Feuille de TD n˚9

Feuille de TD n˚9

MP Lyc´ ee Clemenceau Novembre 2020

Banque CCP

Exercice 1 : 59 banque CCINP

SoitE l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients dans K(K= IR ouK=C) de degr´e inf´erieur ou ´egal `an.

Soitf l’endomorphisme deE d´efini par :∀P ∈E,f(P) =P−P⁰. 1) D´emontrer que f est bijectif de deux mani`eres :

(a) sans utiliser de matrice def, (b) en utilisant une matrice def.

2) SoitQ∈E.TrouverP tel que f(P) =Q.

Indication :siP ∈E, quel est le polynˆomeP⁽ⁿ⁺¹⁾? 3) f est-il diagonalisable ?

Exercice 2 : 62 banque CCINP SoitE un espace vectoriel sur IR ouC. Soitf ∈ L(E) tel quef²−f−2Id = 0.

1) Prouver quef est bijectif et exprimer f⁻¹ en fonction def. 2) Prouver queE= Ker(f+ Id)⊕Ker (f−2Id) :

(a) en utilisant le lemme des noyaux ; (b) sans utiliser le lemme des noyaux.

3) Dans cette question, on suppose queE est de dimension finie.

Prouver que Im(f+ Id) = Ker (f−2Id).

Exercice 3 : 63 banque CCINP

Soit un entiern>1.On consid`ere la matrice carr´ee d’ordren`a coefficients r´eels :

An =



















2 −1 0 · · · 0

−1 2 −1 . .. ... 0 −1 . .. . .. 0 ... . .. . .. 2 −1 0 · · · 0 −1 2



















Pourn>1, on d´esigne parDn le d´eterminant deAn. 1) D´emontrer que D_n+2= 2D_n+1−D_n.

2) D´eterminer Dn en fonction den.

3) Justifier que la matriceAest diagonalisable. Le r´eel 0 est-il valeur propre deA? Exercice 4 : 65 banque CCINP

Soit uun endomorphisme d’un espace vectoriel E sur le corps K(= IR ou C). On note K[X] l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dansK.

1) D´emontrer que :

∀(P, Q)∈K[X]×K[X], (P Q)(u) =P(u)◦Q(u). 2) (a) D´emontrer que :∀(P, Q)∈K[X]×K[X], P(u)◦Q(u) =Q(u)◦P(u) .

(b) D´emontrer que pour tout (P, Q)∈K[X]×K[X] :

(P polynˆome annulateur deu)=⇒(P Qpolynˆome annulateur deu)

3) SoitA=

−1 −2

1 2

.

Ecrire le polynˆ´ ome caract´eristique deA, puis en d´eduire que le polynˆomeR=X⁴+ 2X³+X²−4X est un polynˆome annulateur deA.

Exercice 5 : 67 banque CCINP Soit la matriceM =





0 a c

b 0 c b −a 0



o`u a, b, csont des r´eels.

M est-elle diagonalisable dansM3(IR) ? M est-elle diagonalisable dansM3(C) ? Exercice 6 : 68 banque CCINP

Soit la matriceA=





1 −1 1

−1 1 −1

1 −1 1



.

1) D´emontrer que Aest diagonalisable de quatre mani`eres : (a) sans calcul,

(b) en calculant directement le d´eterminant det(λI₃−A), o`u I₃ est la matrice identit´e d’ordre 3, et en d´eterminant les sous-espaces propres,

(c) en utilisant le rang de la matrice, (d) en calculantA².

2) On suppose queAest la matrice d’un endomorphismeud’un espace euclidien dans une base orthonorm´ee.

Trouver une base orthonorm´ee dans laquelle la matrice de uest diagonale.

Exercice 7 : 69 banque CCINP On consid`ere la matriceA=





0 a 1 a 0 1 a 1 0



o`u aest un r´eel.

1) D´eterminer le rang deA.

2) Pour quelles valeurs dea, la matriceAest-elle diagonalisable ? Exercice 8 : 70 banque CCINP

SoitA=





0 0 1 1 0 0 0 1 0



∈ M3(C) .

1) D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deA.Aest-elle diagonalisable ? 2) Soit (a, b, c)∈C³ etB =aI3+bA+cA², o`uI3d´esigne la matrice identit´e d’ordre 3.

