L.S.Marsa Elriadh
Liste 46
M : Zribi4 ème Maths Exercices
1
Exercice 1:
soit a un réel strictement positif et f une fonction continue sur [-a,a] et positive sur [0,a].
1/ montrer que si f est paire alors
a
0 a
a
dx ) x ( f 2 dx ) x (
f .
2/ montrer que si f est impaire alors f(x)dx 0
a
a
.
3/ déduisez en les valeurs des intégrales :
4
4 4
4
tgxdx et
xdx
² tg
.
Exercice 2:
soient f et g les fonctions définies par: f(x)=ex-2 et g(x)=ex-e –x. 1/ étudier les fonctions f et g.
2/ tracer les courbes f et f ' dans un même repère; déterminer le point commun de f et f '.
Etudier la position relative de f et f '.
3/ soit un réel strictement positif; calculer l'aire A() de la portion du plan comprise entre f, f ' et les droites d'équation x=0 et x=.
Etudier la limite de A() en +∞.
Exercice 3:
soit f la fonction définie par:
0 x si x log x ) x ( f
0 x e si
x ) x (
f x
1/étudier la continuité et la dérivabilité de f en o.
2/ étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative; préciser les demi tangentes au point O.
3/ soit F la fonction définie par: F(x)=1
x
dt ) t (
f .
a) F est elle définie et continue sur IR?
b) Soit x un réel strictement positif; calculer le réel F(x).
c) Déduisez en F(0).
4/ tracer la courbe ' symétrique de la courbe par rapport à la droite (x'x).
5/ calculer l'aire de la portion du plan comprise entre , l'axe (x'x) et les droite d'équations respectives x=0 et x=1.
Exercice 4:
soit F la fonction définie par F(x)=
x
0 4
1 t dt . 1/ étudier la fonction f: x
1 x 1
4
et tracer sa courbe représentative.
2/ montrer que F est une fonction impaire.
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3/ étudier le sens de variations de F.
4/ a) montrer que pour tout t [1,+∞[ on a:
² t
1 1 t
1
4
.
b) déduisez en que pour tout x[1,+∞[, on a 1 1 t
dt
x
1 4
5/ a) montrer que pour tout x[0,+∞[, on a F(x) < F(1)+1.
b) déduisez en que F a une limite finie l en +∞.
Exercice 5:
1/ soit la fonction définie par (x)=x²+logx.
Déduisez de l'étude de variation de que cette fonction s'annule pour une seule valeur x0 comprise entre e -1 et 1.
2/ soit f la fonction définie par f(x)=1-x+
x x log 1
; étudier les variations de f .
Montrer que la représentation graphique de f dans un repère orthonormé admet deus asymptotes dont l'une est oblique.
Préciser la position de par rapport à . Construire.
3/ calculer l'aire de la portion du plan limitée par l'axe des abscisses la courbe et les droites d'équations respectives x=e -1 et x=1.
Exercice 6:
soit nIN*, on pose In= 1
0
n x
e dx ) x 1
! ( n
1 .
1/ a) à l'aide d'une intégration par parties calculer I1. b) montrer que pour tout nIN* on a : 1
0 x
n e dx
! n I 1
0 .
c) en déduire la limite de In quand n tend vers +∞.
d) à l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout nIN*,
on a : I
)!
1 n (
In 1 1 n
.
2/ on considère la suite (Un) définie sur IN* par:
(n 1)!
) 1 U (
U U 0
1 n n
1 n 1
a) montrer par récurrence que pour tout nIN*: ( 1) I e
U 1 n
n
n .
b) en déduire la limite de Un quand n tend vers +∞.
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Exercice 7:
soit la fonction f définie sur IR par: f(x)=
1
² x
2
² x
.
1/ a) dresser le tableau de variations de f et construire sa courbe dans un repère orthonormé.
b) montrer que l'équation f(x)=x admet dans IR une solution unique telle que 1<<3/2.
2/ on appelle g la restriction de f à IR+.
a) montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur ]1,2].
b) écrire l'expression de g-1(x) pour tout x]1,2].
c) tracer la courbe ' de g-1 dans le même repère.
3/ soit la fonction définie sur [0, 4
1 ] par (x)=
tgx
0
dt ) t (
f .
a) montrer que est dérivable sur [0, 4
1 ] et que '(x)=tg²x+2.
b) calculer alors (x).
c) en déduire l'aire A du domaine limité par la courbe et les droites:
x=0, x=1 et y=1.
Exercice 8:
soit nIN/{0,1} et fn la fonction définie sur ]0,+∞[ par fn(x)=(Log x)n. On nota n la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé.
1/ a) déterminer la limite de fn en +∞ et calculer f 'n(x).
b) déterminer suivant la parité de n les variations de fn. 2/ a) déterminer les positions relatives de 1 et 2.
b) construire 1 et 2. 3/ on pose In=e
1
ndx ) Logx
( .
a) montrer que I2=e-2.
b) à l'aide d'une intégration par parties, montrer que In+1+(n+1)In=e.
c) calculer la mesure de l'aire limitée par 2 et 3.
4/ a) montrer que la suite In) est à termes positifs et qu'elle est décroissante.
b) déduire de 3/b/ que :
1 n I e 2 n
e
n
.
c) déterminer alors la limite de nIn) en +∞.
Exercice 9:
pour tout entier n non nul, on pose Jn= (Logx)dx
e
1
n .
1/ justifier l'existence de la suite (Jn).
2/ montrer que (Jn) est décroissante.
en déduire que (Jn) converge.
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3/ montrer que pour tout nIN*, Jn+1=e-(n+1)Jn. 4/ calculer J3.
5/ montrer que pour tout nIN*,
1 n J e 2 n
e
n
; en déduire n
n
lim J
Exercice 10:
soit U la suite définie sur IN par:
1
0 n n
1
0 0
² dx x 1 U x
² dx x 1 U 1
1/ a) soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x)=Log (x+ 1x² ); calculer f '(x) et en déduire U0.
b) calculer U1.
2/ a) montrer que Uest décroissante, en déduire que U est convergente.
b) montrer que
1 n U 1 ) n 1 ( 2
1
n
. Déterminer la limite de U.
3/ on pose In=1
0 2
n 1 x²dx
x ; pour n ≥ 3.
a) vérifier que Un+Un-2=In.
b) montrer que pour n ≥ 3; nUn+(n-1)Un-2= 2. En déduire que (2n-1) Un≤ 2.
c) montrer alors que (nUn) est convergente et calculer sa limite.
