Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°9 L’ensemble R des réels
Exercice 69
Soit la fonctionf définie par
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ f :
h
−π 3,π
3 i
→ R
x7→ cos(3x)+sin(3x).
Déterminer le signef(x), pour toutx∈£
−π3,π3¤ . Exercice 70
Démontrer que la fonction racine carrée est 12-lipschitzienne sur [1,+∞[, i.e.
∀(x,y)∈[1,+∞[2, ¯
¯ px−p
y¯
¯≤1 2
¯
¯x−y¯
¯.
Exercice 71
Soitx∈R. On suppose
∀ε∈R>0, |x| ≤ε. Démontrerx=0.
Exercice 72
Soit le système d’inéquations
(S) :
½ |x−4| ≤ 5
|x+2| ≥ 3 d’inconnuex∈R.
1. Conjecturer graphiquement l’ensemble solution de (S).
2. Démontrer la conjecture établie en 1.
Exercice 73
1. Soitx∈Rtel que|x−1| <2.
(a) En utilisant une inégalité triangulaire, démontrer
|x| <3.
(b) En utilisant une inégalité triangulaire, démontrer
¯
¯x3−3x2−4¯
¯<58.
(c) En utilisant une inégalité triangulaire, démontrer|xcos(ex)−5| >2.
(d) En déduire une majoration de
¯
¯
¯
¯
x3−3x2−4 xcos(ex)−5
¯
¯
¯
¯.
1
2. Soit (x,y)∈]−1, 1[2. (a) Démontrer
1+x y6=0.
(b) Démontrer
x+y
1+x y ∈]−1, 1[.
Exercice 74
1. Déterminer un minorant et un majorant de
½ x+2
x+5 :x∈[−1, 1]
¾ . 2. Soitε∈R>0. Déterminer un réel strictement positifαtel que
∀x∈[−1, 1] |x| ≤α⇒
¯
¯
¯
¯
x2+3x+5 x+5 −1
¯
¯
¯
¯≤ε. 3. Interpréter graphiquement le résultat établi à la question précédente.
Exercice 75
SoientAetBdeux parties non vides et bornées deR. Démontrer que la partieA∪BdeRest bornée.
Exercice 76
SoitAla partie deRdéfinie par
A:=
½3n−7 n+1 :n∈N
¾ .
1. Démontrer queAadmet un minimum. Qu’en déduire quant à sa borne inférieure ? 2. Démontrer que la borne supérieure deAexiste.
3. Déterminer sup(A).
Exercice 77
Soientaetbdeux réels strictement positifs. Soit la partie A:=
½ a+b
n :n∈N∗
¾
deR.
1. La partieAest-elle majorée ? Si oui, calculer sa borne supérieure.
2. La partieAest-elle minorée ? Si oui, calculer sa borne inférieure.
Exercice 78
SoientAetBdeux parties non vides et majorées deR. On définit le sous-ensembleA+BdeRpar A+B:={a+b: a∈Aetb∈B}.
1. Justifier queA,BetA+Badmettent des bornes supérieures.
2. Démontrer que sup(A)+sup(B) est un majorant deA+B.
3. Démontrer que sup(A+B)=sup(A)+sup(B).
Exercice 79
Soitf: [0, 1]→[0, 1] une application croissante. Le but de cet exercice est de démontrer que l’équation f(x)=x
d’inconnuex∈[0, 1] possède une solution.
2
1. Justifier que
A:=©
x∈[0, 1] : f(x)≥xª admet une borne supérieure.
2. On posea:=sup(A). Justifier
0≤a≤1.
3. Montrer quef(a) est un majorant deA. Qu’en déduire quant à l’ordre entreaetf(a) ? 4. On suppose icia=1. Démontrer qu’alorsf(a)=a.
5. On suppose désormaisa<1.
(a) Soitε∈]0, 1−a].
i. Justifiera+ε∈[0, 1] eta+ε∉A.
ii. Déduire de la question précédentef(a)≤a+ε. (b) Conclure quef(a)=a.
Exercice 80
Soit ¯
¯
¯
¯
E : R → R
x 7→ ⌊x⌋
la fonction partie entière.
1. La fonctionEest-elle injective ? 2. La fonctionEest-elle surjective ? 3. CalculerE([0, 10]).
4. CalculerE−1( ]0, 5] ).
Exercice 81 1. Démontrer
∀x∈R, ∀k∈Z, ⌊x+k⌋ = ⌊x⌋ +k.
2. Démontrer
∀(x,y)∈R2 ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x+y⌋. 3. Donner deux réelsxetytels que⌊x+y⌋ 6= ⌊x⌋ + ⌊y⌋.
4. Donner deux réelsxetytels que⌊x+y⌋ = ⌊x⌋ + ⌊y⌋.
Exercice 82
Soitx∈R. Simplifier
⌊x⌋ + ⌊−x⌋.
On pourra distinguer deux cas, suivant quexappartienne àZou non.
Exercice 83 Démontrer
∀x∈R, ∀n∈N∗,
¹⌊nx⌋ n
º
= ⌊x⌋.
Exercice 84
Soitn∈N∗. Calculer la somme
n2−1
X
k=1
jp kk
.
Exercice 85
Résoudre l’équation
j px2−4k
=3 après avoir précisé son domaine de définition.
3
Exercice 86
1. Démontrer que l’intersection de deux intervalles est un intervalle. On pourra distinguer deux cas, sui- vant que les deux intervalles se rencontrent ou non.
2. La réunion de deux intervalles est-elle nécessairement un intervalle ?
4
