Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚9
G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire dans le plan (partie 2)
Exercice 79 (Lieux g´eom´etriques et nombres complexes) SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan.
1. D´eterminer le lieuE1 des pointsM du plan d’affixez tels que :
|z−1 + 3i|=|z+ 3−4i|.
2. D´eterminer le lieuE2 des pointsM du plan d’affixez∈C\
1−i,52 tels que :
arg
z−1 +i 2z−5
=π 2 [π].
Exercice 80 (Lieux g´eom´etriques et barycentres)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan. Soient les pointsA(−1,2) etB(2,4). On se propose de d´eterminer le lieuE des pointsM du plan tels que :
M A2= 9M B2.
1. D´eterminer le barycentreG1de la famille (A, B) affect´ee des poids (1,−3).
2. D´eterminer le barycentreG2de la famille (A, B) affect´ee des poids (1,3).
3. SoitM un point du plan. Montrer que :
M A2= 9M B2 ⇔ −−−→
M G1.−−−→
M G2= 0.
4. Conclure.
5. Proposer une autre m´ethode, ne faisant pas appel `a des barycentres, pour d´eterminerE.
Exercice 81 (Point de concours des m´ediatrices des cˆot´es d’un triangle)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan. SoientA(−4,3), B(8,−3) etC(4,9).
1. D´eterminer le point de concours Ω des m´ediatrices des cˆot´es du triangle ABC.
2. Calculer les longueursAΩ,BΩ etCΩ. Qu’en d´eduire ?
Exercice 82 (Droites concourantes)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan.
• SoitDla droite d’´equation cart´esienne 3x−2y−2 = 0.
• Soient les pointsA(1,4) etB(−2,3).
• Pour toutα∈R, soitDαla droite passant passant parC(6,2) et dirig´ee par le vecteur−→u(1, α).
1. Donner une ´equation cart´esienne de la droite (AB).
2. Soitα∈R. Donner une ´equation cart´esienne de la droiteDα.
3. Soitα∈R. Donner une CNS surαpour que les droitesD, (AB) etDαsoient concourantes.
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Exercice 83 (Projet´e orthogonal d’un point sur une droite)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan. SoientA(−2,4), B(0,−2) etC(2,2).
1. D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonalH du pointC sur la droite (AB).
2. Calculer la longueurHC `a l’aide du r´esultat pr´ec´edent.
3. Retrouver le r´esultat pr´ec´edent `a l’aide d’une formule du cours.
Exercice 84 (Bissectrice de deux droites s´ecantes)
SoientD1 etD2deux droites s´ecantes du plan. SoitBl’ensemble des pointsM du plan tels que : d(M,D1) =d(M,D2).
Montrer queBest la r´eunion de deux droites orthogonales.
Indication : On pourra introduire un rep`ere orthonorm´e R = (O;−→u ,−→v) du plan et consid´erer des ´equations normales deD1 etD2.
Exercice 85 (Deux caract´erisations d’une tangente `a un cercle) SoitCun cercle de centre Ω et de rayonr∈R+∗.
1. SoitDune droite telle queDcoupe le cercleC en un unique pointA. Montrer que les droites (AΩ) etD sont orthogonales.
2. Soit D une droite coupant le cercle C en un point A tel que les droites (AΩ) et D sont orthogonales.
Montrer queD ∩ C={A}.
Indication : Pour chacune des deux questions, on pourra introduire un rep`ere orthonorm´eR= (Ω;−→u ,−→v), une
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equation cart´esienne de C dans R et une repr´esentation param´etrique de D construite `a partir du point A et d’un vecteur directeur norm´e dans R.
Exercice 86 (Tangentes `a un cercle passant par un point ext´erieur)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan. SoitC le cercle d’´equation cart´esienne : x2−6x+y2−2y+ 5 = 0.
1. D´eterminer les ´el´ements caract´eristiques deC.
2. Soit le pointA(8,−4). D´eterminer les tangentes au cercleCpassant parA.
Exercice 87 (Intersection de deux cercles)
SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan. SoitC le cercle d’´equation cart´esienne : x2−2x+y2−4y−11 = 0.
1. D´eterminer les ´el´ements caract´eristiques deC.
2. Soitr∈R+∗et soitCrle cercle de centreA(3,4) et de rayonr. ´Etudier le nombre de points d’intersection des cercles Cet Cr.
Indication : On pourra changer de rep`ere, de fa¸con `a se placer dans un rep`ere plus adapt´e, et distinguer plusieurs cas, suivant la valeur der.
Exercice 88 (Racine d’un trinˆome du second degr´e `a coefficients complexes et similitude directe) SoitR= (O;−→u ,−→v) un rep`ere orthonorm´e direct du plan.
1. R´esoudre l’´equation :
(E) : z2+ (2−i)z−3−3i= 0 d’inconnuez∈C.
2. Soit z1 la solution r´eelle de (E) et z2 l’autre solution de (E). D´eterminer la similitude directe laissant l’origine invariante et transformantM1(z1) enM2(z2). Pr´eciser ses ´el´ements caract´eristiques.
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