(160) Trouver les solutions de l’in´equation
x4−7x2+ 6>0 .
On a
f(x) = (x4−7x2+ 6) = (x2−1)(x2−6). On peut dresser le tableau de signes suivant.
x x2−6 x2−1 f(x)
−∞ − 6 O
O
−1
O O
1
O O
6 O
O
∞
+ − − − +
+ + − + +
+ − + − +
On a donc
S = ]−∞,−√
6 [∪]−1,1 [∪]√ 6,∞[
(161) Trouver les solutions de l’in´equation
2x4−5x2−7<0 .
On a
f(x) = 2x4−5x2−7 = (x2+ 1)(2x2−7). Doncf(x) est du signe de 2x2−7 et, par suite,
S = ]−p
7/2,p 7/2 [
(162) Trouver les solutions de l’in´equation 2x+ 1 +√
7−6x >0 .
On cherche donc les solutions de
√7−6x >−2x−1.
On rapelle que l’in´equation √
A > B est ´equivalente `a
( A≥0 et B <0 ) ou (A > B2 et B ≥0 ) .
Lorsque le second membre est strictement n´egatif, c’est-`a-dire si x > −1/2, il faut alors que 7−6x soit positif ou nul c’est-`a-direx≤7/6. On obtient un premier ensemble de solutions
S1= ]−1/2,7/6 ].
Lorsque le second membre est positif ou nul, c’est-`a-dire six≤ −1/2, l’in´equation ´equivaut, en ´elevant au carr´e, `a
7−6x >(2x+ 1)2, ou encore `a
f(x) = 4x2+ 10x−6<0.
Les racines du trinˆome f sont−3 et 1/2, etx doit se trouver entre les racines. On trouve cette fois S2= ]−3,1/2 [∩]−∞,−1/2 ] = ]−3,−1/2 ].
AlorsS =S1∪S2, donc
S = ]−3,7/6 ]
(163) Trouver les solutions de l’in´equation
px2−8x+ 5<2x−1.
On rapelle que l’in´equation √
A < B est ´equivalente `a
B >0 et 0≤A < B2 .
Il faut d´ej`a que 2x−1 soit strictement positif, doncx doit appartenir `a S1 = ] 1/2,∞[.
Il faut aussi l’in´egalit´e
f1(x) =x2−8x+ 5≥0. Les racines de ce trinˆome sont 4±√
11, etx doit appartenir `a l’ensemble S2= ]−∞,4−√
11 ] ∪ [ 4 +√
11,∞[. Sous ces conditions l’in´equation ´equivaut en ´elevant au carr´e `a
x2−8x+ 5<(2x−1)2,
ou encore `a
Le nombre 2/3 est `a l’ext´erieur des racines de f1. De plus 2/3 est inf´erieur `a la demi-somme 4 des racines def1, donc
Il en r´esulte que
S = ] 2/3,4−√
11 ] ∪ [ 4 +√ 11,∞[
(164) Trouver les solutions de l’in´equation
px2+x+ 1>2x−3 .
Commex2+x+ 1 est toujours positif, l’in´equation est v´erifi´ee tout d’abord si 2x−3 est n´egatif, ce qui donne
S1 = ]−∞,3/2 [ .
Si 2x−3 est positif ou nul, l’in´equation ´equivaut, en ´elevant au carr´e, `a x2+x+ 1>(2x−3)2,
c’est-`a-dire `a
f(x) = 3x2−13x+ 8<0. Doncxdoit se trouver entre les racines 13±√
73
6 du trinˆomef. Il reste `a comparer 3/2 `a ces racines.
Or
f(3/2) =−19 4 <0,
donc 3/2 se trouve entre les racines et on obtient l’ensemble S2= [3
2, 13 +√ 73 6 [. On a alors S =S1∪S2, et finalement
S = ]−∞, 13 +√ 73
6 [
(165) Trouver les solutions de l’in´equation
px2−1≤2x+ 3.
Il faut d´ej`a que 2x+ 3 soit positif, doncx doit appartenir `a S1= [−3/2,∞[.
