Feuille d’exercices 9

Ecole Normale Sup´erieure Paris Ann´ee 2013-2014 Alg`ebre 1

Feuille d’exercices 9

Exercice 1 (Anneau de Witt) Dans toute la suite on notera q, q₁ et q₂ des formes quadratiques non d´eg´en´er´ees de dimension finie sur un corpskde caract´eristique diff´erente de 2. On note φ1, φ2, φ3 respectivement les formes bilin´eraires associ´ees. On d´efinit naturellement la somme orthogonale de q₁ etq₂, not´ee q₁⊥q₂.

1. Montrer que si q⊥q1 est isom´etrique `a q⊥q2, alors q1 etq2 sont isom´etriques.

2. Si V₁ respectivement V₂ sont les espaces sous-jacents `aq₁ etq₂, on d´efinit le produit q₁⊗q₂ sur l’espace V₁⊗_kV₂ par la formule

(φ₁⊗φ₂)(x₁⊗x₂, y₁⊗y₂) :=φ₁(x₁, y₁)φ₂(x₂, y₂).

Montrer que (hyperbolique)⊗q = (hyperbolique).

3. Par le th´eor`eme de Witt, on sait que tout forme non d´eg´en´er´ee q se d´ecompose comme la somme d’une forme hyperbolique et d’une forme anisotropeqan. On d´efinit l’anneau de Witt dek, not´eW(k), comme ´etant l’ensemble des formes quadratiques de dimension finies surk, non d´eg´en´er´ees, modulo la relation d´equivalenceRdonn´ee par

q₁Rq₂ ⇐⇒ q_1,an est isom´etrique `a q_2,an. V´erifier que (W(k),⊥,⊗) est un anneau.

4. Montrer qu’une forme quadratique qest d´etermin´ee, `a isom´etrie pr`es, par sa dimen- sion et sa classe dans W(k).

5. Calculer W(k) si tout ´el´ement dek est un carr´e.

6. Calculer W(R).

Exercice 2 Soient k un corps, et A et B des k-alg`ebres.

1. D´efinir une structure de k-alg`ebre surA⊗_kB.

2. Montrer que les k-alg`ebres k[X]⊗_kk[Y] et k[X, Y] sont isomorphes.

3. Montrer que le morphisme naturel de k-alg`ebres de k(X)⊗_kk(Y) vers k(X, Y) est injectif mais non surjectif.

1

Exercice 3 1. Rappeler la structure de R-alg`ebre deC⊗_RC.

2. Montrer qu’il y a deux structures de C-alg`ebre distinctes surC⊗_RC.

3. NotonsM₂(C) laC-alg`ebre des matrices 2×2 `a coefficients dansCet H l’aR-alg`ebre des quaternions. Montrer que les C-alg`ebres M₂(C) et H⊗_RC sont isomorphes.

4. Montrer que H⊗_RH est isomorphe `aM₄(R).

Exercice 4 Soit n ≥ 1 un entier. Soient F ⊂ E des corps tels que E est un F-espace vectoriel de dimensionn, de base (1, x₁, . . . , xn−1). On suppose l’existence d’un groupeG de cardinal n, compos´e de F-automorphismes de E, tel que le corpsE^G={e∈E | ∀g ∈ G, ge=e}est exactement F.

1. Montrer que les ´el´ements de Gsont lin´eairement ind´ependants.

2. Soit V un E-espace vectoriel, muni d’une action semi-lin´eaire de G. On d´efinit le sous-F-espace vectoriel des G invariants par V^G = {v ∈ V | ∀g ∈ G gv = v}.

Prouver que l’application naturelleE-lin´eaireη: V^G⊗_FE →V commute `a l’action deG.

3. Montrer que η est un isomorphisme.

Exercice 5 Soient k un corps de caract´eristique diff´erente 2 et V un k-espace vectoriel de dimension finie. Soitz ∈V2

V un 2-vecteur. On dit que z est d´ecomposable s’il existe u, v ∈V tels que z =u∧v.

1. Supposons dimV = 3. Montrer que z est d´ecomposable si et seulement si z∧z = 0 ∈

4

^V.

2. Montrer en dimension quelconque le crit`ere pr´ec´edent par r´ecurrence sur la dimen- sion deV .

Exercice 6 Soient k un corps et A, B des k-alg`ebres gradu´ees.

1. Montrer qu’il existe sur A⊗_kB une structure naturelle de k-alg`ebre gradu´ee telle que

(a⊗b)(a⁰⊗b⁰) = (−1)^{(degb)(dega0)}(aa⁰ ⊗bb⁰).

On note A⊗^su_k B l’alg`ebre ainsi obtenue.

2. Soient V et W des espaces vectoriels sur k. Montrer que l’on a un isomorphisme d’alg`ebres

^(V ⊕W)'^

V ⊗^su_k ^ W.

2