PARTIE 2 Analyse Fonctionnelle (TD)

(1)

DUT Génie Electrique et Informatique Industrielle UE33 - Mathématiques - module Ma3

UE43 - Probabilités & Statistiques - module M 4306 C

PARTIE 2 – Analyse Fonctionnelle (TD)

UNIVERSITÉ POLYTECHNIQUE HAUTS DE FRANCE INSTITUT UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE

DÉPARTEMENT GÉNIE ÉLECTRIQUE ET INFORMATIQUE INDUSTRIELLE

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TABLE DES MATIÈRES

Table des matières

1 Fonctions Hyperboliques 3

2 Développements Limités 5

3 Transformée de Fourier 6

4 Produit de Convolution 9

5 Dérivées Partielles et Différentielles 10

6 Intégrales Doubles et Triples 12

Correction 14

A Fonctions Hyperboliques 14

B Développements Limités 22

C Transformée de Fourier 27

D Produit de Convolution 32

E Dérivées Partielles et Différentielles 36

F Intégrales Doubles et Triples 42

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1 Fonctions Hyperboliques

Exercice 1.

Soitx≠0. Exprimez en fonction dech(x),sh(x),ch(1010x)etsh(1010x): C=²⁰²⁰∑

k=1 ch(2+kx).

Correction▼ ^[001]

Exercice 2.

Soitx≠0. Exprimez en fonction dech(x),sh(x),ch(1010x)etsh(1010x): S=²⁰²⁰∑

k=1

sh(2+kx).

Exercice 3.

Calculez la limite suivante :

x→+∞lim e^−x[ch³(x) −sh³(x)].

Exercice 4.

Étudiez et tracez le graphe de la fonction f définie pour toutx>0 : f(x) =x−log(sh(x)).

Exercice 5.

1. Montrez que pour tousaetb on a :

th(a+b) = th(a) +th(b) 1+th(a)th(b).

(4)

1 - Fonctions Hyperboliques

2. Montrez que pour toutx∈R^∗, on a : th(x) = 2

th(2x) − 1 th(x).

3. Pour tout n∈Netx∈R^∗, on pose : un(x) =∑ⁿ

k=02^kth(2^kx).

Simplifiez l’expression deun(x)(en fonction denet dex) et en déduire la limite de u_n(x) quandn tend vers+∞.

Exercice 6.

Soitx∈R. Exprimezch(y),sh(y) etth(y) en fonction dex, avec : y=log[tan(x

2 +π 4)].

Exercice 7.

Simplifiez les expressions suivantes : A=log(√

x²+1+x) +log(√

x²+1−x), B=sh²(a)cos²(b) +ch²(a)sin²(b).

Exercice 8.

Donnez les solutions réelles dech(x) =2.

Exercice 9.

Donnez les solutions réelles desh(x) =1/2.

(5)

Exercice 10.

Donnez les solutions réelles deth(x) =apour tout a∈R. Explicitez ce que vaut la solution (si elle existe) quanda=1/2.

2 Développements Limités

Exercice 11.

Donnez le développement limité au voisinage de 0 à l’ordre 4 des fonctions définies par :

◇ f(x) = (1−√

1−x²)^1/2;

◇ g(x) = (1+√

1+x²)^1/2;

◇ h(x) =log(^sin(x)_x ).

Exercice 12.

1. Donnez la limite quandxtend vers 0 def(x) = (1−x)^1/x. 2. En déduire que :

n→+∞lim (1−1

n)ⁿ=e⁻¹.

Exercice 13.

Donnez la limite quandxtend vers 0 de la fonction suivante.

f(x) = e^sin(x)−e^tan(x) sin(x) −tan(x).

Exercice 14.

Soita∈R. On définit la fonctionf par pour toutx≠0: f(x) = cos(x) −a

x² .

(6)

3 - Transformée de Fourier

1. Donnez la limite (en fonction dea) def(x)quand xtend vers 0 ? 2. Déduisez-en que, pour un certain choix de a, la fonction définie par :

g(x) = { −1/2, six≠0, f(x), sinon, est continue.

Exercice 15.

Soitf une fonction de classeC². Calculez la limite suivante :

L=lim

x→0

f^′(x) −^f(x)−f(0)_x

x .

3 Transformée de Fourier

Exercice 16. Transformée des fonctions portes SoitT >0. On définit la fonction porte suivante :

ΠT(x) = { 1, si −T≤x≤T, 0, sinon.