D´eduire de la question1.les ´el´ements propres deB.

Exercice 9 : 72 banque CCINP

Soitf un endomorphisme d’un espace vectorielE de dimensionn, et soite= (e1, . . . , en) une base deE.

On suppose quef(e1) =f(e2) =· · ·=f(en) =v, o`uv est un vecteur donn´e deE.

1) Donner le rang def.

2) f est-il diagonalisable ? (discuter en fonction du vecteurv) Exercice 10 : 73 banque CCINP

On poseA= 2 1

4 −1

.

1) D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deA.

2) D´eterminer toutes les matrices qui commutent avec la matrice

3 0 0 −2

. En d´eduire que l’ensemble des matrices qui commutent avecAest Vect (I2, A).

Exercice 11 : 74 banque CCINP

1) On consid`ere la matriceA=





1 0 2 0 1 0 2 0 1



.

(a) Justifier sans calcul queAest diagonalisable.

(b) D´eterminer les valeurs propres deApuis une base de vecteurs propres associ´es.

2) On consid`ere le syst`eme diff´erentiel







x⁰=x+ 2z y⁰ =y z⁰= 2x+z

, x, y, z d´esignant trois fonctions de la variable t, d´erivables sur IR.

En utilisant la question 1. et en le justifiant, r´esoudre ce syst`eme.

Exercice 12 : 75 banque CCINP On consid`ere la matriceA=

−1 −4

1 3

. 1) D´emontrer que An’est pas diagonalisable.

2) On notef l’endomorphisme de IR² canoniquement associ´e `aA.

Trouver une base (v1, v2) de IR²dans laquelle la matrice def est de la forme a b

0 c

. On donnera explicitement les valeurs dea,b etc.

3) En d´eduire la r´esolution du syst`eme diff´erentiel

x⁰=−x−4y y⁰ =x+ 3y . Exercice 13 : 83 banque CCINP

Soituet vdeux endomorphismes d’un espace vectorielE.

1) Soitλun r´eel non nul. Prouver que siλest valeur propre deu◦v, alorsλest valeur propre dev◦u.

2) On consid`ere sur E= IR [X] les endomorphismesuet vd´efinis paru:P7−→

Z X 1

P et v:P 7−→P⁰ . D´eterminer Ker(u◦v) et Ker(v◦u). Le r´esultat de la question 1. reste-t-il vrai pourλ= 0 ?

3) SiE est de dimension finie, d´emontrer que le r´esultat de la premi`ere question reste vrai pourλ= 0.

Indication: penser `a utiliser le d´eterminant.

Exercice 14 : 88 banque CCINP

1) SoitEunK-espace vectoriel (K=RouC).

Soitu∈ L(E). SoitP ∈K[X].

Prouver que siP annuleu, alors toute valeur propre deuest racine deP. 2) Soitn∈Ntel quen>2. On poseE=Mn(R).

SoitA= (ai,j)16i6n 16j6n

la matrice deE d´efinie parai,j=

0 si i=j 1 si i6=j . Soitu∈ L(E) d´efini par : ∀M ∈E, u(M) =M+ tr(M)A.

(a) Prouver que le polynˆomeX²−2X+ 1 est annulateur deu.

(b) uest-il diagonalisable ?

Justifier votre r´eponse en utilisant deux m´ethodes (une avec puis sans l’aide de la question 1.).

Exercice 15 : 91 banque CCINP On consid`ere la matriceA=





0 2 −1

−1 3 −1

−1 2 0



∈ M3(IR).

1) Montrer queAn’admet qu’une seule valeur propre que l’on d´eterminera.

2) La matriceAest-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ? 3) D´eterminer, en justifiant, le polynˆome minimal deA.

4) Soitn∈N. D´eterminer le reste de la division euclidienne deXⁿ par (X−1)²et en d´eduire la valeur deAⁿ. Exercice 16 : 93 banque CCINP

SoitE un espace vectoriel r´eel de dimension finie n >0 etu∈ L(E) tel que u³+u²+u= 0.

On notera Id l’application identit´e surE.

1) Montrer que Im(u)⊕ker(u) =E.

