−10m−7,

et comme ce dernier trinôme a lui-même un discriminant négatif, il est toujours strictement négatif et il n’y a pas d’autres solutions possibles. Finalement l’ensemble des couples (x, y) solutions du système de départ est

S ={(1, m) , (m,1)}

x+y = m

2(x⁴−y⁴) = (m+ 1)³(x−y) .

Il existe une solution ´evidentex=y =m/2. On suppose dans la suite x6=y. En ´ecrivant x⁴−y⁴ = (x−y)(x+y)(x²+y²) = (x−y)(x+y)

(x+y)²−2xy , le syst`eme devient

S = m 2S³−4SP = (m+ 1)³ . On tire alorsP comme racine de

2m³−4mP = (m+ 1)³, c’est-`a-dire de

4mP = 2m³−(m+ 1)³, donc, sim n’est pas nul,

P = 2m³−(m+ 1)³

4m = m³−3m²−3m−1

4m ,

(45)

etx ety sont solutions de l’´equation

x²−mx+m³−3m²−3m−1

4m = 0,

ou encore

4mx²−4m²x+m³−3m²−3m−1 = 0. Le discriminant r´eduit de ce trinˆome vaut

∆^′ = 4m⁴−4m(m²−3m²−3m−1) = 4m(3m³+ 3m+ 1),

Comme le trinˆome 3m²+3m+1 a un discriminant n´egatif, il est toujours positif et ∆^′est du signe dem.

Le syst`eme a donc d’autres solutions que x =y = m/2, si et seulement si m est strictement positif.

L’ensemble des solutions (x, y) est dans ce cas

S = (

m 2 , m

2

, 1

2 m+

r3m²+ 3m+ 1 m

! ,1

2 m−

r3m²+ 3m+ 1 m

!!

,

1

2 m−

r3m²+ 3m+ 1 m

! ,1

2 m+

r3m²+ 3m+ 1 m

!!)

Sinon, sim≤0,

S =nm 2 , m

2 o

(67) Une somme de 4000edoit être partagée entrenpersonnes. Quel est ce nombre, sachant que s’il y avait quatre personnes de moins, les parts seraient augmentées de 500 e?

Soit pla part de chacune desn personnes. On a le syst`eme de deux ´equations suivant :

np = 4000

(n−4)(p+ 500) = 4000 . On en déduit, en soustrayant la première équation de la seconde,

np = 4000

500n−4p−2000 = 0 . En posant

N = 500n et P =−4p ,

(46)

on a donc

N P = −8·10⁶ N +P = 2·10³ , etN etP sont alors racines de l’´equation

x²−2·10³x−8·10⁶ = 0. On trouve

∆^′ = 10⁶+ 8·10⁶= 9·10⁶ = (3·10³)²,

d’où les racines 4·10³, et−2·10³. CommeN est positif et P négatif, on en déduit N = 4·10³ et P =−2·10³.

Finalement

n= 8 et p= 500e

(68) Deux ouvriers font un travail en 12 jours. Si, travaillant séparément, ils en faisaient chacun la moitié, le travail serait terminé en 25 jours. Combien chacun d’eux mettrait-il pour faire tout le travail ?

Soit x ety les temps en jours mis respectivement par les deux ouvriers pour faire tout le travail. On suppose x≤y. Quand chacun met la moitié de ces temps, le travail dure 25 jours, ce qui donne une première équation

x+y 2 = 25.

En un jour le premier ouvrier fait 1/x−ième du travail, et le second 1/y−ième. En douze jours ils effectuent le travail total, ce qui donne la seconde équation

12 1

x +1 y

= 1.

On obtient donc un système que l’on peut écrire, en multipliant par le dénominateur des fractions, x+y = 50

12(x+y) = xy , ou encore

x+y = 50

xy = 600 ,

Les nombresx et y sont racines de l’´equation

X²−50X+ 600 = 0 c’est-`a-dire 20 et 30, donc

(x, y) = (20 jours,30 jours)

(47)

1.6 Position d’un nombre par rapport aux racines

Dans ce paragraphe, on appellera x1 la plus petite racine et x2 la plus grande.

(69) Etudier la position du nombre 5 par rapport aux racines de l’´equation (m²+ 2)x²+ 12x+ 10−16m² = 0.

On étudie la position du nombre ξ = 5 par rapport aux racines en étudiant, en plus de celui de ∆^′, les signes de af(ξ) et S/2−ξ, car le nombreξ se trouve à l’extérieur des racines si et seulement si af(ξ) est positif, et, dans ce cas, il est plus grand que la plus grande racine si et seulement siξ > S/2, c’est-à-dire S/2−ξ <0.

On obtient les in´equations

∆^′= 36−(m²+ 2)(10−16m²) = 16m⁴+ 22m²+ 16>0, af(5) = (m²+ 2)

(25(m²+ 2) + 60 + 10−16m²

= (m²+ 2)(9m²+ 120)>0, S

2 −5 =− 6

m²+ 2−5 =−5m²+ 16 m²+ 2 <0. Il en r´esulte que, quel que soit m, on a

x1< x2 <5

(70) Pour quelles valeurs dem les racines de l’´equation

(m−1)x²−2(m+ 1)x+ 2m−1 = 0 vérifient-elles les inégalités

−6< x1 <4< x2.

La condition

af(4) = (m−1)(10m−25)<0

est v´erifi´ee dans l’intervalleM₁= ] 1,5/2 [ . Elle implique que le nombre 4 soit compris entre les racines (et donc que ∆ soit positif).