Exercices sur le PGCD

TS-Spé Exercices sur le PGCD _2012-2013

EXERCICE 1 :

Pour tout entier naturel n non nul, on pose a = 5 n + 1 et b = 2 n − 1. On note ∆ =PGCD( a, b ).

1. Démontrer que les valeurs possibles de ∆ sont 1 ou 7.

2. (a) En utilisant la table des restes de la congruence modulo 7, trouver les entiers n pour lesquels a ≡ 0 (7) et b ≡ 0 (7).

(b) Quelle est alors, suivant les valeurs de n, la valeur de ∆ ?

EXERCICE 2 :

Pour tout entier naturel n non nul, on pose a = 5n

+ 2 et b = n

+ 1.

1. Démontrer que

2. (a) En utilisant la table des restes de la congruence modulo 3, trouver les restes de la division par 3 de a et b.

(b) Justifier alors que a et b sont premiers entre eux.

EXERCICE 3 :

1. ROC En utilisant le principe de la démonstration d l’algorithme d’Euclide, prouver que :

L’ensemble des diviseurs communs à a et b est l’ensemble des diviseurs du PGCD( a, b ).

2. Application : Lorsque l’on divise 2897 et 3505 par un même entier naturel non nul n, on obtient respectivement comme restes 13 et 5. Quel est cet entier ?

EXERCICE 4 :

Rechercher a et b entiers naturels tels que PGCD(a, b)+PPCM(a, b)=b + 9.

EXERCICE 5 :

Calculer en utilisant l’algorithme d’Euclide le PGCD de 2

− 1 et de 2

− 1.

Aide : Utiliser la relation a

− 1 = (a − 1)(a

+ a

+ .... + a + 1) (a 6= 1)

My Maths Space 1 sur 1