2) (a) ´Enoncer le lemme des noyaux pour deux polynˆomes.

(b) En d´eduire que Im(u) = ker(u²+u+ Id).

3) On suppose queuest non bijectif.

D´eterminer les valeurs propres deu. Justifier la r´eponse.

Remarque: les questions 1. , 2. et 3. peuvent ˆetre trait´ees ind´ependamment les unes des autres.

1 Exercices

Exercice 17 : Soient A et B deux matrices de Mn(K). On suppose qu’il existe un polynˆome non constant P ∈K[X] v´erifiant :

AB=P(A) et P(0)6= 0 Montrer queAest inversible et queAet B commutent.

Exercice 18 : Soient A et B deux matrices de Mn(K). On suppose que A est nilpotente et qu’il existe un polynˆomeP ∈IR [X] tel queP(0) = 1 etB=AP(A).

Montrer qu’il existeQ∈IR[X] tel queQ(0) = 1 etA=BQ(B).

Exercice 19 :SoientE unKespace vectoriel de dimension finie etu∈L(E) admettant un polynˆome annu- lateurP dont le plus petit degr´e de coefficient non nul est 1 (de valuation 1).

Montrer queE= Im(u)⊕ker(u) et qu’il existe une baseBdeEo`u la matrice deuest de la forme A 0

0 0

, o`uAest une matrice carr´ee inversible.

Exercice 20 :D´emontrer les propri´et´es suivantes en utilisant deux d´emonstrations dont l’une utilise le th´eor`eme de Cayley-Hamilton et pas l’autre :

a) SiA∈Mn(K) est nilpotente, alorsAⁿ = 0.

b) SiA∈Mn(K) est inversible, alors A⁻¹ est un polynˆome enA.

Exercice 21 :SoitE unKespace vectoriel de dimension finie n>2.

Soitu∈L(E). On suppose queE est le seul sous espace stable parunon r´eduit `a 0.

1) L’endomorphismeuposs`ede-t-il des valeurs propres ? 2) Montrer que pour toutx∈E avecx6= 0, la famille u^k(x)

k∈[[0,n−1]]est une base deE.

Quelle est la forme de la matrice deudans cette base ? 3) Montrer que cette matrice ne d´epend pas du choix dex.

Exercice 22 :SoitE un IR espace vectoriel de dimension finie.

On consid`ereu∈L(E) tel queu³=Id_E. D´ecrire les sous espaces stables paru.

Exercice 23 :Trouver les valeurs propres de la matrice suivante :

A=















0 1 2 · · · n−1 1

2 (0)

... n−1















Exercice 24 :SoitEunCespace vectoriel de dimensionnnon nulle. Soit (ei)_i∈[[1,n]]une base deE. Diagonaliser l’endomorphismef deE d´efini par

∀i∈[[1, n−1]] f(e_i) =e_i+1 et f(e_n) =e₁

Exercice 25 :R´eduire la matriceA=









e a b c a e c b b c e a c b a e









, o`u (a, b, c, e)∈IR⁴.

Exercice 26 :D´eterminer les ´el´ements propres de l’endomorphismeϕ:

K[X] −→ K[X]

P 7−→ P(2−X) Exercice 27 :SoitE=C⁰([0,1],IR). On consid`ere l’applicationf d´efinie par

f :

E −→ E

u 7−→ v avec ∀x∈[0,1] v(x) = Z 1

0

min(x, t)u(t)dt

Trouver les valeurs et vecteurs propres def.

Exercice 28 : Th´eor`eme de Hadamard - disques de Gerschgorin SoitM ∈ Mn(C) dont les coefficients sont not´esmij pour (i, j)∈[[1, n]]². 1) Montrer que siM v´erifie

∀i∈[[1, n]] |m_ii|>

n

X

j=1 j6=i

|a_i,j|

alorsM est inversible.

2) En d´eduire que le spectre deAest inclus dans

n

[

i=1

Bf







 aii,

n

X

j=1 j6=i

|ai,j|







 .

Exercice 29 :SoitE un IR espace vectoriel de dimension finie non nulle.

Montrer que tout endomorphismeudeEadmet une droite vectorielle ou un plan vectoriel stable paru.