1. Montrez queΠ_T ∈L¹(R). Que vaut ∫^−∞^+∞Π_T(x)dx? 2. Calculez la transformée de Fourier deΠ_T.

Exercice 17. Transformée de la fonction triangle SoitT >0. On définit la fonction triangle de paramètreT par :

f(x) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

1+_T^x, si −T≤x≤0, 1−_T^x, si0≤x≤T,

0, sinon.

1. Montrez quef ∈L¹(R).

(7)

2. Soitξ∈R. À l’aide d’une intégration par partie, calculez : I_T(ξ) = ∫₀^Txe^−ixξdx.

3. À l’aide d’un changement de variable, montrez queJT(ξ) = −IT(−ξ)où : J_T(ξ) = ∫_−T⁰ye^−iyξdy.

4. Calculez la transformée de Fourier def, à l’aide des questions précédentes.

Exercice 18. Transformée des fonctions exponentielles Soita>0. On définit la fonction suivante :

E(x) = { exp(−ax), six≥0,

0, sinon.

1. Montrez queE∈L¹(R). Que vaut∫^−∞^+∞E(x)dx? 2. Calculez la transformée de Fourier deE.

Exercice 19. Cours

Soitf ∈L¹(R)etc∈Rune constante.

1. À l’aide d’un changement de variable, justifiez que la fonction f_c définie par f_c(x) =f(x+c)est intégrable surR.

2. Montrez que pour tout ξ, on a :

f̂c(ξ) =e^icξf̂(ξ).

3. Application : Nous allons calculer d’une autre manière la transformée de Fourier de l’exercice 17.

(a) Pour T > 0, que vaut la transformée de Fourier de ΠT(x−T), avec ΠT

définie dans l’exercice 16.

(b) On définit la fonction :

f(x) =⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

1+_2T^x, si −2T≤x≤0, 1−_2T^x, si0≤x≤2T,

0, sinon.

(8)

3 - Transformée de Fourier

Montrez que pour toutξ: f^′(x) = 1

2T [ΠT(x+T) −ΠT(x−T)]. (c) En déduire la transformée de Fourier def^′puis def.

Exercice 20.

Soita>0. On définit la fonction :

f(x) = 1 1+a²x². On admettra quef∈L¹(R).

1. Montrez qu’il existe deux constantes betc telles que :

∀x∈R, f(x) = b

ix+a^′− c ix−a^′, aveca^′=1/a.

2. D’après l’exercice 18, quelle est la transformée de Fourier de la fonction : f1(x) = 1

ix+a^′.

3. On admettra que la transformée de Fourier de la fonction f2(x) = _ix−a¹ ′ est donnée par :

f̂₂(ξ) = { 0, six≥0,

−√

2πexp(a^′x), sinon.

En déduire que pour toutξ≠0: f̂(ξ) =

√2π

2a exp(−a^′∣ξ∣). On admettra la formule pourξ=0.

4. Que vaut la transformée inverse de Fourier de la fonctionf?

(9)

4 Produit de Convolution

Exercice 21.

Soita, b>0. On pose :

G_a(x) =exp(−ax²), et G_b(x) =exp(−bx²). 1. Montrez que pour tous x, y∈R:

ay²+b(x−y)²= (σy+ b σx)

2

+bx²− b² σ²x²,

avecσ=√ a+b.

2. À l’aide de la question précédente, montrez que pour toutx∈R: G_a∗G_b(x) =√

π(a+b)exp[− ab a+bx²]. On rappellera que :

∫

+∞

−∞

e^−z²dz=√ π.

Exercice 22.

FixonsT. On noteΠT la fonction porte définie dans l’exercice 16.

1. Que vautΠT ∗ΠT(x)six∈ [−2T,0]? et six∈ [0,2T]? et six∉ [−2T,2T]? 2. À l’aide de la question précédente et de l’exercice 16, retrouvez le résultat

trouvé dans l’exercice 17.

Exercice 23.

On va résoudre l’équation différentielle suivantey^′′(x) −y(x) =E(x), avecE(x) définie dans l’exercice 18 poura=1.

1. On suppose qu’une solution y admette une transformée de Fourier ̂y, tout comme sa dérivée secondey^′′. Montrez que pour toutξ∈R:

̂

y(ξ) = − 1

√2π 1 1+iξ

1 1+ξ².