Il faut aussi que f1(x) =x2−1 soit positif, c’est-`a-dire que xappartienne `a S2 = ]−∞,−1 ]∪ [ 1,∞[.
Sous ces conditions l’in´equation ´equivaut, en ´elevant au carr´e, `a x2−1≤(2x+ 3)2, ou encore `a
f(x) = 3x2+ 12x+ 10≥0. Les racines def sont −6±√
6
3 . Il faut donc que x appartienne `a S3= ]−∞, −6−√
6
3 ] ∪ [−6 +√ 6 3 ,∞[. On a alors
S =S1∩S2∩S3.
On constate quef(−3/2) =−5/4 est n´egatif, donc−3/2 se trouve entre les racines def. D’autre part f(−1) = 1 est positif , et −1 est plus grand que la demi-somme −2 des racines de f, donc est plus grand que les deux racines. On a donc
−6−√ 6 3 <−3
2 < −6 +√ 6
3 <−1<1.
| | | | |
−6−√ 6
3 −3
2 −6 +√
6 3
−1 1
/ / / / / / / / / /\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | | | | |
Il en r´esulte que
S = [−6 +√ 6
3 ,−1 ] ∪ [ 1,∞[
(166) Trouver les solutions de l’in´equation
√5x+ 1−√
x+ 1<2.
Sous la conditionx≥ −1/5, on peut ´elever au carr´e l’in´equation
√5x+ 1<√
x+ 1 + 2, puisque les deux membres sont positifs, et l’on obtient
5x+ 1 =x+ 1 + 4 + 4√ x+ 1, c’est-`a-dire, apr`es simplification,
x−1<√ x+ 1.
Six <1, l’in´equation est v´erifi´ee. On obtient donc un premier ensemble de solutions S1= [−1/5,1 [ .
Six≥1, on obtient en ´elevant au carr´e,
(x−1)2< x+ 1, c’est-`a-dire
x2−3x <0,
etxdoit se trouver entre les racines 0 et 3 de ce trinˆome. On obtient un second ensemble de solutions S2 = [ 1,3 [ .
AlorsS =S1∪S2, d’o`u
S = [−1/5,3 [ .
(167) Trouver les solutions de l’in´equation p2x2+ 3 +p
5−8x2 >p
4x2+ 7.
Sous la condition que
− r5
8 ≤x≤ r5
8, on peut ´elever au carr´e ce qui donne
−6x2+ 8 + 2p
(2x2+ 3)(5−8x2)>4x2+ 7, puis
2p
(2x2+ 3)(5−8x2)>10x2−1.
L’in´equation est v´erifi´ee lorsque 10x2−1<0, ce qui donne un premier ensemble de solutions S1 = ]−1/√
10,1/√ 10 [. Dans le cas contraire, c’est-`a-dire sixappartient `a l’ensemble ]−p
5/8,−1/√
10 ]∪[ 1/√ 10,p
5/8 [, on ´el`eve au carr´e ce qui donne
4(−16x4−14x2+ 15)>100x4−20x2+ 1, c’est-`a-dire
f(x) = 164x4+ 36x2−59<0.
Les racines du trinˆome 164X2 + 36X −59 se calculent et valent 1/2 et −59/82, ce qui permet de factoriser
f(x) = (82x2+ 59)(2x2−1),
qui est du signe de 2x2−1 et est n´egatif lorsquex appartient `a l’intervalle [−1/√ 2,1/√
2 ] . Alors on obtient cette fois l’ensemble de solutions
S2 = [−1/√
(168) Soitp etq tels que 0< p < q. Trouver les solutions de l’in´equation
√x+p+√
x+q >√
x+p+q .
Comme
−(p+q)<−q <−p <0,
il faut d´ej`a quex≥ −p. et l’on peut ´elever au carr´e. L’in´equation ´equivaut `a 2x+p+q+ 2p
(x+p)(x+q)> x+p+q , c’est-`a-dire `a
2p
(x+p)(x+q)>−x . On obtient un premier ensemble de solutions
S1 = ] 0,∞[.