Exercice 30 :Soit Aune matrice de M3(IR) etf ∈L IR³

dont la matrice dans la base canonique est A.

Soit (a, b, c)∈IR³ non nul. On consid`ere le planP de IR³dont une ´equation cart´esienne estax+by+cz= 0.

1) Soitϕla forme lin´eaire d´efinie sur IR³qui au vecteur~v= (x, y, z) associeax+by+cz.

Montrer queP est stable par f si et seulement si ker (ϕ)⊂ker (ϕ◦f).

En d´eduire queP est stable parf si et seulement si



 a b c



est vecteur propre de la matrice ^tA.

2) Exemple : trouver les sous-espaces stables parf de matriceA=



 1 +√

3 6 + 3√

3 −6−2√ 3

−2√

3 1−5√

3 4√

3

−2√

3 3−5√

3 −2 + 4√ 3



.

Retrouver le r´esultat `a l’aide du th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux.

Exercice 31 :Matrices stochastiques SoitM = (m_ij)∈ Mn(IR) telle que :







∀(i, j)∈[[1, n]]² m_ij ≥0

∀i∈[[1, n]]

n

X

j=1

m_i,j= 1 (matrice stochastique) 1) Montrer que 1 est valeur propre deM.

2) Soitλune valeur propre complexe deM. Montrer que|λ| ≤1.

Montrer que si tous les coefficientsm_ij sont strictement positifs alors|λ|= 1⇒λ= 1.

Exercice 32 :SoitA∈Mn(K). On suppose queAadmet un polynˆome caract´eristique scind´e `a racines simples.

Trouver l’ensemble des matrices qui commutent avecA.

Exercice 33 :SoientAet B deux matrices carr´ees d’ordren.

1) Montrer queABet BAont les mˆemes valeurs propres.

2) Montrer que siAouB est inversible, alorsAB etBAont mˆeme polynˆome caract´eristique.

3) Dans le cas g´en´eral, on noteM =

BA −B

0 0

,N =

0 −B 0 AB

etP =

I_n 0 A I_n

. V´erifier queM P =P M, montrer queP est inversible, et conclure.

Exercice 34 :SoitE unCespace vectoriel de dimension finie.

Soitu∈L(E).

Montrer que siuest diagonalisable alorsu³ est aussi diagonalisable.

Trouver une condition sur les noyaux deuetu³ pour queu³ diagonalisable impliqueudiagonalisable.

Exercice 35 :SoitA∈Mn(IR) etB=

0 A A 2A

. D´eterminer le spectre deB en fonction de celui deA.

Exercice 36 : D´ecomposition de Dunford

SoitA∈Mn(C). Montrer qu’il existe deux matricesD etN telles queA=D+N,D est diagonalisable,N est nilpotente etDN =N D.

Exercice 37 :Trigonaliser la matriceA=





−3 4 6

−1 1 3

0 0 −1



, en d´eduire les puissances deA.

Exercice 38 :SoitA∈Mn(IR) telle queA³=A+In. Montrer que det(A)>0.

Exercice 39 :SoitA∈Mn(IR) telle queA³+A²+A= 0. Montrer que rg(A) est pair.

Exercice 40 :Le polynˆomeX⁴+X³+ 2X²+X+ 1 peut-il ˆetre le polynˆome minimal d’une matrice deM5(IR) ?

Exercice 41 :Puissances deA

SoitA∈M3(IR) ayant pour valeurs propres 1,−2,2, etn∈IN.

1) Montrer queAⁿ peut s’´ecrire sous la forme :Aⁿ=αnA²+βnA+γnIavecαn, βn, γn∈IR.

2) On consid`ere le polynˆomeP =αnX²+βnX+γn. Montrer que :P(1) = 1,P(2) = 2ⁿ,P(−2) = (−2)ⁿ. 3) En d´eduire les coefficientsα_n, β_n, γ_n.

Exercice 42 : On consid`ere trois suites r´eelles (u_n)_n∈IN, (v_n)_n∈IN et (w_n)_n∈IN d´efinies par r´ecurrence par la donn´ee de (u0, v0, w0)∈IR³et

∀n∈IN







u_n+1 = ¹₄(2u_n+v_n+w_n) v_n+1 = ¹₃(u_n+v_n+w_n) w_n+1 = ¹₄(u_n+v_n+ 2w_n) Calculerun,vn et wn en fonction den,u0,v0et w0.