(10)

5 - Dérivées Partielles et Différentielles

2. Montrez qu’il existe deux fonctionsf et g(à déterminer) telles que¹: y(x) = 1

√2π(f∗g)(x).

3. Déduisez-eny(x).

5 Dérivées Partielles et Différentielles

Exercice 24.

Calculez les dérivées partielles par rapport àxet par rapport àydes fonctions :

◇ f(x, y) =y²x³+x−y;

◇ g(x, y) =x³+y²;

◇ h(x, y) =sin(x) +cos(y).

Exercice 25.

Calculez les dérivées partielles par rapport àx, ày et àz des fonctions :

◇ f(x, y, z) =e^x+e^y−e^z;

◇ g(x, y, z) = (x+y)e^−z;

◇ h(x, y, z) = _1+x2+y¹²+z².

Exercice 26.

Donnez les dérivées partielles par rapport àxet àyde la fonction : f(x, y) = (x+y, x−y).

1. Pensez aux différentes transformées de Fourier que nous avons déjà calculées dans les précédents exercices.

(11)

Exercice 27.

Donnez les différentielles des fonctions suivantes au pointa= (1,−1):

◇ f(x, y) =2x−y;

◇ g(x, y) =x²+y²;

◇ h(x, y) =xy.

Exercice 28. Équation de Transport avec Force Extérieure

On cherche à résoudre l’équation de transport ∂ty(t, x) −∂xy(t, x) = 1, avec y(0, x) =exp(−x²). Supposons qu’elle admette une solutiony.

1. On fixex∈Rett>0. On poseχ(t)la solution de : { χ^′(s) = −1,

χ(t) =x.

Vérifiez que la fonction définie par v(s) =y(s, χ(s))satisfaitv^′(s) =1.

2. Exprimezχ(s)etv(s)en fonction detet de x.

3. Déduisez-eny(t, x)et vérifiez qu’elle est bien solution.

Exercice 29. Équation de Burgers – n°1

On cherche à résoudre l’équation de transport∂ty(t, x) +y(t, x)∂xy(t, x) =0,avec y(0, x) =x. Supposons qu’elle admette une solutiony.

1. On fixex∈Rett>0. On poseχ(t)la solution de : { χ^′(s) =y(s, χ(s)),

χ(t) =x.

Vérifiez que la fonction définie par v(s) =y(s, χ(s))est constante.

3. Déduisez-eny(t, x)et vérifiez quey est bien solution.

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6 - Intégrales Doubles et Triples

Exercice 30. Équation de Burgers – n°2 On cherche à résoudre l’équation de transport :

∂ty(t, x) −y(t, x)∂xy(t, x) =0, avecy(0, x) =x. Supposons qu’elle admette une solutiony.

1. On fixex∈Rett∈]0,1[. On poseχ(t)la solution de : { χ^′(s) = −y(s, χ(s)),

χ(t) =x.

Vérifiez que la fonction définie par v(s) =y(s, χ(s))est constante.

3. Déduisez-eny(t, x)et vérifiez quey et bien solution.

4. Que remarquez-vous ?

6 Intégrales Doubles et Triples

Exercice 31.

Calculez les intégrales suivantes :

◇ I1= ∫[−2,1]×[−1,2]xydxdy;

◇ I2= ∫[−1,1]×[−1,1](x+y)dxdy;

◇ I₃= ∫[0,1]×[0,2]ye^xdxdy.

◇ I4= ∫[0,1]×[0,2]xe^ydxdy.

Exercice 32.

Calculez l’intégrale suivante : I= ∫[−1,2]×[−2,1]×[−1,1]

z²sin(π(x+y)

2 )dxdydz.

(13)

Exercice 33.

On poseD= {(x, y) ∈ [0,1] ×R, x²≤y≤x}. Calculez∫^Dxydxdy.

Exercice 34.

On poseD= {(x, y) ∈R², x≥0, y≥0, x+y≤1}. Calculez∫Dxydxdy.

Exercice 35.

On définit les deux ensembles :

◇ D₁= {(x, y) ∈R²,0≤x≤1,0≤y−x≤1};

◇ D₂= {(x, y) ∈R²,0≤x≤1, x²≤y≤1}. Calculez les intégrales ∫^D1xydxdyet ∫^D2xydxdy.

Exercice 36.

Calculez l’intégrale suivanteI= ∫^D(0,2π)ycos(√

x²+y²)dxdy.

