Feuille 9,
Algèbre commutative
N. Perrin
À rendre le 02.04.2018 Correction le 10.04.2018
Exercice 1 (2×5 + 10 = 20 Points) SoitAun anneau. Montrer que 1. (n(A) = 0)⇔(n(Ap) = 0pour tout idéal premierp⊂A).
2. (A intègre)⇒(Ap intègre pour tout idéal premierp⊂A).
3.Montrer que pourA=Z/6Z, l’implication (Aintègre)⇐(Ap intègre pour tout idéal premierp⊂A) n’est pas vérifiée.
Exercice 2 (2×10 = 20 Points) Donner tous les idéaux premiers des an- neauxAsuivants:
1.A=k[X]/(X3−3X2+ 2X).
2.A=Z1
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Exercice 3 (6×10 = 60 Points) Soit A un anneau intègre et soit K = Frac(A) son corps des fractions. L’anneau A, s’appelle anneau de valuati- on discrètesi pour toutx∈K\ {0}, on a l’alternativex∈Aoux−1∈A.
1. Soitk un corps.
1.a. L’anneauA=k[X] est-il un anneau de valuation discrète ?
1.b. Soitp= (X)⊂A. L’anneauAp est-il un anneau de valuation discrète ? 2. SoitA un anneau de valuation discrète etK= Frac(A).
2.a. Montrer quem=A\A× est un ideal et que l’anneauAest local.
2.b. Soit B un sous-anneau de K tel queA⊂B ⊂K. Montrer queB est aussi un anneau de valuation discrète.
2.c. Montrer queAest intégralement clos (rappelons que ceci signifie queA est égal à sa cloture intégrale dansK).
3. L’anneauAest maintenant un anneau intègre mais pasa priori un anneau de valuation discrète. SoitA sa cloture intégrale dansK.
Soit B un anneau de valuation discrète tel que A⊂B ⊂K. Montrer que A⊂B.
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