Si maintenantx est n´egatif ou nul, on peut ´elever de nouveau au carr´e, et l’on obtient 4(x+p)(x+q)> x2,
c’est-`a-dire
f(x) = 3x2+ 4(p+q)x+ 4pq >0. Le discriminant r´eduit vaut
∆′ = 4(p+q)2−12pq= 4(p2−qp+q2) = (2p−q)2+ 3q2 >0,
et puisquepqetp+q sont positifs, le trinˆomef a deux racinesξ1 etξ2 n´egatives telles que ξ1= −2(p+q)−2p
p2−pq+q2
3 < ξ2= −2(p+q) + 2p
p2−pq+q2
3 <0,
etx doit se trouver `a l’ext´erieur des racines. Enfin
f(−p) = 3p2−4p(p+q) + 4pq=−p2<0,
donc−p est compris entre les racines. On obtient un deuxi`eme ensemble de solutions S2= ]ξ2,0 ] .
On obtient finalement S =S1∪S2, d’o`u
S = ]ξ2,∞[.
(169) Soit
F(x) = x2−x−6 x−1 . 1) R´esoudreF(x) =−4 etF(x)>−4.
2) Montrer que si l’on a F(α) = F(β) avec α distinct de β, alors ces deux nombres α et β sont racines d’une ´equation de la forme
x2−px+p−7 = 0. V´erifier lorsque p= 1.
1) On a
G(x) =F(x) + 4 = x2+ 3x−10
x−1 = (x−2)(x+ 5)
x−1 = f(x) x−1. On fait le tableau de signes suivant.
x
L’´equation F(x) =−4 a donc comme ensemble de solutions S1 ={−5,2} et l’in´equation F(x)>−4 a pour ensemble de solutions
S2= ]−5,1 [∪] 2,∞[ 2) Partons de
α2−α−6
α−1 = β2−β−6 β−1 . avec α etβ distincts et diff´erents de 1. Cette ´egalit´e ´equivaut `a
α2β−αβ2−α2+β2−7β+ 7α= 0,
alors
αβ =p−7, etα etβ sont racines de
x2−px+p−7 = 0. Par exemple, si p= 1, on trouve
x2−x−6 = 0, dont les racines sontα= 3 etβ =−2 et v´erifient
F(−2) =F(3) = 0.
Divers
Dans ce chapitre, sauf demande expresse, les recherches d’extrema se font sans d´erivation.
L’exercice 170 donne des r´esultats que l’on utilise dans certains des exercices suivants.
4.1 Extrema
(170) 1) Trouver le maximum du produit de deux nombres dont la somme est donn´ee.
2) Trouver le minimum de la somme de deux nombres positifs dont le produit est donn´e.
Les nombres sont solutions de l’´equation
x2−Sx+P = 0, dont le discriminant vaut
∆ =S2−4P . Ce discriminant doit ˆetre positif ou nul. On a donc toujours
4P ≤S2.
1) SiS est fix´e, la plus grande valeur de P possible est obtenue lorsque P = S2
4 Les nombres sont alors ´egaux et valent S/2.
2) IciP etS sont positifs. SiP est fix´e, la plus petite valeur de S possible est obtenue lorsque S = 2√
P
Les nombres sont alors ´egaux et valent √ P.
(171) D´eterminer le minimum de
S(x) = x2 5 +125
x2 .
Le produit des deux nombres positifs x2/5 et 125/x2 vaut P = 25. Le minimum de la sommeS(x) est donc, d’apr`es l’exercice 170,
m= 2√ P , donc
m= 10
(172) D´eterminer le maximum de
P(x) = (x+ 7)(5−x).
La somme des deux nombres x+ 7 et 5−x vaut 12. Le maximum du produitP(x) est donc, d’apr`es l’exercice 170,
M = S2 4 , donc
M = 36
(173) D´eterminer le maximum de
P(x) = (2x+ 7)(11−2x).
La somme des deux nombres 2x+ 7 et 11−2xvaut 18. Le maximum du produitP(x) est donc, d’apr`es l’exercice 170,
M = S2