Jean - Louis AYME 1. Q 1c A Z U

(1)

A VU THANH TUNG's CIRCLE

OR

AN AMÉDÉE MANNHEIM's CIRCLE

PREMIÈRE PREUVE SYNTHÉTIQUE

La crise dans laquelle vous, dirigeants européens, allez entrer plus profondément est le fruit de votre aveuglement, de votre suffisance, de votre immoralité et de votre absence de foi.

Jean - Louis AYME ¹

A

B C

V U

D

P

X Q

E

Y F

R Z

1a 1b 1c

Résumé. L'auteur présente un cercle du géomètre vietnamien Vu Thanh Tung, découvert en 2009, accompagné d'une solution synthétique personnelle révélant la nature géométrique de ce cercle.

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 30/06/2022 ; [email protected]

(2)

Abstract. The author presents a circle of the vietnamese geometer Vu Thanh Tung, discovered in 2009, accompanied by a personal synthetic solution revealing the geometric nature of this circle.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved synthetically.

Sommaire

A. Récapitulation 3

B. Le problème 4

C. Visualisation 6

Étape 1 : ABC est un triangle de Miquel 7 Étape 2 : Trois céviennes concourantes 9 Étape 3 : Le cercle d'Amédée Mannheim 12

5

D. Lexique Français-Anglais 14

(3)

A. RÉCAPITULATION

A

B C

V

P

1a 1b 1c

J

I

Étape 1 : (Auguste Miquel) I, A et J sont alignés

A

B C

V U

D

P

X Q

E

Y

R F Z

1a 1b 1c

T J

I

Étape 2 : (Jean Ceva) (PX), (IY) et (JZ) sont concourantes

A

B C

V

P

X

Y Z

1a 1b 1c

T J

I

Étape 3 : (Amédée Mannheim) X, Y, Z, T et V sont cocycliques

(4)

B. LE PROBLÈME² proposed

by

Vu Thanh Tung (Nam Dinh, Vietnam) (May 2022)

VISION

Figure :

A

B C

V

U

D

P

X Q

E

Y F

R

Z

1a 1b 1c

Traits : ABC un triangle,

U, V deux points intérieurs à ABC, DEF le triangle U-cévien,

1a, 1b, 1c les cercles circonscrits aux triangles VBC, VCA, VAB,

P, Q, R les seconds points d'intersection de (AV), (BV), (CV) resp. avec 1a, 1b, 1c et X, Y, Z les seconds points d'intersection de (PD), (QE), (RF) resp. avec 1a, 1b, 1c, Donné : X, Y, Z et V sont cocycliques.

Terminologie : ce cercle, noté c(U, V) est ''le cercle de Vu Tanh Tung'' ;

il est mentionné en préambule du point répertorié sous X₃₇₈₀₆cher ETC. ³

2 Vu Thanh Tung, Two new circles for perspective triangles and circumcevian triangle du 27/05/2021 ; https://groups.io/g/euclid/message/1697

Four concyclic points, AoPS du 20/05/2022 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h2848604_four_concyclic_points Ayme J.-L., Le cercle de Vu Thanh Tung, Les-Mathematiques.net ;

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2330218/le-cercle-de-vu-tanh-tung#latest

3 Kimberling C., Encyclopedia of Triangle Centers ; https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETCPart19.html

(5)

Le triangle PQR est appelé ''triangle cercle-cévien'' par Floor van Lamoen. ⁴

Archive :

5

Commentaire : le XXe et XXIe siècle ont vu éclore en géométrie du triangle un grand nombre de cercles intéressants dont celui d'Euler-Bevan ⁶ en a été le premier de la liste…

La question que se pose l'auteur est la suivante :

ce cercle proposé par Vu thanh Tung est-il nouveau ou simplement un remake d'un cercle plus ancien dans un différent contexte ?

4 van Lamoen F., Message Hyacinthos #10039 du 08/07/2004 ; http://hyacinthos.epizy.com/message.php?msg=10039

6 Ayme J.-L., Les cercles de Morley, Euler…, G.G.G. vol. 2, p. 5 ; https://jl.ayme.pagesperso-yahoo.fr/

(6)

Note biographique :

Vu thanh tung wrote ''Family name: Vu,

Given name: Thanh Tung (First name: Tung) Birth: Namdinh, Vietnam, Date of birth: 13/09/1983 Education:

MSc in Engineering (in Mathematics and Informatics), Ecole Polytechnique, Palaiseau, France, 2008 MSc in Engineering, Telecom ParisTech, Palaiseau, France, 2008

MSc (in Probability), Paris 6 University, Paris, France, 2008 PhD, Telecom ParisTech, Palaiseau, France, 2012

Work:

Orange, Paris, France, 2013-2014 Worldquant, Hanoi, Vietnam, 2015-2020 (a hedge fund), Hanoi, Vietnam, 2020-now''.

C. VISUALISATION

(7)

ÉTAPE 1 ABC est un triangle de Miquel

VISION

Figure :

A

B C

V U

P

1a 1b 1c

J

I

Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons

I, J les seconds points d'intersection de (PC), (PB) resp. avec 1b, 1c.

Donné : I, A et J sont alignés.

VISUALISATION

• Conclusion : d

'

après Auguste Miquel ⁷,

1a, 1b et 1c étant concourants en V, I, A et J sont alignés.

Scolies : (1) ABC est

''

le triangle de Miquel du triangle PIJ

''

(2) 1a, 1b et 1c sont ''les cercles de Miquel de PIJ'' (3) V est ''le pivot de PIJ relativement à 1a, 1b, 1c''

ou encore

le point de Miquel de PIJ relativement à 1a, 1b, 1c.