Etudier leurs convergences.

Exercice 43 : R´eduction de Jordan

Soitf ∈L(IR³) telle queSp(f) ={λ} et dim(ker(f−λId)) = 2.

Montrer qu’il existe une base Bdans laquelleMB(f) =





λ 0 0

0 λ 1

0 0 λ



.

Exercice 44 :

SoitA∈Mn(C). Montrer queA est nilpotente si et seulement si pour toutk∈IN^∗ on a tr(A^k) = 0.

Avec Python

Exercice 45 :Extrait obtenu sur BEOS

On note Ele sous-espace vectoriel de IR[X] constitu´e des polynˆomes P tels que Z 1

0

P(t) dt= 0.

1) Montrer que pour tout polynˆomeQdansR[X] il existe un unique polynˆomeP dansE tel queP⁰=Q. On notera ce polynˆome Φ(Q).

2) Impl´ementer la fonction Φ sur Python (aucune impl´ementation n’´etait sugg´er´ee pour le type ”polynˆomes”).

3) Montrer que Φ d´efinit un isomorphisme de R[X] versE. On cr´eer la suite de polynˆomes suivante : B₀= 1 et∀ n∈N, B_n+1= Φ(B_n).

4) Tracer, sur des graphiques s´epar´es, les courbes associ´ees aux polynˆomes B_n pour n allant de 0 `a 10, sur le segment [0,1]. Quelle conjecture peut-on faire quant aux sym´etries de ces courbes ? D´emontrer cette conjecture.

5) Montrer∀n >1,B_n(0) =B_n(1) et∀n∈IN^∗,B_2n+1(0) = 0.

Exercice 46 :Extrait obtenu sur BEOS

Pour tout n ∈ N^∗ on note An =

















0 0 · · · 0 _n¹ 1 0 · · · 0 _n¹ 0 1 · · · 0 _n¹

· · · · 0 0 · · · 0 _n¹ 0 0 · · · 1 _n¹

















. Les questions pr´ec´ed´ees de [P] sont `a faire

enPython, on dispose de la documentation sur les matrices et les polynˆomes, et plus pr´ecis´ement la m´ethode poly() denumpyqui `a une matrice carr´ee associe son polynˆome caract´eristique sous forme d’un array.

1) a) [P] Cr´eer une fonction qui renvoie le polynˆome caract´eristique deAn pour unndonn´e.

b) [P] Tester cette fonction pournvalant 2,3,4,5,6,7,8, que pouvez vous conjecturer ? c) D´emontrer cette conjecture.

2) a) [P] Cr´eer une fonction qui renvoie le module des valeurs propres de A_n. La tester pour n valant 2,3,4,5,6,7,8, que pouvez vous conjecturer ?

b) D´emontrer cette conjecture.

3) Montrer que les valeurs propres deA_n sont simples.

4) Que dire alors de (A^p_n)_p∈N? Exercice 47 :

1) (a) Ecrire un programme python prenant en argument un polynˆome P et une matrice A et qui calcule P(A).

(b) On pose :N =









0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0









etQ= 1 +X+X²+X³.

CalculerQ(N) puis comparerQ(N) et (I4?N)^?1. Pouvait-on pr´evoir le r´esultat ? (c) On pose :M =





0 1 3 0 0 2 0 0 0



etR= 1 +¹₂X?¹₈X². CalculerR(M)². Que constate-on ?

(d) Trouver une matriceM? nilpotente de taille 3×3 et non triangulaire. CalculerR(M?)2 . Conjecturer.

2) D´emontrer la conjecture des questions 1.c et 1.d.

Soit un entiern>2 . SoitPn un ´el´ement de Rn?1[X] tel que√

1 +x=Pn(x) +o(x^n?1) . 3) CalculerP3 .

4) ExprimerPn `a l’aide des coefficients binomiaux.

5) SoitN∈Mn(K) une matrice nilpotente. Montrer quePn(N)²=N+In . 6) Trouver toutes les matricesA telles queA²=In+N .

Indication donn´ee par l’´enonc´e : On pourra commencer par d´eterminer le commutant de N .