Exercice 37.

CalculezI= ∫^Dxydxdy, avecD= {(x, y) ∈R², x≥0, y≥0, x²+y²≤1}.

Exercice 38.

Pour D= {(x, y, z) ∈R³, x≥0, y≥0, z≥0, x²+y²+z²≤1}, calculez l’intégrale I= ∫^Dxyz(x²+y²+z²)dxdydz.

Exercice 39.

Que vaut le volume deH= {(x, y, z) ∈R³,−4≤z≤4, x²+y²≤z²+1}?²

2. Définissez la fonctionf(x, y, z) =χH(x, y, z)la fonction caractéristique deH et remarquez que∫^Hdxdydz= ∫R³f(x, y, z)dxdydz.

(14)

A - Fonctions Hyperboliques

A Fonctions Hyperboliques

Correction de l’exercice 1.▲ On rappelle que :

ch(y) = e^y+e^−y 2 . Nous allons utiliser cette formule poury=2+kx:

C=²⁰²⁰∑

k=1

e^2+kx+e^−2−kx

2 =e²

2

2020

∑

k=1

e^kx+e⁻² 2

2020

∑

k=1

e^−kx,

= e² 2

2020

∑

k=1

(e^x)^k+e⁻² 2

2020

∑

k=1

(e^−x)^k= e²

2e^x1−e^2020x 1−e^x +e⁻²

2 e^−x1−e^−2020x 1−e^−x ,

= e^2+x

1−e^xe^1010xe^−1010x−e^1010x

2 + e^−2−x

1−e^−xe^−1010xe^1010x−e^−1010x

2 ,

= −e^2+1011x 1

1−e^xsh(1010x) +e^−2−1011x 1

1−e^−xsh(1010x),

= sh(1010x)

(1−e^x)(1−e^−x)[e^−2−1011x(1−e^x) −e^2+1011x(1−e^−x)]. Remarquons que :

(1−e^x)(1−e^−x) =2−e^−x−e^x=2− (e^−x+e^x) =2−2ch(x), et que :

e^−2−1011x(1−e^x) −e^2+1011x(1−e^−x) =e^−2−1011x−e^2+1011x−e^−2−1010x+e^2+1010x,

= −2sh(2+1011x) +2sh(2+1010x).

Ainsi on a obtenu que : C=sh(1010x)

1−ch(x) [sh(2+1010x) −sh(2+1011x)].

Les formules de duplication impliquent que :

sh(2+1010x) −sh(2+1011x) =sh(2)ch(1010x) +ch(2)sh(1010x)

−sh(2)ch(1011x) −ch(2)sh(1011x).

(15)

Finalement, C vaut :

C=sh(1010x)sh(2)[ch(1010x) −ch(1011x)] +ch(2)[sh(1010x) −sh(1011x)]

1−ch(x) .

On termine à l’aide des formules de duplication :

{ ch(1011x) =ch(1010x)ch(x) +sh(1010x)sh(x), sh(1011x) =sh(1010x)ch(x) +ch(1010x)sh(x).

Correction de l’exercice 2.▲ On rappelle que :

sh(y) = e^y−e^−y 2 . Nous allons utiliser cette formule poury=2+kx:

S=²⁰²⁰∑

k=1

e^2+kx−e^−2−kx

2 =e²

2

2020

∑

k=1

e^kx−e⁻² 2

2020

∑

k=1

e^−kx,

= e² 2

2020

∑

k=1

(e^x)^k−e⁻² 2

2020

∑

k=1

(e^−x)^k= e²

2 e^x1−e^2020x 1−e^x −e⁻²

2 e^−x1−e^−2020x 1−e^−x ,

= e^2+x

1−e^xe^1010xe^−1010x−e^1010x

2 − e^−2−x

1−e^−xe^−1010xe^1010x−e^−1010x

2 ,

= −e^2+1011x 1

1−e^xsh(1010x) −e^−2−1011x 1

1−e^−xsh(1010x),

= − sh(1010x)

(1−e^x)(1−e^−x)[e^−2−1011x(1−e^x) +e^2+1011x(1−e^−x)]. Remarquons que :

(1−e^x)(1−e^−x) =2−e^−x−e^x=2− (e^−x+e^x) =2−2ch(x), et que :

e^−2−1011x(1−e^x) +e^2+1011x(1−e^−x) =e^−2−1011x+e^2+1011x−e^−2−1010x−e^2+1010x,

=2ch(2+1011x) −2ch(2+1010x).

Ainsi on a obtenu que : S= sh(1010x)

1−ch(x) [ch(2+1010x) −ch(2+1011x)].

(16)

On termine à l’aide des formules de duplication comme lors de l’exercice pré- cédent.

Correction de l’exercice 3. ▲

À l’aide de la définition dech, la formule du binôme de Newton nous donne : ch³(x) = (e^x+e^−x

2 )³= e^3x+3e^2xe^−x+3e^xe^−2x+e^−3x

8 = e^3x+3e^x+3e^−x+e^−3x

8 .

De la même manière, on trouve que : sh³(x) = (e^x−e^−x

2 )³=e^3x−3e^x+3e^−x−e^−3x

8 .

Ainsi nous sommes ramener à étudier la limite quand x tend vers +∞ de la fonction :

f(x) =e^−x[ch³(x) −sh³(x)],

=e^−x[e^3x+3e^x+3e^−x+e^−3x

8 −e^3x−3e^x+3e^−x−e^−3x

8 ],

=e^−x[3e^x−e^−3x

4 ] = 3−e^−4x 4 .

Orexp(−4x)converge vers 0, quandx tend vers+∞. Cela implique donc que :

x→+∞lim e^−x[ch³(x) −sh³(x)] = 3 4.

◇ La fonction f est continue et même dérivable sur R+ car sh et log le sont.

◇ Dérivée de f :Calculons f^′(x). f^′(x) =1−ch(x)

sh(x) =1− 1

th(x) = th(x) −1 th(x) <0.

◇ Comme f^′(x) <0, on sait que f est une fonction décroissante.

(17)

◇ Étudions les limites de la fonction f en 0et en +∞ :

— En0⁺: On sait que lim

x→0⁺sh(x) =0⁺et que lim

y→0⁺log(y) = −∞. D’après les règles de calculs sur les limites, on a :

x→0lim⁺f(x) = +∞.

— En+∞: On a une forme indéterminée ! Pour lever l’indétermination, nous allons donc modifier l’écriture def(x) :

f(x) =x−log(e^x−e^−x

2 ) =x+log(2) −log(e^x−e^−x),

=x+log(2) −log[e^x(1−e^−2x)],

=x+log(2) −log(e^x) −log(1−e^−2x),

=x+log(2) −x−log(1−e^−2x) =log(2) −log(1−e^−2x).

D’après le cours, on sait que lim

x→+∞log(1−e^−2x) =0.Finalement, on trouve que :

x→+∞lim f(x) =log(2).

x y

Figure 1 – Graphe de f(x) (bleu) et de sa limite en+∞ (rouge).

(18)

1. Considérons deux réels aetbnon nuls (dans le cas oùa=0oub=0est immédiat). À l’aide de la définition de la fonctionth et des formules de duplication, on obtient que :

th(a+b) = sh(a+b)

ch(a+b) = sh(a)ch(b) +sh(b)ch(a) ch(a)ch(b) +sh(a)sh(b),

= ch(a)[^sh(a)_ch(a)ch(b) +sh(b)]

ch(a)[ch(b) + ^sh(a)_ch(a)sh(b)],

= th(a)ch(b) +sh(b)

ch(b) +th(a)sh(b) = ch(b)[th(a) + ^sh(b)_ch(b)] ch(b)[1+th(a)^sh(b)_ch(b)],

= th(a) +th(b) 1+th(a)th(b).

2. Soit x∈R^∗. Par la question précédente, on sait que : th(2x) =th(x+x) = th(x) +th(x)

1+th(x)th(x) = 2th(x) 1+th²(x). En particulier, on a que :

1+th²(x) th(x) = 2

th(2x), ce qui revient bien à :

th(x) = 2

th(2x) − 1 th(x). 3. D’après la question précédente, on a que :

u_n(x) = ∑ⁿ

k=02^kth(2^kx) = ∑ⁿ

k=02^k( 2

th(2^k+1x)− 1 th(2^kx)),

=∑ⁿ

k=0[ 2^k+1

th(2^k+1x)− 2^k th(2^kx)].

(19)

On reconnaît une somme téléscopique ! un(x) = ∑ⁿ

k=0

2^k+1

th(2^k+1x)−∑ⁿ

k=0

2^k

th(2^kx) =ⁿ⁺¹∑

k=1

2^k

th(2^kx) −∑ⁿ

k=0

2^k th(2^kx),

= 2ⁿ⁺²

th(2ⁿ⁺²x)− 1 th(x).

Nous savons que si x >0, alors th(2ⁿ⁺¹x) tend vers +1 quand n tend vers +∞. Comme lim_n→+∞2ⁿ⁺¹= +∞, on trouve que :

six>0,_n→+∞lim un= +∞. De la même façon, on montre que :

six<0, lim

n→+∞u_n= −∞.

Correction de l’exercice 6. ▲ Soitx∈R. On définit :

y=log[tan(x 2 +π

4)]. Commençons par remarquer que :

e^y =tan(x 2+π

4), et e^−y= 1 tan(^x₂ +^π₄).

◇ Expression de ch(y) : ch(y) = e^y+e^−y

2 ,

=tan(^x₂ +^π₄) +_tan(¹x 2+^π₄)

2 =

sin(^x₂+^π₄)

cos(^x₂+^π₄)+^cos(_sin(^xx²⁺^π⁴⁾ 2+^π₄)

2 ,

=sin²(^x₂ +^π₄) +cos²(^x₂ +^π₄)

2 cos(^x₂ +^π₄)sin(^x₂ +^π₄) = 1

2 cos(^x₂ +^π₄)sin(^x₂ +^π₄),

= 1

sin[2(^x₂ +^π₄)],

(20)

par les formules de duplication. On a finalement que : ch(y) = 1

sin(x+^π₂)= 1 cos(x).

◇ Expression de sh(y) : sh(y) = e^y−e^−y

2 ,

= tan(^x₂−^π₄) −_tan(¹x 2+^π₄)

2 =

sin(^x

2+^π

4)

cos(^x₂+^π₄)−^cos(_sin(x^x²⁺^π⁴⁾ 2+^π₄)

2 ,

= sin²(^x₂ +^π₄) −cos²(^x₂ +^π₄)

2 cos(^x₂ +^π₄)sin(^x₂+^π₄) = −cos[2(^x₂ +^π₄)]

sin[2(^x₂ +^π₄)], par les formules de duplication. On a finalement que :

sh(y) = −cos(x+^π₂)

sin(x+^π₂) = sin(x)

cos(x) =tan(x).

◇ Expression de th(y) (à l’aide de ce que nous avons trouvé ci-dessus) : th(y) = sh(y)

ch(y) =tan(x)

cos(x)1 =cos(x)tan(x) =sin(x).

◇ Commençons par : A=log(√

x²+1+x) +log(√

x²+1−x).

Remarquons tout d’abord que pour tout x∈R, on a quex²+1≥x², ce qui implique que :

√x²+1>x, et √

x²+1> −x.

Ainsi les deux termes en log ont bien un sens. Maintenant, à l’aide de la propriété log(a) +log(b) =log(ab), on obtient que :

A=log[(√

x²+1+x) (√

x²+1−x)] =log[x²+1−x²] =log(1) =0.

(21)

◇ Passons à :

B=sh²(a)cos²(b) +ch²(a)sin²(b). On rappelle quech²(x) −sh²(x) =1, ce qui implique que :

B=sh²(a)cos²(b) + (1+sh²(a))sin²(b),

=sh²(a)[cos²(b) +sin²(b)] +sin²(b),

=sh²(a) +sin²(b). On aurait aussi pu écrire que :

B = (ch²(a) −1)cos²(b) +ch²(a)sin²(b),

=ch²(a)[cos²(b) +sin²(b)] −cos²(b),

=ch²(a) −cos²(b).

La parité dechet sa monotonie sur R+ implique que :

ch(x) =2si et seulement si x=argch(2) oux= −argch(2). Ainsi il existe deux solutions àch(x) =2 :

x±= ±argch(2) = ±log(2+√

2²−1) = ±log(2+√ 3).

Commeshest bijective surR, on sait quesh(x) =1/2n’admet qu’une seule solution :

x=argsh(1/2) =log⎡⎢

⎢⎢⎢⎣

1 2+

√ (1

2)²+1⎤⎥

⎥⎥⎥⎦=log[1+√ 5 2 ].

(22)

B - Développements Limités

◇ On sait que pour tout x∈R:

−1<th(x) <1.

Ainsi si a∉] −1,1[, l’équationth(x) =a n’a pas de solution.

◇ De plus, on sait que th est une bijection entre R et ] −1,1[, ce qui implique que pour tout a∈] −1,1[, la solution deth(x) =aest :

x=argth(a) = 1

2log(1+a 1−a).

Enfin, dans le cas où a = 1/2, on a bien une unique solution d’après ce qu’on a vu ci-dessus :

x=argth(1/2) = log(3) 2 .

B Développements Limités

◇ On sait que√

1−y=1−^y₂ −^y₈² −^y₁₆³ +o(y³), ce qui implique que : f(x) = [1− (1−x²

2 −x⁴ 8 −x⁶

16 +o(x⁶))]

1/2

,

= [x² 2 +x⁴

8 +x⁶

16+o(x⁶)]

1/2

,

= √∣x∣

2[1+x² 4 +x⁴

8 +o(x⁴)]

1/2

= √∣x∣

2[1+h]^1/2,

avec h = ^x₄² +^x₈⁴ +o(x⁴). Remarquons que h∼ ^x₄², ce qui implique que o(h²) =o((x²/4)²) =o(x⁴/16) =o(x⁴).

(23)

D’après le développement limité√

1+h=1+^h₂−^h₈² +o(h²), on obtient que :

f(x) = √∣x∣

2[1+h]^1/2,

= √∣x∣ 2

⎡⎢⎢⎢

⎢⎣1+1 2(x²

4 +x⁴

8 +o(x⁴)) − 1 8(x²

4 +x⁴

8 +o(x⁴))

2

+o(x⁴)⎤⎥

⎥⎥⎥⎦,

= √∣x∣

2[1+x² 8 +x⁴

16 −1 8

x⁴

16+o(x⁴)] = √∣x∣

2[1+x² 8 + 7

128x⁴+o(x⁴)],

= √∣x∣

2+∣x∣x² 8√

2 +o(x⁴).

◇ On applique encore le développement limité√

1−y=1−^y₂−^y₈² +o(y²), pour y= −x² :

g(x) = [1+ (1+x² 2 −x⁴

8 +o(x⁴))]

1/2

= [2+x² 2 −x⁴

8 +o(x⁴)]

1/2

,

=√

2[1+x² 4 −x⁴

16+o(x⁴)]

1/2

=√

2[1+h]^1/2, avec h=x²

4 −x⁴

16+o(x⁴).

Comme h∼ ^x₄², on ao(h²) =o((x²/4)²) =o(x⁴). Ainsi on obtient que : g(x) =√

2[1+h]^1/2,

=√ 2⎡⎢

⎢⎢⎢⎣1+1 2(x²

4 −x⁴

16 +o(x⁴)) − 1 8(x²

4 −x⁴

16+o(x⁴))

2

+o(x⁴)⎤⎥

⎥⎥⎥⎦,

=√

2[1+x² 8 −x⁴

32−1 8

x⁴

16+o(x⁴)] =√

2[1+x² 8 − 5

128x⁴+o(x⁴)],

=√ 2+

√2

8 x²−5√ 2

128x⁴+o(x⁴).

(24)

B - Développements Limités

◇ On sait quesin(x) =x−^x₆³ +₁₂₀^x⁵ +o(x⁶). Ainsi : h(x) =log(1−x²

6 + x⁴

120+o(x⁵)),

= (−x² 6 + x⁴

120+o(x⁵)) −1 2(−x²

6 + x⁴

120+o(x⁵))

2

+o(x⁴),

= −x² 6 − x⁴

180+o(x⁴).

◇ On modifie d’abord l’écriture de la fonctionf : f(x) =exp(1

xln(1−x)) =exp(1

x(−x+o(x))) =exp(−1+o(1)). Ce "développement limité" au voisinage de 0 implique que :

limx→0f(x) =e⁻¹.

◇ On poseh=_n¹, qui tend vers 0, quandntend vers+∞. Ainsi on trouve que :

n→+∞lim (1− 1

n)ⁿ=lim

h→0(1−h)^1/h=e⁻¹.

On rappelle les développements limités au voisinage de 0 des fonctions suivantes :

◇ sin(x) =x−^x₆³ +o(x⁴);

◇ tan(x) =x+^x₃³ +o(x⁴). Ainsi on obtient que :

sin(x) −tan(x) =x−x³

6 − (x+x³

3 ) +o(x⁴) = −x³

2 +o(x⁴) ∼ −x³ 2 .