Commentaire : pour Auguste Miquel, ce résultat était juste un lemme pour aborder son ''merveilleux pentagone''.

7 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 14, p. 4-6 ; https://jl.ayme.pagesperso-yahoo.fr/

Miquel A., Théorèmes de Géométrie, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville vol. 1, 3 (1838) 485-487

(8)

Note historique : peu de géomètres contemporains d'Auguste Miquel, n'avaient pressenti que ce résultat allait devenir la source d'un grand nombre de théorèmes.

(9)

ÉTAPE 2 ⁸ Trois droites concourantes

VISION

Figure :

A

B C

V

U

D

P

X

Q

E

Y F

R Z

1a 1b 1c

J

I

Traits : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment.

Donné : (PX), (IY) et (JZ) sont concourantes.

VISUALISATION

8 Ayme J.-L., Three concurrent lines, AoPS du 21/05/2022 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h2849205_three_concurrent_lines

(10)

A

B C

V

U

D

P

X

Q

E

Y F

R Z

1a 1b 1c

T J

I

• D'après le théorème de Ceva ⁹

appliqué à ABC et au triangle U-cévien DEF, DB/DC . EC/EA . FA/FB = 1.

• Passant du point de vue des distances à celui trigonométrique,

* DB/DC = sin <DPB / sin <CPD

* EC/EA = sin <EQC / sin <AQE <EQC = <YQC = <YIC

<AQE = <AQY = <AIY

* FA/FB = sin <FRA / sin <BRF <FRA = <ZRA = <ZJA

<BRF = <BRZ = <BJZ.

• Par substitution, [sin <DPB / sin <CPD].[sin <YIC / sin <AIY]. [sin <ZJA / sin <BJZ] = 1.

• Conclusion : (PX), (IY) et (JZ) sont concourantes.

• Notons T ce point de concours.

9 Céva G., De lineis rectic se invicem secantibus, statica constructio (1678)

(11)

Note historique :

le résultat du marquis Jean Benedetto de Ceva (1647-1734) semble avoir été connu avant lui par Bernardo José Zaragoza y Vilanova, né à Alcalá de Chivert près de Valencia en 1627 et mort à Madrid, en 1679, jésuite hispano-catalan, mathématicien et astronome, contemporain de Juan Caramuel, appartenant au groupe des novateurs espagnols et parfois connu sous le nom de père Saragosse.

Cependant, il était déjà connu, à la fin du XIe siècle, de Yusuf Al-Mu'taman ibn Hőd, géomètre et roi de Saragosse ¹⁰. Celui-ci le démontre dans son Livre de perfection (Kitab al-Istikmal), célèbre en son temps mais dont le texte n'a été redécouvert qu'en 1995.

10 Ayme J.-L., Les trois points de Saragossa, G.G.G. vol. 33, p. 7, 11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

(12)

ÉTAPE 3

Le cercle d'Amédée Mannheim dit Canon ¹¹

VISION

Figure :

A

B C

V

P

X

Y Z

1a 1b 1c

T J

I

Traits : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment.

Donné : X, Y, Z, T et V sont cocycliques.

VISUALISATION

• Conclusion : d’après Amédée Mannhein

appliqué à PIJ, au pivot V et au point T, X, Y, Z, T et V sont cocycliques.

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. ¹²

Scolie : le cercle obtenu est ''le T-cercle de Mannheim de PIJ''.

11 Mannheim A., Problème 10145, Educational Time 52 (1890)

et Question 1594, Nouvelles Annales de Mathématiques (1890) 239.

12 Ayme J.-L., Les cercles de Morley, Euler, Mannheim…, G.G.G. vol. 2, p. 6-9 ; http://perso.orange.fr/jl.ayme

(13)

Note historique : Gaston Darboux a été parmi les "solver" de ce résultat avec W. J. Greenstreet en proposant une solution angulaire.

Le géomètre russe Igor Fedorovitch Sharygin (-2004) a choisi cette figure pour la jaquette de son livre Problemas de geometria ¹³.

Vu Thanh Tung a proposé une autre version de son résultat

14

13 Sharygin I. a choisi cette figure pour la jaquette de son livre Problemas de geometria, Editions Mir., 1986, Moscou.

(14)

D. LEXIQUE FRANÇAIS - ANGLAIS

A

aligné collinear

annexe annex

axiome axiom

appendice appendix

adjoint associate

a propos by the way btw

acutangle acute angle

axiome axiom

B

bissectrice bisector

bande strip

C

centre incenter

centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle

cévienne cevian

colinéaire collinear

concourance concurrence

coincide coincide

confondu coincident

côté side

par conséquence consequently

commentaire comment

D

d'après according to

donc therefore

droite line

d'où hence

distinct de different from

E

extérieur external

F

figure figure

H

hauteur altitude

hypothèse hypothesis

I

intérieur internal

identique identical

i.e. namely

incidence incidence

L

lemme lemma

lisibilité legibility

M

mediane median

médiatrice perpendicular bissector

milieu midpoint

N

Notons name

nécessaire necessary

note historique historic note

O

orthocentre orthocenter

ou encore otherwise

P

parallèle parallel

parallèles entre elles parallel to each other

parallélogramme parallelogram

pédal pedal

perpendiculaire perpendicular

pied foot

point de vue point of view

postulat postulate

point point

pour tout for any

Q

quadrilatère quadrilateral

R

remerciements thanks

reconnaissance acknowledgement

respectivement respectively

rapport ratio

répertorier to index

S

semblable similar

sens clockwise in this

order

segment segment

Sommaire summary

symédiane symmedian

suffisante sufficient

sommet (s) vertex (vertice)

T

trapèze trapezium

tel que such as

théorème theorem

triangle triangle

triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle