UNIVERSIT´E LOUIS PASTEUR Ann´ee 2006/2007
Licence de math´ematiques Alg`ebre S1
Groupe Math´ematiques-Economie 2
Feuille d’exercices 9
A rendre lundi 4 d´ecembre 2006.
Exercice 1
On cherche un polynˆomeP de degr´e 2 `a co´efficients dansQtel que P(1) = 2 P(2) = 1 P(4) = 7.
Notons P(X) =aX2+bx+c aveca, b, c∈Q. ´Etablir et r´esoudre un syst`eme d’`equations lin´eaires pour d´eterminera, betc.
Exercice 2
Donner, en fonction du param`etre m ∈ R, toutes les solutions dans R3 du syst`eme d’´equations lin´eaires
3x+y−mz = m+ 1 2x+y−z = 2m x+my+z = 1.
Exercice 3 On poseA=
20 4
-49 - 8
et I2=
1 0
0 1
. Notons N(λ) :=A−λI2 pourλ∈R.
a) Calculer N(λ)2:=N(λ)◦N(λ).
b) Calculer λ∈Rtel que N(λ)2= 0.
c) En d´eduireAn pourn≥1 (Indication : d´emontrer que la formule du binˆome de Newton est vraie dans l’anneauM2R).
1
Exercice 4
Soientf1, . . . , fm:Kn→Kdes formes lin´eaires. Soitb1, . . . , bm∈Ktel que le syst`eme inhomog`ene
f1(x) = b1
f2(x) = b2 . . .
fm(x) = bm
a une solution dansKn. Soitλ∈K, montrer que le syst`eme inhomog`ene f1(x) = λ·b1
f2(x) = λ·b2 . . .
fm(x) = λ·bm
admet une solution dans Kn.
Soit en plus c1, . . . , cm∈K tel que le syst`eme inhomog`ene f1(x) = c1
f2(x) = c2
. . .
fm(x) = cm
a une solution dansKn. Montrer que le syst`eme inhomog`ene f1(x) = b1+c1
f2(x) = b2+c2
. . .
fm(x) = bm+cm
admet une solution dans Kn.
2
