Feuille d’exercices sur les intervalles
I
D’après ce que nous avons vu en cours, 3Éx<7 s’écrit sous forme d’appartenance à un intervalle sous la forme :x∈[3 ; 7[.
Sur le même modèle, traduire sous forme d’ap- partenance à un intervalle les relations suivantes : a) −3ÉxÉ7 équivaut àx∈[−3 ; 7]
b) 2<xÉ9 équivaut àx∈]2 ; 9]
c) 3Éx<12 équivaut àx∈[3 ; 12[
d) −5<x<13 équivaut àx∈]−5 ; 13[
e) xÊ10 équivaut àx∈[10 ; +∞[ f) x<2 équivaut àx∈]− ∞; 2[
g) xÊ1 équivaut àx∈[1 ;+∞[
II
Traduire les appartenances aux intervalles sui- vantes sous forme d’inégalités ou de double- inégalités :
a) x∈[2 ; 8] équivaut à 2ÉxÉ8 b) x∈[5 ; +∞[ équivaut àxÊ5 c) x∈[7 ; 9] équivaut à 7ÉxÉ9 d) x∈]− ∞; 5[ équivaut àxÉ5 e) x∈]2 ; 7[ équivaut à 2<x<7 f) x∈[2 ;+∞[ équivaut àxÊ2
III et V
Définition: Pour deux intervallesIetJ, on appelle intersection de I et J, notée I∩J la partie commune aux deux intervalles, donc l’ensemble des nombresx qui appartiennent àIetàJ.
Dans chaque cas, représenter sur une droite gra- duée, à l’aide de différentes couleurs, les intervalles suivants et déterminer leur intersection .
L’intersection est donc la partie coloriée deux fois.
a) I=]−5 ; 4[ et J=[2 ; 7]
-5 2 4 7
0 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
I∩J=[2 ; 4[ (partie coloriée deux fois)
I∪J=[−5 ; 7[ (partie coloriée au moins une fois)
b) I=[−3 ; 5] etJ=]1 ;+∞[
-3 1 5
0 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
I∩J=]1 ; 5] (partie coloriée deux fois)
I∪J=[−3 ;+∞] (partie coloriée au moins une fois) c) I=[−3 ;+∞[ etJ=]1 ; +∞[
-3 1
0 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
I∩J=]1 ; +∞] (partie coloriée deux fois)
I∪J=[−3 ; +∞[=I(partie coloriée au moins une fois) ; on remarque queJest inclus dansI(J⊂I) d) I=]− ∞; 7] etJ=]−1 ; 5]
7
-1 5
0 1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
I∩J =]−1 ; 5] = J (partie coloriée deux fois) on remarque queJest inclus dansI(J⊂I)
I∪J =]− ∞; 7]=I (partie coloriée au moins une fois) ; (J⊂I)
e) I=[2 ; 7] etJ=[9 ; 11]
2 7 9 11
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
I∩J= ;(ensemble vide) car il n’ y a aucun nombre commun aux deux intervalles.
I∪J=[2 ; 7]∪[9 ; 11] (qui n’est pas un intervallle).
IV
a) [−10 ; 2]∩[−3 ; 8]=[−3 ; 2]
b) ]− ∞; 2]∩]−3 ;+∞[=]−3 ; 2]
c) ]−7 ; 3[∩[0 ; +10[=[0 ; 3[
d) ]− ∞; 2]∩[−1 ;+∞[=[−1 ; 2]
e) ]−3 ; 2]∩[2 ;+∞[={2} (un seul élément commun aux deux intervalles, le nombre 2)
f) ]− ∞; 0[∩[3 ; 8[= ;
III
voir III
